2023-2024学年陕西省咸阳市实验中学高二上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年陕西省咸阳市实验中学高二上学期第二次月考数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．点关于平面的对称点为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据点关于平面对称的知识求得正确答案.
【详解】依题意可知点关于平面的对称点为.
（相反，相同）.
故选：B
2．若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】A
【分析】利用给定的渐近线方程，求出，再求出离心率即得.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
依题意，，即，所以该双曲线的离心率为.
故选：A
3．如图，在正方体中，分别为的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解即可.
【详解】以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，则，
所以，所以，
所以直线与直线所成角的余弦值为.
故选：D.

4．“”是“直线和直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据两直线平行的条件及充分条件、必要条件判断即可.
【详解】当时，，，两直线斜率都为且不重合，所以两直线平行；
当两直线平行时，由，即，解得，
经检验时，两直线平行，故.
综上可知，“”是“直线和直线平行”的充要条件.
故选：C
5．已知直线过点，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】画出图象，根据斜率的范围求得直线的倾斜角的范围.
【详解】画出图象如下图所示，
，
所以直线的斜率的范围是，
对应倾斜角的取值范围是.
故选：D
6．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果．其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆：的公切线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】先求得点的轨迹方程，然后根据圆与圆的位置关系确定公切线的条数.
【详解】依题意动点满足，
所以,，
整理得，所以点的轨迹是以为圆心，半径的圆.
圆的圆心为，半径，
，所以两圆外切，则公切线有条.
故选：C
7．直线与曲线恰有一个公共点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】表示半圆，则直线与曲线只有一个公共点分为相切及一个相交点两种情况，由数形结合分别讨论即可.
【详解】由，得表示圆心为，半径的上半圆（含半圆端点），如图，
由于直线与曲线有且只有一个公共点，
则当直线与半圆相切时，，解得或（舍）；
当直线与半圆相交时，代入得，解得，
代入得，解得，则当时，直线与半圆有一个交点，
所以实数b的取值范围为.
故选：C
8．已知直线与椭圆交于A、B两点，与圆交于C、D两点.若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】求得直线恒过定点，即为圆心，为直径，由，可得的中点为，设，，，，运用点差法和直线的斜率公式、中点坐标公式，即可得到所求离心率的范围．
【详解】直线，即为，可得直线恒过定点，
圆的圆心为，半径为1，且，为直径的端点，
由，可得的中点为，
设，，，，
则，，
两式相减可得，
由．，
可得，由，即有，
则椭圆的离心率，．
故选：C
【点睛】方法点睛：在圆锥曲线中，处理中点弦有关的问题时首选点差法.
二、多选题
9．以下命题中正确的是（ ）
A．若是直线的方向向量，，则是平面的法向量
B．若，则直线平面或平面
C．A，B，C三点不共线，对平面外任意一点，若，则P，A，B，C四点共面
D．若是空间的一个基底，，则也是空间的一个基底
【答案】BCD
【分析】利用特殊值判断A；根据空间共面向量定理判断BC；根据空间向量基底的定义判断D.
【详解】对于A，当时，，显然不是平面的法向量，A错误；
对于B，由，得向量共面，即平面，
因此直线平面或平面，B正确；
对于C，由，得，因此四点共面，C正确；
对于D，由是空间的一个基底，得、、不共面，
若、、共面，则存在实数，使得，即有，
于是、、共面与、、不共面矛盾，因此、、不共面，
所以也是空间的一个基底，D正确.
故选：BCD
10．已知曲线C：，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若，则C是圆，其半径为
C．若，则C是双曲线
D．若，，则C是两条直线
【答案】ACD
【分析】根据不同的取值结合曲线方程的形式逐项判断可得正确的选项.
【详解】对于选项A，∵，∴，方程可变形为，
∴该方程表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；
对于选项B，∵，∴方程可变形为，该方程表示半径为的圆，故B错误；
对于选项C，∵，∴该方程表示双曲线，故C正确；
对于选项D，∵，，∴方程变形为，该方程表示两条直线，故D正确.
故选：ACD.
11．已知抛物线： 的焦点为F，P为上一动点，，则下列结论中正确的是（ ）
A．的准线方程为B．直线与相切
C．的最小值为4D．的最小值为
【答案】BCD
【分析】根据抛物线性质逐项判断即可.
