2023-2024学年江苏省扬州市新华中学高二上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省扬州市新华中学高二上学期10月月考数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．一条直线过点和，则该直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据倾斜角与斜率的关系可求得答案
【详解】设直线的倾斜角为（），
因为直线过点和，且斜率存在，
所以，
因为，所以，
故选：B
2．已知，两点，以线段AB为直径的圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由中点坐标公式求出的中点坐标即为圆心，再根据两点间的距离公式求出的长即直径，即可求得圆的标准方程.
【详解】由，，知的中点坐标为，
且，
则以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径，
所以圆的标准方程为，
故选：D
3．已知过点和点的直线为l1，. 若，则的值为（ ）
A．B．
C．0D．8
【答案】A
【分析】由平行、垂直直线的斜率关系得出的值.
【详解】因为，所以，解得，又，所以，
解得.所以.
故选：A.
4．若圆与x轴相切，则这个圆截y轴所得的弦长为（ ）．
A．B．C．6D．8
【答案】D
【分析】根据题意求得圆的方程，结合圆的弦长公式，即可求解.
【详解】由圆，可得圆心，半径为，
因为圆与轴相切，可得，即，
所以圆心到轴的距离为，
则圆截轴所得的弦长为.
故选：D.
5．若圆与圆关于直线对称，则
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，圆的圆心C与关于直线对称，且半径为求出C的坐标，由轴对称的性质建立关于a、b的方程组，解出a、b，可得的值．
【详解】圆的圆心为原点，半径为1
与圆关于直线对称的圆，设其圆心为C
则C与关于直线对称，且半径也为1，
，解之得，
由此可得．
故选A．
【点睛】本题给出圆C与单位圆关于某直线对称，求圆心坐标着重考查了圆的方程、直线的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
6．若圆关于直线对称，由点向圆C作切线，切点为A，则的最小值是（ ）
A．6B．4C．3D．2
【答案】B
【分析】首先根据题意得到，再利用圆的性质求解即可.
【详解】由题意知，直线过圆心，即，
化简得在上，
如图，为使最小，
只需圆心与直线上的点的距离最小，
如图所示：
所以的最小值为，
故选：B
7．直线y=x+b与曲线有且仅有一个公共点，则b的取值范围是（ ）
A．b=±B．或
C．-1≤b≤1D．以上都不对
【答案】B
【分析】画出曲线与直线的图象，结合两个图象有且仅有一个公共点来求得的取值范围.
【详解】由得，x2+y2=1（x≥0），该曲线表示的是圆x2+y2=1在y轴及右侧的部分，如图所示，
y=x+b表示斜率为1，在y轴上的截距为b的直线.
由直线与圆相切，得圆心到直线的距离d==1⇒b=±，
结合图形知b的取值范围是或.
故选：B.
8．对于圆上任意一点，当时，的值与，无关，有下列结论：
①点的轨迹是一个圆； ②点的轨迹是一条直线；
③当时，有最大值； ④当，时，．
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】由，将已知条件看作到直线、距离之和的倍，
且已知圆在平行线、之间得，再结合各项描述分析正误.
【详解】令，可看作到直线、距离之和的倍，
由的值与无关，
所以距离之和与在圆上的位置无关，故已知圆在平行线、之间，
而两线距离为，
当时，的轨迹是平行于、直线，①错误；
当时,的轨迹不是直线,②错误
③时，，即有最大值，正确；
④时，则，故，④错误.
所以正确的有③.
故选：
二、多选题
9．下列说法错误的是（ ）
A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．过，两点的所有直线的方程为
D．方程与方程表示同一条直线
【答案】ACD
【分析】对于A，根据充要条件的定义结合两直线垂直的条件进行判断，对于B，由倾斜角与斜率的关系判断，对于C，举例判断，对于D，根据两方程的特征分析判断.
【详解】对于A，当时，两直线分别为和，此时两直线的斜率乘积为，所以两直线垂直，当直线与直线互相垂直时，则或，所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，所以A错误，
对于B，直线的斜率，因为，所以，所以，所以，所以B正确，
对于C，当或时，过，两点的直线不能用表示，所以C错误，
对于D，因为方程表示的是一条直线，而方程表示直线上除去的部分，所以方程与方程表示的不是同一条直线，所以D错误，
故选：ACD
10．由点发出的光线射到轴上，被轴反射，若反射光线所在直线与圆相切，则光线所在的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】化简圆的方程为标准方程，求出关于轴对称的圆的方程，设的斜率为，利用相切求出的值即可得到的方程．
【详解】解：已知圆的标准方程是，
它关于轴的对称圆的方程是，
设光线所在直线的方程是（其中斜率待定）
由题设知对称圆的圆心到这条直线的距离等于1，
即．
整理得：，
解得：，或．
故所求的直线方程是，或，
即，或．
故选：BC．
【点睛】本题考查点、直线和圆的对称问题，直线与圆的关系，属于中档题．
11．已知圆，直线，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l恒过定点
B．当时，圆C上有且仅有三个点到直线l的距离都等于1
C．圆C与曲线恰有三条公切线，则
D．当时，直线l上动点P向圆C引两条切线PA，PB，其中A，B为切点，则直线AB经过点
【答案】CD
【分析】对A将直线化成，则，解出即为定点；对B直接计算圆心到直线的距离与1的大小关系，即可判断B，对C，直接将代入，通过几何法判断两圆位置关系即可，对D，设点，利用两点直径式方程写出以为直径的圆的方程，两圆方程作差，得到公共弦所在直线方程，化成关于参数的方程，即可求出定点坐标.
