2023-2024学年四川省内江市资中县第二中学高二上学期12月月考数学试题含答案

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本试卷共2页，22题，全卷满分150分．考试用时120分钟．
【注意事项】
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上．
2．选择题作答时，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其他答案标号．
3．非选择题作答时，用黑色签字笔将答案书写在答题卡上对应的答题区域内．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题或超出答题区域书写无效．
5．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 关于椭圆，以下说法正确的是（ ）
A. 长轴长2B. 焦距为
C. 离心率为D. 左顶点的坐标为
3. 已知圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知直线是圆的对称轴，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
5. 阿波罗尼斯（公元前262年—公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点，，动点M满足，记M的轨迹为C，则轨迹C围成图形的面积是（ ）
A. B. C. D.
6. 点到直线l：的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ）
A. ；B. ；
C. ；D. ；
7. 已知正四棱锥侧面和底面的棱长都为4，P为棱BC上的一个动点，则点到平面的距离是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在直三棱柱中，，，，N为棱上的中点，M为棱上的动点，过N作平面ABM的垂线段，垂足为点O，当点M从点C运动到点时，点O的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若是空间任意四点，则有
B. 在空间直角坐标系中，已知点，点P关于坐标原点对称点的坐标为
C. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
D. 任意空间向量满足
10. 彗星是太阳系中具有明亮尾巴的天体，它们的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆．某彗星测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心约4个天文单位，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心约6个天文单位，且近日点、远日点及太阳中心同在一条直线上，则轨道方程可以为（以“天文单位”为单位）（ ）
A. B. C. D.
11. 已知椭圆C：的左右焦点分别为，点P是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（ ）
A. 的周长为6
B. 若，则的面积为
C. 椭圆C上存在两个点，使得
D. 的最小值为
12. 已知圆C：，直线l：，点P在直线l上运动，直线分别切圆C于点A，B．则下列说法正确的是（ ）
A. 四边形的面积最小值为
B. 最短时，弦长为
C. M为圆C上一动点，定点，则的最小值为
D. 直线过定点
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 两平行线与间的距离为______．
14. 法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切两条互相垂直的直线的交点轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，其圆的方程为，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆方程为，则该椭圆的离心率为______．
15. 已知实数x，y满足，则的最大值为______．
16. 如图，两个正方形，的边长都是8，且二面角为，M为对角线AC靠近点A的四等分点，N为对角线DF的中点，则线段______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知直线l经过直线与的交点P．
（1）若直线l与直线垂直，求直线l的方程；
（2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
18. 已知圆C经过三点，，．
（1）求圆C的方程；
（2）过点作圆C的切线，求切线方程的斜率．
19. 已知 ABC的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC的边上的高BH所在直线方程为．
（1）求顶点C坐标；
（2）求直线BC的方程．
20. 已知椭圆C：长轴长是短轴长的倍，且经过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过左焦点作倾斜角为的直线l交椭圆于两点，求的面积．（O为原点）
21. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，E，F分别是PC，AD中点．
（1）求证：平面；
（2）若，PB与平面ABCD所成角为45°，求平面PFB与平面EFD夹角的余弦值．
22. 如图，在圆上任取一点Q，过点Q作x轴的垂线段QD，D为垂足．线段QD上一点C满足．
（1）当点Q在圆上运动时，求动点C的轨迹的方程；
（2）已知，过点的直线l与轨迹相交于两点（异于点A），直线的斜率分别，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由．