2023-2024学年广西河池市八校高二上学期第二次联考（12月）数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广西河池市八校高二上学期第二次联考（12月）数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．抛物线的准线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据抛物线方程求出，即可得到准线方程.
【详解】因为抛物线方程为，所以，
所以抛物线的准线方程为，
故选：A
2．已知空间向量，且，则m的值为（ ）
A．B．C．6D．
【答案】B
【分析】根据空间向量垂直的坐标表示运算求解.
【详解】因为，则，解得.
故选：B.
3．已知双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于5，那么点P到另一个焦点F的距离等于（ ）
A．3B．3或7C．5D．7
【答案】D
【分析】利用双曲线标准方程和定义，求解到另一个焦点的距离.
【详解】由题意可知，,，
则，
所以或，
又因为,
所以，
故选：D.
4．两圆和的位置关系是（ ）
A．外离B．外切C．相交D．内切
【答案】A
【分析】分别求出两圆的圆心和半径，两圆心的距离与比较即可得出答案.
【详解】圆可化为：，
设圆心为，
圆可化为：，
设圆心为，
，，
故两圆外离.
故选：A.
5．“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据双曲线方程及充分条件、必要条件求解即可.
【详解】由可得且，
则方程表示的曲线为双曲线；
而时，满足方程表示的曲线为双曲线，
但，不满足，
所以“”是“方程表示的曲线为双曲线”的充分不必要条件.
故选：A
6．以下命题正确的是（ ）
A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量，则l与m垂直
B．直线l的方向向量，平面的法向量，则
C．两个不同平面的法向量分别为，，则
D．平面经过三点，向量是平面的法向量，则
【答案】C
【分析】根据空间向量数量积的坐标运算，求解即可判断A、B；由已知推得，即可根据法向量的关系，得出平面位置关系；根据已知得出，求出向量的坐标代入求解，得出，即可判断D.
【详解】对于A项，因为，
所以不垂直，所以l与m不垂直，故A错误；
对于B项，因为，
所以，所以或不垂直，故B错误；
对于C项，因为，
所以，所以，故C正确；
对于D项，因为，，向量是平面的法向量，
所以，，即，解得，故D错误.
故选：C.
7．已知点P在双曲线上，轴（其中F为双曲线的右焦点），点P到该双曲线的两条渐近线的距离之比为3，则该双曲线的离心率（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】D
【分析】根据已知求出点坐标以及双曲线渐近线方程，根据点到直线的距离公式，表示出点P到双曲线的两条渐近线的距离，根据已知列出方程，整理得出，进而求出，即可得出答案.
【详解】
如图，不妨设，，
则有，解得，
所以，.
又双曲线的渐近线方程为，
所以，点到直线的距离，
点到直线的距离.
由已知可得，，即，
整理可得，，
所以，.
故选：D.
8．在正三棱柱中，，D，E分别为棱的中点，F是线段上的一点，且，则点C到平面DEF的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，利用向量的数量积运算求出平面的法向量与，再利用空间向量法即可求得点到平面的距离.
【详解】
记的中点为，连结，过作，如图，
根据题意，易知两两垂直，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
故，，，，
，，
因为，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
故，
又，
所以点到平面的距离为.
故选：C.
二、多选题
9．圆被直线分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根据题意知，圆心到直线的距离为，列出方程，即可求解.
【详解】由题意知，圆的标准方程为，较短弧所对圆心角是，
因为较短弧长与较长弧长之比为，
所以圆心到直线的距离为，即，
解得或.
故选：BC.
10．点为抛物线上一点，点F是抛物线的焦点，O为坐标原点，A为C上一点，且，则（ ）
A．B．
C．直线AF的斜率为D．的面积为16
【答案】ABD
【分析】首先求抛物线方程，再根据焦半径公式求点的坐标，即可判断选项.
【详解】由题意可知，，则，则，焦点，故AB正确；
设点，则，则，
，则，
即或，所以直线的斜率为0，故C错误；
的面积为，故D正确.
故选：ABD
11．在平面直角坐标系中，已知曲线，点为曲线C上一点，则（ ）
A．曲线C关于x轴对称B．曲线C关于原点对称
C．点P的纵坐标的取值范围为D．直线与曲线C有且仅有两个公共点
【答案】BCD
【分析】根据条件，结合各个选项逐一分析判断即可得出结果.
【详解】对于选项A，设曲线上任一点为，则有，
点关于x轴对称的点为，代入，得到，不一定成立，所以选项A错误；
对于选项B，设曲线上任一点为，则有，
点关于原点对称的点为，代入，得到，成立，所以选项B正确；
对于选项C，由，得到，看成关于的方程，
则有，整理得到，解得，所以选项C正确；
对于选项D，由，消得到，解得或，
当时，，当时，，
所以直线与曲线C有且仅有两个公共点或，所以选项D正确，
故选：BCD.
12．在正方体中，E、F、G分别为的中点，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．直线与EF所成角的余弦值为
C．三棱锥与正方体的体积之比为
D．存在实数使得
【答案】AD
【分析】若正方体棱长为2，构建如下图示的空间直角坐标系，应用向量法判断直线位置关系、求夹角余弦值、求点面距，结合棱锥、棱柱体积公式以及向量共面的坐标表示判断各项正误.
【详解】若正方体棱长为2，构建如下图示的空间直角坐标系，
则，，
，则，故，A对；
，则，
故直线与EF所成角的余弦值为，B错；
，设为平面的一个法向量，
则，取，有，而，
所以到面的距离，又，
所以中，则，
所以，而，
所以三棱锥与正方体的体积之比为，C错；
由，则，
故存在实数使得，D对.
