2023-2024学年广西玉林市博白县高二上学期11月六校联考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广西玉林市博白县高二上学期11月六校联考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．一条直线过两点，则该直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，设直线的倾斜角为，由两点的坐标求出直的斜率，即可得，进而分析可得答案．
【详解】根据题意，设直线的倾斜角为，
∵直线过两点，∴直线的斜率，
∴，；
故选：．
2．过点、且圆心在直线上的圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设圆心的坐标为，根据圆心到点、的距离相等可得出关于实数的等式，求出的值，可得出圆心的坐标，并求出圆的半径，由此可得出所求圆的标准方程.
【详解】设圆心为，由可得，
整理可得，解得，所以圆心，
所求圆的半径为，因此，所求圆的标准方程为.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求圆的方程常见的思路与方法如下：
（1）求圆的轨迹方程，直接设出动点坐标，根据题意列出关于、的方程即可；
（2）根据几何意义直接求出圆心坐标和半径，即可写出圆的标准方程；
（3）待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般方程，再根据所给条件求出参数即可.
3．若，，、、三点共线，那么（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据向量共线的坐标运算即可求解.
【详解】由于、、三点共线，所以与共线，
所以，解得，所以，
故选：D
4．若抛物线上一点到其焦点的距离等于4，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由抛物线的定义求解即可
【详解】因为抛物线的标准方程为，其准线方程为，
由于抛物线上一点到其焦点的距离等于4，
由抛物线的定义可得，，解得．
故选：B
5．如图，在平行六面体中，为的中点，若，则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据空间向量的分解求解.
【详解】因为,
所以，
故选:B.
6．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，的面积为，过点的直线交于点，，且的周长为8．则的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据已知所给的面积公式，结合椭圆的定义进行求解即可.
【详解】因为的周长为8，
所以，
由椭圆的定义可知：
所以，
由题意可得：，解得，
因为椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为．
故选：C
【点睛】本题考查了椭圆定义的应用，考查了数学阅读能力和数学运算能力.
7．已知直线，其方程分别为：，：，其中，，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．8
【答案】D
【分析】由两直线平行得出的关系式，再根据基本不等式求解即可.
【详解】∵直线：和：平行，
∴且它们的斜率相等，在轴上的截距不相等，
∴，且，∴，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，
∴的最小值是8.
故选：D.
8．设是双曲线的左､右焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，先求得焦点到渐近线的距离为，在直角中，求得，再在中，利用余弦定理求得，结合和离心率的定义，即可求解.
【详解】由双曲线，可得，渐近线方程为，
如图所示，则焦点到渐近线的距离为，
在直角中，可得，
在中，由余弦定理得，
即，所以，
又由，所以，可得，
所以双曲线的离心率为.
故选：A.

二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线可以表示所有的直线
B．直线在轴上的截距为
C．直线关于轴对称的直线方程是
D．直线，，，则
【答案】BC
【分析】根据点斜式特点即可判断A，求出直线在轴上的截距即可判断B，根据直线关于轴对称的特点即可判断C，根据直线垂直得到方程即可判断D.
【详解】对A，若直线的斜率不存在，则点斜式无法表示，故A错误；
对B，令，得，则其在轴上的截距为，故B正确；
对C，直线的斜率为2，令，则，则其经过点，
则其关于轴对称的直线的斜率为，对称直线经过点，
设其方程为，代入点有，则对称直线方程为，故C正确；
对D，由题意得，解得，故D错误；
故选：BC.
10．已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过点B．圆与圆有两条公切线
C．直线被圆截得的最短弦长为D．当时，圆存在无数对点关于直线对称
【答案】ABD
【分析】求解直线系所过的定点判断A；判断两圆位置关系判断B；求解直线被圆截的弦长判断C，利用圆的圆心与直线的位置关系判断D．
【详解】对A，直线，即，恒过点，所以A正确；
对B，圆的圆心坐标为，半径为，而圆的圆心为，半径为1，
则两圆心的距离为，半径和为3，半径差为1，则，则两圆相交，则两圆有两条公切线，B正确；
对C，圆的圆心坐标为，圆的半径为2．
直线，恒过点，代入圆方程得，则定点在圆内，则直线与圆必有两交点，
设圆心到直线的距离为，则弦长，若要弦长最短，则最大，
而圆心到直线的距离最大值即为圆的圆心到定点的距离为：，
所以直线被圆截得的最短弦长为，所以C不正确；
对D，当时，直线方程为：，代入圆心坐标，得，
则该直线经过圆的圆心，所以圆上存在无数对点关于直线对称，所以D正确．
故选：ABD．
11．如图，在直三棱柱中，，，点，分别是线段，上的动点（不含端点），且.则下列说法正确的是（ ）
A．平面B．点到直线的距离为1
C．异面直线与所成角的正切值为D．直线与平面的夹角的正弦值为
【答案】AD
【分析】证明，再利用线面平行的判定推理判断A；利用等面积法求出三角形的高判断B；利用定义求出线线夹角正切值判断C；建立空间直角坐标系，利用空间向量求出向量夹角余弦值判断D.
【详解】对A，在直三棱柱中，由题意易得，
平面，平面，所以平面，A正确；
对B，在中，，在中，斜边，
边上的高，则点C1到直线B1C的距离为，B错误；
对C，由，得异面直线与所成角为或其补角，
在中，，，则，C错误；
对D，以A为坐标原点，以的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，

