2023-2024学年广西南宁市兴宁区南宁三中五象校区高二上学期学期模拟试题（一）数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广西南宁市兴宁区南宁三中五象校区高二上学期学期模拟试题（一）数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出两集合，再求两集合的交集即可
【详解】，
由，得，解得，
所以，
所以，
故选：B
2．若，则的虚部为（ ）
A．B．－1C．D．
【答案】D
【分析】直接运用复数运算法则即可.
【详解】因，所以，所以虚部为.
故选：D.
3．下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求导，根据单调性和奇偶性的定义逐项分析.
【详解】对于A， 为奇函数，是周期函数，在定义域内不单调，不符合题意，不符合题意；
对于，定义域为 ，所以为奇函数，但在定义域内不单调，不符合题意；
对于C，，
故函数不是奇函数，不符合题意；
对于D， ，是增函数， ，是奇函数，满足题意；
故选：D.
4．函数，则=（ ）
A．B．0C．D．2
【答案】D
【分析】先计算出，再计算的值.
【详解】，故.
故选：D
5．若，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意利用诱导公式、二倍角公式，求得要求式子的值．
【详解】解：若，所以，
则，
故选：．
6．若方程 有两个相异的实根，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得，曲线与直线有2个交点，数形结合求得k的范围.
【详解】如图所示，化简曲线得到，表示以为圆心，以2为半径的上半圆，直线化为，过定点，
设直线与半圆的切线为AD，半圆的左端点为，当，直线与半圆有两个交点，
AD与半圆相切时，，解得，
，所以.
故选：D
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题.
7．函数的图象在内有且仅有一条对称轴，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】结合正弦函数的基本性质,抓住只有一条对称轴,建立不等式,计算范围,即可.
【详解】当时,,当,因为在只有一条对称轴,可知,解得,故选C.
【点睛】考查了正弦函数的基本性质,关键抓住只有一条对称轴,建立不等式,计算范围,即可.
8．已知球的半径为，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，，, 则球的表面积为
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】在 中，
，
由正弦定理可得平面截球所得圆的半径（即的外接圆半径），
又∵球心到平面的距离
∴球的半径 ，
故球O的表面积
故选D
【点睛】本题考查的知识点是球的体积和表面积，其中根据已知条件求出球的半径是解答本题的关键．
二、多选题
9．在下列函数中，最小值是的函数有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】结合基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，，所以A选项不符合.
B选项，，
当且仅当时等号成立，所以B选项不符合.
C选项，对于函数，
当时，，当且仅当时等号成立.
当时，，当且仅当时等号成立，
综上所述，的最小值是，符合题意.
D选项，，
，
当且仅当时等号成立，所以D选项符合.
故选：CD
10．直线l过点，且在两坐标轴上的截距之和为12，则直线l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据题意结合截距式方程列式求解即可.
【详解】因为直线在两坐标轴上的截距之和为12，则直线l在两坐标轴上的截距都存在且不过原点，
设直线l的在轴上的截距分别为，则方程为，且，
又因为直线l过点，所以，
即，解得或，
故所求直线的方程为或，
即或.
故选：BC.
11．设平面向量满足，且，则（ ）
A．B．
C．D．与的夹角为
【答案】AC
【分析】根据向量模长公式及数量积公式判断A,B,C选项，根据向量夹角公式判断D选项.
【详解】由题意，得，因为，所以，解得，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
设与的夹角为，则，故与的夹角不为，故D错误．
故选:AC．
12．已知椭圆：内一点，直线与椭圆交于，两点，且点是线段的中点，则（ ）
A．椭圆的焦点坐标为，
B．椭圆的长轴长为4
C．直线的方程为
D．
【答案】BCD
【分析】根据椭圆方程，求出、，即可判断A、B，设，，利用点差法求出直线的斜率，即可得到直线方程，从而判断C，再联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式求出，即可判断D；
【详解】解：由椭圆方程，所以，，所以，故，
所以椭圆的焦点坐标为，，故A错误；
因为，所以椭圆的长轴长为，故B正确；
设点，，则，两式相减可得，
整理得，因为点是线段的中点，且，
所以，所以，所以直线的方程为，即，故C正确；
由，得，
所以，，所以，故D正确．
故选：BCD
三、填空题
13．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ．
【答案】
【分析】由简单随机抽样的定义，每个个体被抽到的概率是一样的，结合容量，即可求得概率.
【详解】由题意得，每个个体被抽到的概率为，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为.
故答案为：
14．已知点在直线上，点以为圆心的圆与轴的正半轴相切于点. 若则圆的方程为 ．
【答案】
【分析】根据几何位置关系确定圆心坐标和圆的半径即可.
【详解】由圆心在直线上，且圆与轴正半轴相切，
可得点的横坐标为，圆的半径为，.
又因为
所以所以
因为所以，所以，
所以点的纵坐标为.
所以圆的方程为.
故答案为: .
15．在直三棱柱中，所有的棱长都相等，为的中点，为的中点，则与所成角的余弦值为 .
【答案】
【分析】首先以为原点建立空间直角坐标系，因为在直三棱柱中，所有的棱长都相等，所以可设所有的棱长都为2，然后用坐标表示向量和，进而求出与所成角的余弦值.
【详解】解：以为原点，在平面中，过作的垂线为轴，
所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设直三棱柱所有的棱长都为2，则，，
，，所以，.
设与所成的角为，则.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中等题型.
16．设，是椭圆的两个焦点，为直线上一点， 是底角为的等腰三角形，则的离心率为 .
【答案】/0.625
【分析】分别表示出、，在中由计算可得结果.
