2023-2024学年江苏省高邮市高二上学期12月学情调研测试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省高邮市高二上学期12月学情调研测试数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若两条直线与互相垂直，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据直线垂直列式求解.
【详解】由题意可得：，解得.
故选：C.
2．抛物线的焦点到点的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出抛物线的焦点坐标，再利用两点间的距离公式求解即可.
【详解】抛物线的焦点坐标为，
所以到点的距离为.
故选：B.
3．已知数列中，且，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将已知式化简得出，即可根据构造法求出数列通项，再代入数值求解即可.
【详解】，
，
即，
两边同时除以得：，
即，
令，则，
则是首项为，公差为的等差数列，
则，即，
则，则.
故选：D
4．设函数在处存在导数为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据导数的定义求解．
【详解】，
故选：A．
5．已知圆与圆，若与有且仅有一条公切线，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由两圆有且仅有一条公切线，得到两圆内切，再求出结果即可.
【详解】圆可化为，圆心，半径；
圆可化为，圆心，半径；
因为与有且仅有一条公切线，所以两圆内切，
所以，即，解得.
故选：D
6．已知等差数列的前项和为，，，则使得不等式成立的最大的的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】结合等差数列的前项和，根据等差数列的性质判断．
【详解】是等差数列，∴，又，所以，公差，
因此中，当时递减，是最小值，从开始，递增，
又，，
所以使得的最大的为11，
故选：C．
7．已知双曲线，是它的两个焦点，为坐标原点，是双曲线右支上一点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先由题意得出，，，，利用余弦定理计算出；再利用三角形面积公式可计算出；最后根据点P在双曲线上及两点间距离公式即可得出结果.
【详解】
设点坐标为，
由题意可知，，，
则，，，.
在中，由余弦定理可得：，
即，解得．
因为，则．
因为，
所以，解得．
又因为点P在双曲线，所以，
则.
故选：A
8．已知椭圆，P是椭圆C上的点，是椭圆C的左右焦点，若恒成立，则椭圆C的离心率e的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设，，求出的最大值，由这个最大值不大于得关于齐次式，变形后可求得的范围．
【详解】设，则，，，
，
因为，所以，又，
所以时，取得最大值，
恒成立，则，变形得，又，故解得，
故选：D．
二、多选题
9．下列说法正确的有（ ）
A．若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大
B．直线必过定点
C．直线与直线的距离为
D．斜率为，且在轴上的截距为2的直线方程为
【答案】BC
【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可判断A；将直线方程化为，再求解即可判断B；根据两平行直线间的距离公式即可判断C；根据直线斜截式方程即可判断D．
【详解】对于A，当斜率为时,倾斜角为，当斜率为时,倾斜角为，故A错误；
对于B，将直线化为，
则，解得，
即直线必过定点，故B正确；
对于C，将直线化为，
则这两平行直线间的距离为，故C正确；
由斜截式方程的定义可知斜率为，且在轴上的截距为2的直线方程为，故D错误．
故选：BC．
10．下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根据导数的计算公式以及导数运算法则，逐项判断即可得出结果.
【详解】由基本初等函数的求导公式以及导数运算法则可得：
对A，，A正确；
对B，，B错误；
对C，，C错误；
对D，，D正确.
故选：AD
11．已知点在抛物线的准线上，过抛物线的焦点作直线交于、两点，则（ ）
A．抛物线的方程是B．
C．当时，D．
【答案】ABD
【分析】求出的值，可得出抛物线的方程，可判断A选项；设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理可判断B选项；根据平面向量的线性运算，结合韦达定理求出的值，再结合抛物线的焦点弦长公式可判断C选项；计算出直线、的斜率之和，可判断D选项.
【详解】对于A选项，抛物线的准线方程为，
因为点在抛物线的准线上，则，可得，
所以抛物线的方程为，A对；

对于B选项，抛物线的焦点为，
若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，
所以直线不与轴重合，设直线的方程为，
联立，可得，，则，
所以，B对；
对于C选项，因为，即，则，
因为，可得，
则，则，
此时，
，C错；
对于D选项，，同理可得，
所以
，
所以，D对.
故选：ABD.
12．对于正项数列，定义：为数列的“匀称值”．已知数列的“匀称值”为，的前n项和为，则下列关于数列的描述正确的有（ ）
A．数列为等比数列
B．数列为等差数列
C．
D．记为数列的前项和，则
【答案】BCD
【分析】由新定义可得，利用该递推关系求出数列的通项公式，可判断，；根据等差数列求和公式求出，可判断；根据裂项相消求出，可判断.
【详解】由已知可得，
所以，
当时，，
由得，，
即时，，
当时，由知，满足，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，故错误，正确；
因为，所以，
故，故正确；
因为，
所以，故正确.
故选：.