【详解】
抛物线：，其标准方程为，其准线方程为，所以A错误；
联立，所以直线与相切，B正确；
过P作垂直准线于H，由抛物线定义，
所以取最小值为点P在原点时，
即的最小值为4，所以C正确；
设，
则，
即时取到最小值为，所以D正确；
故选：BCD
12．已知P是椭圆上的一动点，离心率为e，椭圆与x轴的交点分别为A、B，左、右焦点分别为，，下列关于椭圆的四个结论中正确的是（ ）
A．若PA、PB的斜率存在且分别为，，则
B．若椭圆C上存在点M使，
C．若的面积最大时，，则
D．根据光学现象知道：从发出的光线经过椭圆一次反射后恰好经过.若一束光线从发出经椭圆反射，当光线第n次到达时，光线通过的总路程为
【答案】AC
【分析】根据椭圆的定义和几何性质对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，依题意，，设，
则，，
则，A选项正确.
B选项，设，
则
，当，即时等号成立.
若椭圆C上存在点M使，即存在，使，
所以，
所以，所以B选项错误.
C选项，当上椭圆的上顶点或下顶点时，的面积最大，
依题意，此时，则，
则，C选项正确.
D选项，当时，光线通过的总路程为，所以D选项错误.
故选：AC
【点睛】求解椭圆中的定值问题，可根据椭圆的定义、椭圆上的点等知识，结合题意列方程，化简后可求得所求的定值.求解椭圆离心率有关问题，可以考虑直接法，即求得来进行求解，也可以先求得，然后利用来进行求解.
三、填空题
13．若向量，，，则实数 ．
【答案】2
【分析】根据给定条件，求出，再借助垂直关系的向量表示列式计算即得.
【详解】依题意，，由，得，
所以.
故答案为：2
14．已知点在圆的外部，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据点在圆外列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】方程表示圆，则，
由于点在圆的外部，
所以，
综上所述，的取值范围是.
故答案为：
15．已知二面角的大小为60°，其棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】作出图形，由空间位置关系得，结合几何关系即可求解.
【详解】
如图，设点在底面的投影为，连接，再作于，
设，，
因为底面，，所以，又因为，，所以平面，又因为平面，所以，二面角的平面角为，
又因为二面角的大小为60°，所以，
则四边形为矩形， ，，
，，所以，
故答案为：
16．过点的双曲线的渐近线方程为为双曲线右支上一点，为双曲线的左焦点，点则的最小值为 .
【答案】8
【解析】根据条件求解出双曲线的方程中的值，作出示意图利用双曲线的定义，将转变为的形式，通过点共线判断并计算出的最小值.
【详解】如图所示：设双曲线右焦点为，
设双曲线方程为：，所以，所以，
连接，由双曲线定义可知：，
所以，取等号时三点共线，
又因为，所以，所以，
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查双曲线方程的求解以及利用双曲线的定义求解距离之和的最小值，难度一般.利用双曲线的定义求解线段和的最值时，注意利用点共线构造出最小值然后完成求解.
四、解答题
17．直线：，直线的一个方向向量的坐标为，直线：与直线垂直
(1)求a，b的值；
(2)已知点，求点关于直线对称的点的坐标．
【答案】(1)，.
(2).
【分析】（1）根据直线的方向向量求出，根据直线：与直线垂直求出.
（2）设出对称点的坐标，然后根据点关于直线对称联立求解即可.
【详解】（1）因为直线：的一个方向向量的坐标为，
所以，
又因为直线：与直线垂直，
所以.
所以，.
（2）由（1）知直线：即，
设点关于直线对称的点，
则直线的斜率为，
线段的中点为，
代入直线方程得，
联立，
所以点的坐标为.
18．已知圆的方程为：.
（1）试求的值，使圆的周长最小；
（2）求与满足（1）中条件的圆相切，且过点的直线方程.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）先求圆的标准方程，由半径最小则周长最小；
（2）由，则圆的方程为：，直线和圆线切则圆心到直线的距离等于半径，分直线与轴垂直和直线与轴不垂直两种情况进行讨论即可得解.
【详解】（1），
配方得：，
当时，圆的半径有最小值2，此时圆的周长最小.
（2）由（1）得，，圆的方程为：.
当直线与轴垂直时，，此时直线与圆相切，符合条件；
当直线与轴不垂直时，设为，
由直线与圆相切得：，解得，
所以切线方程为，即.
综上，直线方程为或.
19．如图1，在矩形ABCD中，AB= 4，AD=2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1﹣ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE.
（1）设F为CD1的中点，试在AB上找一点M，使得MF∥平面D1AE；
（2）求直线BD1与平面CD1E所成角的正弦值.