【详解】如图所示，

由图知，
所以，，
又因为，，
所以，
所以在中，由得，
解得：，
所以椭圆E的离心率为.
故答案为：.
四、解答题
17．已知三角形ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且．
(1)求角B；
(2)若b＝2，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理把已知等式边化角，再由，得，则角B可求；
（2）由余弦定理及重要不等式得，利用两边之和大于第三边可得，即可得的范围．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵ ，
∴；
（2）由，
可得：,
又，
∴即，当且仅当时取等，
又，
∴的取值范围为．
18．如图，正方形ABCD所在平面外一点P满足PB⊥平面ABCD，且AB＝3，PB＝4．
(1)求点A到平面PCD的距离；
(2)线段BP上是否存在点E，使得DE⊥平面PAC，若存在，求出该点位置，若不存在，则说明理由．
【答案】(1)；
(2)不存在，理由见解析.
【分析】（1）利用等积法，根据线面垂直，面面垂直的判定及性质结合条件即得；
（2）利用坐标法，设，结合条件可得，进而即得.
【详解】（1）由题意，，
由PB⊥平面ABCD，PB⊂平面PBC，
可得平面PBC⊥平面ABCD，
而DC⊥BC，且平面平面，平面ABCD，
∴DC⊥平面PBC，平面PBC，
可得DC⊥PC，
∵CD＝3，PC＝，
∴，
设A到平面PCD的距离为h，则，
即h＝，
∴点A到平面PCD的距离为；
（2）以B为坐标原点，分别以BC、BA、BP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则D（3，3，0），C（3，0，0），P（0，0，4），
设，则，，
若DE⊥平面PAC，则，
解得，不合题意，
故线段BP上不存在点E，使得DE⊥平面PAC．
19．经调查某市三个地区存在严重的环境污染，严重影响本地区人员的生活．相关部门立即要求务必加强环境治理，通过三个地区所有人员的努力，在一年后，环境污染问题得到了明显改善．为了解市民对城市环保的满意程度，开展了一次问卷调查，并对三个地区进行分层抽样，共抽取40名市民进行询问打分，将最终得分按分段，并得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值，以及此次问卷调查分数的中位数；
(2)若分数在区间的市民视为对环保不满意的市民，从不满意的市民中随机抽出两位市民做进一步调查，求抽出的两位市民来自不同打分区间的概率．
【答案】(1)，中位数为（分）
(2)
【分析】（1）根据小矩形的面积之和为即可求出，再根据频率分布直方图求出中位数即可；
（2）分别求出和的市民人数，再根据古典概型即可得解.
【详解】（1）由题意可得，
解得，
由，
可得此次问卷调查分数的中位数在上，设为，
则，解得，
所以此次问卷调查分数的中位数为（分）；
（2）的市民有人，记为a，b，
的市民有人，记为1，2，3，4，
则从中抽取两人的基本事件有：共15种，其中两人来自不同的组的基本事件有8种，
则所求概率为.
20．如图，等腰梯形中，，，现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.
(1)证明：平面；
(2)若为上一点，且三棱锥的体积是三棱锥体积的2倍，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）在梯形中，取的中点，证明四边形为平行四边形，再根据圆的性质得出，利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，由得出，利用向量法即可得出二面角的余弦值.
【详解】（1）在梯形ABCD中取AD中点N，连接CN，
所以且，所以四边形为平行四边形，
所以，又因为，所以，
所以点在以为直径的圆上，所以.
又因为，，平面
所以平面.
（2）取中点，连接，因为，所以，
由（1）得平面，又因为面，
所以平面面，因为为两平面交线，
所以面，
以为原点，为轴，过且与垂直的直线为轴，为轴建立直角坐标系，
设，则，，，，
由，得，
所以，
设平面的法向量为，
所以，即，
取，则，，所以，
又因为平面的法向量，
所以,
因为二面角为锐二面角，所以其余弦值为.
21．已知两圆，．
（1）求证：此两圆相切，并求切点坐标；
（2）求过点且与两圆相切于上述切点的圆的方程．
【答案】（1）证明见解析，；（2）．
【分析】（1）求出两圆的圆心和半径，比较圆心距等于半径之和即可求证两圆相切；两圆方程相减可得公切线方程，再求出直线的方程，联立两条直线的方程即可求得切点坐标；
（2）由题意可得所求圆的圆心必在直线上，设圆心为，再结合点和切点到圆心的距离相等列方程可得圆心的坐标，进而可得半径，即可求解.
【详解】（1）由圆可得：，
由圆可得：，
因此两圆心分别为，，
两圆的半径，
圆心距，所以两圆外切．
由两式相减得，
易知直线经过切点，且的方程为，即，
由解得所以切点坐标为．
（2）与两圆切于点的圆的圆心必在已知两圆的圆心连线：上，
设圆心为，
则，解得，
所以，
故所求圆的方程为．
22．在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点形成轨迹.
(1)求轨迹的方程；
(2)若直线与曲线交于、两点，为曲线上一动点，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设点、，则，由中点坐标公式可得，由已知条件可得出，将代入等式，化简可得出轨迹的方程；
（2）设点，求出点到直线距离的最大值，然后将直线的方程与曲线的方程联立，求出，利用三角形的面积公式可求得面积的最大值.
【详解】（1）解：设点、，则，
由中点的坐标公式可得，所以，，
因为点在圆上，则，则，整理可得.
因此，轨迹的方程为.
（2）解：设点，则点到直线的距离为
，其中为锐角，且，
所以，的最大值为，
联立可得或，
所以，，
所以，面积的最大值为.