【点睛】运用题中所给的定义，求出数列的通项公式是解决本题的关键.
三、填空题
13．若焦点在轴上的椭圆的焦距为，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】根据焦距求得，结合椭圆的方程求得.
【详解】由于椭圆焦距为，所以，
由于椭圆的焦点在轴上，，
所以，
解得.
故答案为：
14．已知为等比数列，公比，，且成等差数列，则通项公式 ．
【答案】
【分析】由成等差数列，得，然后利用等比数列通项公式，代入求出公比即可.
【详解】由成等差数列，且，
得，解得或，
又，所以，所以，
故答案为：.
15．已知平面内的动点到两定点的距离分别为和，且，则点到直线的距离的最大值为 .
【答案】
【分析】由题意，结合两点距离公式求得动点的轨迹为圆，再利用圆上的点到直线的距离的最值求法即可得解.
【详解】设动点为，
由题意可得，
整理得，即，
故动点的轨迹是半径为，圆心为的圆，
因为圆心到直线的距离，
所以点到此直线的最大距离为．
故答案为：.
16．在数列中，，，若对于任意的，恒成立，则实数的最小值为 ．
【答案】
【分析】确定，设得到，故，变换得到，设，计算数列的最大值得到答案.
【详解】，故，设，则，，
是首项为，公比为的等比数列，故，，
，即，即恒成立，
设，设的最大项为，则，解得，
故第4项或者第5项最大为，故
故答案为：.
四、解答题
17．已知等差数列的前项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)1409
【分析】（1）根据已知条件求得等差数列的首项和公差，从而求得.
（2）利用分组求和法求得.
【详解】（1）依题意，设数列的公差为，
因为，所以，解得：，
所以．
（2）因为，所以，
所以

.
18．已知圆的圆心在直线上且与y轴相切于点.
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线l过点且被圆截得的弦长为，求直线l的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）设圆心坐标为，结合题意得到，求得圆心，再由，即可求得圆的方程；
（2）根据圆的弦长公式，化简得到，分的斜率不存在和存在，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解.
【详解】（1）解：圆的圆心在直线上且与轴切于点，
可设圆心坐标为，则，解得，.
所以圆心，半径，
故圆的方程为.
（2）解：由直线l过点且被圆C截得的弦长为，
根据圆的弦长公式，可得，即，解得，
当的斜率不存在时，的方程为，此时不满足条件；
当的斜率存在时，设直线的斜率为，则方程为，即，
可得，解得或，
所以直线方程为或.
19．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．
【答案】(1)
(2)切线方程为，切点为.
【分析】（1）求导得到导函数，计算，得到切线方程.
（2）设切点为，求导计算得到斜率，确定函数切线，根据切线过原点得到，计算得到答案.
【详解】（1），，.
故曲线在点处的切线方程为，
即；
（2）设切点为，，
切线方程为，.
切线经过原点，故，所以，，
故，切点为，切线方程为，
即过原点的切线方程为，切点为.
五、证明题
20．已知数列
(1)令，求证：数列是等比数列；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，由递推关系结合等比数列的定义，即可证明；
（2）根据题意，由错位相减法代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）证明：因为，
所以，即，
又，则.
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列；
（2）由（1）得，则，
则，
，
两式相减得，.
所以．
六、解答题
21．在平面直角坐标系中，存在两定点，与一动点.已知直线与直线的斜率之积为8.
(1)求点A的轨迹方程；
(2)记的左、右焦点分别为、，过定点的直线交于、两点.若、两点满足，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据直线与直线的斜率之积为8，列出方程化简即可.
（2）由题意设出直线方程，并与双曲线方程联立，然后结合以及韦达定理即可列出关于的方程，注意验证是否满足即可.
【详解】（1）设，由题意，化简可得.
所以点A的轨迹方程为.
（2）
由题设易知直线的斜率存在，设过定点的直线方程为，
将其与联立有：
，消去y得：，
因交于、两点，则，
解得：.
设，则由韦达定理有：．
又，则，
同理，
又因为，所以.
又
，
所以，
即，解得，此时，，
则直线的方程为：或.
22．已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线交于两点，为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆的长轴长确定的值，然后将点代入椭圆方程确定的值，从而得到椭圆方程.
（2）直线与椭圆方程联立，确定的值，表示出直线的方程为，确定的取值范围，然后根据对角线垂直，表示出四边形的面积，从而确定取值范围.
【详解】（1）因为椭圆E：的长轴长为4，所以，
又点在椭圆上，所以，解得，
所以椭圆E的方程为.
（2）
由，解得或，
因此.
因为，
所以设直线的方程为，设，.
由得.
由，故.
则，
当直线过点时，，即，
当直线过点时，，即，
又，的交点在之间，故.
因为直线的斜率为1，所以.
又四边形的面积.
当时，
所以四边形面积的取值范围为