则，
，
设平面的一个法向量为， 则，令，得，
于是，
所以直线与平面的夹角的正弦值为，故D正确.
故选：AD.
12．已知椭圆与双曲线，点，，是它们的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ）
A．过原点与点的直线与双曲线的左、右两支各有一个交点
B．若在椭圆上，的最大值为5
C．若在椭圆上，的最大值为
D．若在双曲线上，，则
【答案】BCD
【分析】联立直线与双曲线方程即可判断A，根据椭圆的几何性质即可求解B，由椭圆定义以及三点共线即可求解C，根据双曲线焦点三角形的性质，结合余弦定理即可求解D.
【详解】对于A, 过原点与点的直线方程为，将其代入双曲线方程中得，此方程无解，故直线与双曲线没有交点，A错误，
对于B，在椭圆上，的最大值为，故B正确，
对于C，,当且仅当三点共线时，且在的两侧时，等号成立，故C正确，
对于D，由可得，由双曲线的定义可得，
由余弦定理可得,
故，所以，故，故D正确，
故选：BCD
三、填空题
13．平行线与间的距离为 ．
【答案】/
【分析】利用平行线间的距离公式计算可得答案.
【详解】将方程两边乘以2，得，
所以两平行线间的距离为．
故答案为：．
14．是双曲线上一点，点，分别是双曲线左右焦点，若，则 .
【答案】9
【分析】根据双曲线的定义即可求解.
【详解】是双曲线上一点，所以，所以，
由双曲线定义可知，
所以或者，又，所以，
故答案为：9.
15．已知椭圆，过点的直线与椭圆交于，两点，且满足，则直线的斜率为 .
【答案】
【分析】由，得点为线段的中点，然后利用点差法可求出直线的斜率.
【详解】因为，则在椭圆内，可知直线与椭圆总有两个交点，
因为，即点为线段的中点，
设,，,，显然，则，，
，可得，
则，即，
所以，即直线的斜率，
故答案为：
16．在平面直角坐标系中，若圆上任意一点关于原点的对称点都不在圆上，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】求出圆关于原点的对称圆圆的方程，分析可知，圆与无公共点，可得出关于的不等式，结合可求得的取值范围.
【详解】圆关于原点的对称圆为，
圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
所以，，
由已知得，圆与无公共点，所以或，
所以或，解得或，
又，所以．
故答案为：.
四、解答题
17．已知三个顶点坐标分别为，，.
(1)试判断的形状；
(2)求边上的中线所在直线的方程.
【答案】(1)是以为直角的等腰直角三角形
(2)
【分析】（1）根据斜率公式与两点间的距离公式求出，，，，即可判断；
（2）求出、的中点的坐标，再根据斜率公式求出，最后由点斜式求出直线方程，再化为一般式即可.
【详解】（1）因为，，，
所以的斜率，，
的斜率，，
则，
所以且，所以是以为直角的等腰直角三角形；
（2）易求中点坐标，所以直线的斜率，
边上的中线为，化为一般式为．
18．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是棱的中点，点是棱上靠近点的三等分点.
(1)证明：；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明CD⊥平面PAD，则有AF⊥CD，再证明AF⊥平面PCD，根据线面垂直的性质即可得证；
（2）以点A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可．
【详解】（1）底面，底面，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为，点是棱的中点，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以；
（2）解：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，
则
故，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以，
所以点到平面的距离为．
19．已知点是抛物线上的动点，过点向轴作垂线段，垂足为，垂线段中点为，设的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)设过点且斜率为1的直线交曲线于，两点，为坐标原点，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据中点坐标即可将代入求解，
（2）联立直线与抛物线方程得韦达定理，即可由面积公式求解.
【详解】（1）设，则，
由于在抛物线上，所以，即
（2）根据题意可设直线l的方程为
联立，设，
则，
因此
∴面积为
20．在四棱锥中，底面为直角梯形，侧面为等边三角形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点，连接，通过证明四边形为平行四边形，即可证明结论；
（2）建立合适的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案.
【详解】（1）取中点，连接，
为的中点，
，又，
，
四边形为平行四边形：，
平面平面，
平面.
（2）因为平面平面，平面平面平面，平面，
取中点，连接，则平面，
又因为三角形是等边三角形，所以，
则如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
又因为，
，
，设平面的一个法向量，，
则，取，则，
平面的一个法向量可取，
设平面与平面所成的夹角为，
,平面与平面所成的夹角的余弦为.
21．已知点，圆的半径为1.
(1)若圆的圆心坐标为，过点作圆的切线，求此切线的方程；
(2)若圆的圆心在直线上，且圆上存在点，使，为坐标原点，求圆心的横坐标的取值范围.
【答案】(1)或
(2)或.
【分析】（1）根据圆心到直线的距离分直线斜率存在与不存在求解；
（2）由条件求出M所在圆，利用两圆相交求出的取值范围.
【详解】（1）由题意得圆标准方程为，
当切线的斜率存在时，设切线方程为，
由，解得：，
当切线的斜率不存在时，切线方程为，满足题意；
所以切线的方程为或.
（2）由圆心在直线上，设，
设点，由，
得：，
化简得：，
所以点在以为圆心，2为半径的圆上.
又点在圆上，所以圆与圆有交点，
则，即，
解得：或.
22．已知椭圆的的焦距为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若不经过点的直线与交于两点，且直线与直线的斜率之和为0，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）利用椭圆的定义，求，再利用求解；（2）直线与曲线方程联立，利用根与系数的关系，表示，化简变形求解的值.
【详解】（1）由条件可知，并且椭圆的焦点在轴，所以，，则

,
，，
所以椭圆的方程；
（2）设，
联立方程，，
即，
，，
，
即
，

即，
整理得，所以或，
若，则直线过点，不合题意，
所以直线的斜率为定值，该定值是.
【点睛】关键点点睛：解题关键是找到关于的等量关系．本题中直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理求出，得，得到所要求的等量关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．