三、填空题
13．平面上任意一点满足，则该点的轨迹是 ．
【答案】椭圆
【分析】由两点距离公式与椭圆定义即可得解.
【详解】由满足知，
点到定点与的距离之和为，
又与之间距离为，
根据椭圆定义可知，该点的轨迹为椭圆.
故答案为：椭圆.
14．已知直线与相互平行，则两直线与之间的距离为 ．
【答案】
【分析】先借助直线平行算出，再根据平行线间的距离公式即可求得.
【详解】由，则，有，
解得，即，
化简得，
可化为，
则与之间的距离.
故答案为：.
15．过点的直线l与双曲线交于A、B两点，若M恰好是线段AB的中点，则直线l的斜率为 ．
【答案】6
【分析】设，根据题意利用点差法运算求解.
【详解】设，则，
由题意可知：直线l的斜率存在，则，
因为A、B在双曲线上，则，
两式相减得，则，
即，整理得，
此时直线，即，
联立方程，消去y得，
则，即直线l与双曲线有两个交点，
符合题意，所以直线l的斜率为6.
故答案为：6.
16．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线交于点A、B，与直线l交于点D，若，则 ．
【答案】3
【分析】作，，垂足分别为E，H，利用求出，然后由中位线性质可得.
【详解】作，，垂足分别为E，H，
记，l与x轴的交点为G，则，
易知，，所以，
又，所以，即，，
所以，
故为的中位线，所以.
故答案为：3
四、解答题
17．已知圆，直线．
(1)试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由；
(2)若直线l与圆C交于A，B两点，且，求m的值．
【答案】(1)相交，理由见解析；
(2)
【分析】（1）根据题意可得直线恒过定点，易知点在圆内，所以可得直线与圆相交；
（2）求出圆心到直线距离再利用弦长公式即可求得.
【详解】（1）由题意可得圆的圆心为，半径为；
易知直线恒过定点，
显然，即点在圆内，
所以直线l与圆C相交；
（2）易知圆心到直线的距离为，
可得，
解得.
18．（1）求符合下列条件的双曲线的标准方程：
①顶点在x轴上，两顶点间的距离是8，；
②渐近线方程是，虚轴长为4．
（2）求适合下列条件的抛物线的标准方程：
①焦点F关于准线的对称点为；
②关于y轴对称，与直线相交所得线段的长为12．
【答案】（1）①；②或；（2）①；②.
【分析】（1）设出双曲线方程，利用待定系数法求出双曲线标准方程.
（2）设出抛物线方程，利用待定系数法求出抛物线的标准方程.
【详解】（1）①设双曲线方程为，则，解得，
双曲线半焦距为c，于是，解得，，
所以双曲线的标准方程是；
②当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为，其渐近线方程为，
依题意，，解得，双曲线方程为；
当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为，其渐近线方程为，
依题意，，解得，双曲线方程为，
所以所求双曲线的标准方程为或.
（2）①显然抛物线焦点在y轴上，设其方程为，焦点，准线，
依题意，，解得，
所以抛物线的标准方程为；
②设抛物线方程为，由，得，
于是，解得，即，
所以所求抛物线的标准方程为.
19．已知过点的直线l与抛物线相交于两点．
(1)求证：；
(2)当的面积等于时，求直线l的方程．
【答案】(1)证明见解析
(2)或
【分析】（1）设直线的方程为，联立，消元得，再利用韦达定理得到，进而得到，从而得到，即可证明结果；
（2）由，再根据（1）中结果及条件即可求出结果.
【详解】（1）由题可设直线的方程为，，
由，消得到，，
由韦达定理得，，
又，
因为，所以，得到，所以.
（2）因为，由（1）知，
所以，解得，
所以，直线l的方程为或.
20．设分别是椭圆的左、右焦点，当时，点P在椭圆上，且．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线与椭圆C交于A，B两点，若，求实数m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆定义及垂直关系，结合求解出的值，则椭圆方程可求；
（2）联立直线与椭圆方程，并注意判别式，根据弦长公式列出关于参数的方程，从而结果可求.
【详解】（1）椭圆的方程为，
，又，所以，
所以.
（2）
根据题意可得，则，
且，则，
又，
所以，
即，
则，解得，经检验，符合题意．
五、证明题
21．如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形．平面平面，．
(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值；
(3)证明：在线段存在点D，使得，并求的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)证明见解析，.
【分析】（1）由面面垂直的性质得面，再由线面垂直性质证结论；
（2）构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值；
（3）设且，利用垂直关系有求参数判断存在性，进而求比值.
【详解】（1）由是正方形，则，且面，
面面，面面，则面，
由面，所以.
（2）由，则，所以，且面，
如下图，可构建空间直角坐标系，则，
，
若是面的一个法向量，则，
取，则；
若是面的一个法向量，则，
取，则；
故锐二面角的余弦值为.
（3）由题意，可设且，则，又，
所以，故.
故在线段存在点D，使得.
六、解答题
22．已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线C的右顶点A在圆上，且．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若过点的直线l交双曲线C的右支于E，F两点，Q为x轴上一点，满足；试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)是定值，定值为1.
【分析】（1）根据给定条件，利用数量积的坐标表示计算即得.
（2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，求出点的坐标，结合双曲线定义计算即得.
【详解】（1）依题意，点，令双曲线半焦距为c，，，
由，得，解得，而，因此，
所以双曲线C的标准方程为.
（2）由（1）知，，显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为，，
由消去x并整理得：，，
则，即，线段中点，
当时，线段的中垂线方程，由，
得直线与x轴交于点，，
由双曲线定义知
，
因此，
当时，直线轴，由对称性知，x轴上点有，此时，
取，，满足，
所以为定值1.
【点睛】方法点睛：（1）引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；（2）特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．