【详解】由直线:,,整理得:,故,解得,即经过定点,故A错误;
当时,直线为,
圆心到直线的距离
故圆上有四个点到直线的距离都等于1,故B错误;
圆,其半径，
圆,
当时, ,整理得
，其半径
圆心距为，
故两圆相外切,恰有三条公切线,故C正确;
当时,直线的方程为,
设点,圆的圆心,半径为,
以线段为直径的圆的方程为:
,
即,
又圆的方程为,
两圆的公共弦的方程为
整理得,即,解得,
即直线经过点,故D正确.
故选：CD.
12．已知点，动点满足，则下面结论正确的为（ ）
A．点的轨迹方程为B．点到原点的距离的最大值为5
C．面积的最大值为4D．的最大值为18
【答案】ABD
【分析】设动点，根据两点之间的距离公式结合条件化简即可判断A选项，再由圆外一点到圆上一点的距离范围判断B和C选项，利用向量的数量积公式和代入消元法即可判断D选项.
【详解】设动点，则由得：，
即，
化简得：，即，所以A选项正确；
所以点轨迹是圆心为，半径为的圆，
则点到原点的距离最大值为，所以B选项正确；
又，和点轨迹的圆心都在轴上，且，
所以当圆的半径垂直于轴时，面积取得最大值，所以C选项错误；
又，
因为（），
所以（），
则，所以D选项正确；
故选：ABD.
三、填空题
13．在平面直角坐标系中，过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为 .
【答案】5x－12y＋45＝0或x－3＝0
【分析】首先判断点与圆的位置关系，然后设出直线的方程，进而根据圆心到直线的距离等于半径即可求出结果.
【详解】因为，所以点在圆外，
且的圆心为，半径为2，
若切线斜率不存在，即，圆心到直线的距离为2，故直线是圆的切线，
若切线的斜率存在，设切线方程为，即，
则，则，两边同时平方得，故，
所以，即，
综上：切线的方程为或.
故答案为：或.
14．圆与圆的公共弦长为 .
【答案】6
【分析】两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程，计算出到此直线的距离，然后可得答案.
【详解】因为圆与圆
所以两式相减得
圆到直线的距离为1
所以公共弦长为
故答案为：6
15．唐代诗人李颀的《古从军行》中两句诗为：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，怎样走才能使总路程最短？在平面角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从处出发，河岸线所在直线方程为.则“将军饮马”的最短总路程为 .
【答案】
【分析】求出点P关于直线的对称点的坐标，设直线上任一点N，当且仅当Q，N，三点共线时取最小值，可得最短距离．
【详解】设点关于直线的对称点的坐标为
则解得：，
所以，
设，设直线上的点，则
则当且仅当Q，N，三点共线时取等号，
而，
所以最短总路程为，
故答案为：．
16．已知圆和两点，.若圆上存在点，使得，则的最大值为 ．
【答案】11
【分析】首先判断点在以为直径的圆上（不能是两点），将问题化为两圆有交点求参数范围，即可得最大值.
【详解】由题意得：圆的圆心，半径，
∵，则点在以为直径的圆上（不能是两点），
以为直径的圆的圆心为，半径，
注意到圆心到y轴的距离为，即y轴与圆相离，
由题意得：圆与圆有公共点（由于y轴与圆相离，公共点不可能为），且,
则，即，解得，故的最大值为11.
故答案为：11
四、解答题
17．已知直线，直线，根据下列条件分别求实数的值：
(1)与相交；
(2)与平行；
(3)与重合.
【答案】(1)且
(2)
(3)
【分析】（1）根据两直线相交可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围；
（2）根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值；
（3）根据两直线重合可得出关于实数的方程，即可解得实数的值.
【详解】（1）解：已知，直线，
若与相交，则，即，解得且.
（2）解：已知，直线，
若与平行，则，即，解得.
（3）解：已知，直线，
若与重合，则，即，解得.
18．已知圆的圆心在轴上，且经过两点
(1)求圆的方程；
(2)过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）根据题意设圆的方程为，然后将两点的坐标代入方程求出，从而可得圆的方程；
（2）由题意可得圆心到直线的距离为1，然后分直线的斜率不存在和斜率存在两种情况，结合点到直线的距离公式求解即可.