【答案】（1）AM=；（2）.
【分析】（1）取D1E的中点N，连AN、NF，当AM=时，可通过证明AMFN是平行四边形，得到AN∥MF，进而可得线面平行；
（2）分别取AE、AB、BC的中点O、G、K，连OD1、OM、OK、EG，以O为坐标原点，OM、OK、OD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解直线BD1与平面CD1E所成角即可.
【详解】（1）取D1E的中点N，连AN、NF，则，
∵，当AM=时，，
则且，则AMFN是平行四边形，AN∥MF.
又平面D1AE，平面D1AE，则MF∥平面D1AE.
（2）分别取AE、AB、BC的中点O、G、K，连OD1、OM、OK、EG，
∵AD1=ED1=2，∴OD1⊥AE，又平面D1AE⊥平面ABCE且交于AE，
∴OD1⊥平面ABCE.易知OK∥AB，OM∥EG∥BC，又AB⊥BC，∴OM⊥OK，
故如图建系O﹣xyz.
设平面CD1E的法向量 =（x， y， z），
∵EC∥y轴，∴，
∵，
∴D1为（0， 0，），又E为（﹣1， 1， 0），则，
由，取，则=（， 0， 1）.
又B为（1， 3， 0），则，
记直线BD1与平面CD1E所成角的大小为，
则.
20．已知抛物线：上一点到它的准线的距离为，直线与抛物线C交于A、B两点，O是坐标原点
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知点，直线不与坐标轴重直，证明：___________．
①若，则直线过定点．
②若直线过定点，则．
在①②中任选一个补充在上面横线上，并证明结论成立．
（注：如果选择两个命题分别证明，按第一个证明计分）
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据到准线的距离为，列式求出，即得抛物线方程.
（2）设直线方程，与C的方程联立，选①，由已知结合斜率互为相反数求出值即可；选②，代入，推理计算得出斜率和为0即得.
【详解】（1）抛物线的准线为，
由点到准线的距离为，得，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）设，，设直线方程为，
由消去x并整理得：，有，
于是，，
选①，由，得直线的斜率满足，即，
整理得，即，
整理得，即，解得，显然，
所以直线：过定点.
选②，由直线过定点，得，直线的斜率，
此时，，，
则
，即，
所以.
21．已知A、B、C是我方三个炮兵阵地，A地在B地的正东方向，相距；C地在B地的北偏西方向，相距．P为敌方炮兵阵地．某时刻A地发现P地产生的某种信号．后B地也发现该信号（该信号传播速度为）．
(1)请建立适当的平面直角坐标系，判断敌方炮兵阵地P可能分布在什么样的轨迹上，并求该轨迹的方程；
(2)若C地与B地同时发现该信号，现从A地炮击P地，求准确炮击的方位角．
【答案】(1)详见解析，；
(2)北偏东.
【分析】（1）以线段的中点为坐标原点，的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，可知在以，为焦点的双曲线的右支上，可求出点的轨迹方程；
（2）由题可求出线段的垂直平分线方程，联立两个方程可得点的坐标，再求即可求解.
【详解】（1）以线段的中点为坐标原点，的垂直平分线所在直线为轴，正东方向为轴正方向建立平面直角坐标系，则，，
因为，
所以在以，为焦点的双曲线的右支上，
设双曲线方程为，则，，
可得，
所以双曲线方程为，
即敌方炮兵阵地P可能分布在以，为焦点的双曲线的右支上，该轨迹的方程为；
（2）由题可知，，
所以，
因为C地与B地同时发现该信号，，
所以，所以在线段的垂直平分线上，
因为，线段的中点坐标，
所以直线的方程为：，即，
由可得：，
即，解得：或（舍）
所以，，所以，
，所以，
所以点在点的北偏东方向，即准确炮击的方位角为北偏东.
22．已知椭圆C:（）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求面积的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，求出即可作答.
（2）在直线l斜率存在时，设出其方程，再与C的方程联立，求出弦长最大值，验证直线l斜率不存在的情况作答.
【详解】（1）设椭圆的半焦距为，依题意，而，解得，
所以所求椭圆方程为．
（2）设，，当轴时，直线AB：，由得，，
当与轴不垂直时，设直线的方程为，依题意，，得，
把代入椭圆方程，整理得，
，，当时，
，
当且仅当，即时等号成立，当时，直线AB：，由得，，
综上得，面积，
所以面积的最大值.