【详解】（1）因为圆的圆心在轴上，所以设圆的方程为（），
因为圆经过两点，
所以，解得，
所以圆的方程为；
（2）由，可得圆心，半径为2，
因为直线与圆相交于两点，且，
所以圆心到直线的距离为1，
当直线的斜率不存在时，直线为，满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线为即，则
，解得，
所以直线的方程为，即，
综上直线的方程为或.
19．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形满足.
(1)求直线的方程；
(2)求点的坐标.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，求出点A的坐标，直线的斜率，再利用点斜式方程求解作答.
（2）由（1）及已知，求出直线方程，再联立方程组求解作答.
【详解】（1）由图知，则直线的倾斜角为，直线的斜率，点，
所以直线的方程为，即.
（2）因为，则直线的方程为，而，则直线的倾斜角为，斜率，
直线的方程为，由解得，即点，
又，则有直线斜率，因此直线的方程为，即，
由解得，即点，
所以点的坐标是.
20．在①过点，②圆E恒被直线平分，③与y轴相切这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知圆E经过点，且______.
(1)求圆E的一般方程；
(2)设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选择①③时，设圆的一般式方程或者标准方程，代入点以及相关条件，根据待定系数法，即可确定圆的方程，选择②时，根据几何法确定圆心和半径即可求解，
（2）根据相关点法即可求解轨迹方程.
【详解】（1）方案一：选条件①.
设圆的方程为，
则，解得，
则圆E的方程为.
方案二：选条件②.
直线恒过点.
因为圆E恒被直线平分，所以恒过圆心，
所以圆心坐标为，
又圆E经过点，所以圆的半径r＝1，所以圆E的方程为，即.
方案三：选条件③.
设圆E的方程为.
由题意可得，解得，
则圆E的方程为，即.
（2）设.
因为M为线段AP的中点，所以，
因为点P是圆E上的动点，所以，即，
所以M的轨迹方程为.
21．在平面直角坐标系中，已知圆，且圆被直线截得的弦长为2.
（1）求圆的标准方程；
（2）若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求切线的方程；
（3）若圆上存在点，由点向圆引一条切线，切点为，且满足，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）或或或；（3）
【分析】（1）将圆方程整理为标准方程形式，可知，得到圆心坐标和半径；由垂径定理可利用弦长构造出关于的方程，解方程求得，从而得到标准方程；（2）分为直线过原点和不过原点两种情况，分别假设直线方程，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得结果；（3）设，根据且可整理出点轨迹方程为：；根据在圆上，则两圆有公共点，根据圆与圆位置关系的判定可构造不等式，解不等式求得结果.
【详解】（1）圆方程可整理为：
圆的圆心坐标为，半径
圆心到直线的距离：
截得的弦长为：，解得：
圆的标准方程为：
（2）①若直线过原点，可假设直线方程为：，即
直线与圆相切 圆心到直线距离，解得：
切线方程为：
②若直线不过原点，可假设直线方程为：，即
圆心到直线距离，解得：或
切线方程为或
综上所述，切线方程为或或
（3）假设
，即
又直线与圆相切，切点为
即：，整理得：
又在圆上 两圆有公共点
，解得：
即的取值范围为：
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的应用问题；关键是明确直线与圆的位置关系通过圆心到直线的距离与半径之间的大小关系来确定；圆与圆的位置关系通过圆心距与两圆半径之和、半径之差的关系来确定.
22．已知圆过点且与圆：相切于点，直线：与圆交于不同的两点、.
(1)求圆的方程；
(2)若圆与轴的正半轴交于点，直线、的斜率分别为，，求证：是定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由圆与圆相切于点知，圆的圆心在直线上，由圆过点、知，圆的圆心在弦的垂直平分线上，求出垂直平分线与直线，联立可求得圆心，再求出半径即可求出圆的方程；
（2）将直线的方程与圆的方程联立，在的条件下，设，，由韦达定理（根与系数的关系）得出与，求出点，由斜率公式计算，并将与代入化简即可证得为定值.
【详解】（1）由已知，将圆的一般方程化为标准方程，
∴圆的圆心，半径，
∵圆与圆相切于点，
∴点、、三点共线，即圆的圆心在直线上，
∴直线的方程为，即，
又∵点、均在圆上，
∴弦的垂直平分线过圆的圆心，
，
设弦的垂直平分线的斜率为，则，
∴，
∵、中点为，
∴弦的垂直平分线的方程为，即，
∴，解得圆的圆心，
圆的半径，
∴圆的方程为.
（2）由已知，求得，
直线：即
，消去，化简得：
，
∴
设， ，
则，，
∴，
，
∴
，
∴是定值.
【点睛】本题中使用了设而不求的思路，设直线与圆的交点为，，利用韦达定理将与代入和，通过化简即可证得为定值.