2023-2024学年青海省西宁市海湖中学高二上学期第二次阶段考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年青海省西宁市海湖中学高二上学期第二次阶段考试数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．如图，在平行六面体中，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由空间向量的加法的平行四边形法则和三角形法则，可得所求向量．
【详解】
连接，可得，又，
所以．
故选：B.
2．已知向量，，若，则的值为（ ）
A．0B．C．2D．
【答案】B
【解析】首先求得，，根据两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.
【详解】因为，，
所以由有：
所以.
故选：B
【点睛】本小题主要考查向量加法和减法的坐标运算，考查两个向量垂直的坐标表示，属于基础题.
3．如图，在平面直角坐标系中有三条直线，其对应的斜率分别为，则下面选项中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据三条直线的倾斜角，直接判断斜率的大小关系
【详解】由题图可知，，，，且，
所以，，，
故选：A.
4．已知点，圆，则（ ）
A．A，B都在C内B．A在C外，B在C内
C．A，B都在C外D．A在C内，B在C外
【答案】D
【解析】根据点与圆的位置关系的判定方法，代入即可求解.
【详解】由题意，，所以A在C内，B在C外.
故选：D.
5．将圆x2+y2 -2x-4y+1=0平分的直线是
A．x+y-1=0B．x+y+3=0C．x-y+1=0D．x-y+3=0
【答案】C
【详解】直线过圆心(1,2)，选项C符合题意．
6．已知直线与互相平行,则的值是
A．1B．或2C．1或2D．2
【答案】D
【解析】根据两条直线平行的条件列式，由此求得的值.
【详解】由于两条直线平行，所以，解得.
故选：D
【点睛】本小题主要考查根据两条直线平行求参数，属于基础题.
7．若直线l经过点(1,1),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2,则直线l的条数为
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】试题分析：设直线l的截距式为，
∵直线l经过点（1，1），且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，
∴，，
解得a=b=2，或．
直线l的条数为3．
【解析】直线的截距式方程
8．已知双曲线C的方程为，则下列说法错误的是（ ）
A．双曲线C的实轴长为8
B．双曲线C的渐近线方程为
C．离心率为
D．双曲线C上的点到焦点距离的最小值为
【答案】D
【分析】根据双曲线C的方程，求出实轴长、渐近线方程、离心率以及双曲线C上的点到焦点距离的最小值判断即可.
【详解】因为双曲线C的方程为，为焦点轴上的双曲线，
所以，，，
所以曲线C的实轴长为，渐近线方程为，离心率为，
双曲线C上的点到异支焦点的距离最小值为，双曲线C上的点到同支焦点的距离最小值为，
故双曲线C上的点到焦点距离的最小值为，故A，B，C正确，D错误，
故选：D.
二、多选题
9．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中不能确定点M，A，B，C共面的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】利用向量四点共面的结论进行判断即可.
【详解】设，
若点与点共面，则，
逐一检验各选项，可知只有选项D确定点M，A，B，C共面.
故选：ABC.
10．下列说法中，正确的有（ ）
A．直线在y轴上的截距是2
B．直线经过第一、二、三象限
C．过点，且倾斜角为90°的直线方程为
D．过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为
【答案】BC
【分析】根据直线相关概念一一对答案进行核对即可。
【详解】对于A:令时，，故在y轴上的截距是2，A错.
对于B:直线的斜率为2，在轴上的截距分别为，故直线经过第一、二、三象限，B对.对于C:过点，倾斜角为90°的直线方程为，故C对.对于D:当直线的截距不为0时，设直线的方程为：，把点代人直线得，所以直线方程为：，当截距为0时，设直线方程为：，把点代人直线得，直线方程为：，故D错.
故选：BC
11．判断下列命题是正确的（ ）
A．当直线和的倾斜角相同时，则∥
B．已知两条直线：与：不重合，则是直线∥的必要条件．
C．直线外一点与该点在直线上的投影的距离就是点到直线的距离
D．若点A，B关于直线对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线上
【答案】BCD
【分析】根据直线的位置关系，以及点到直线的距离，点关于直线的对称的点的定义，即可判断选项.
【详解】A.两直线的倾斜角相同，直线的横截距或纵截距不相同，则直线，只有倾斜角相同，则直线有可能重合，故A错误；
B.两直线平行的充要条件是且或，
所以是直线∥的必要条件，故B正确；
C.根据点到直线的距离的定义，可知C正确；
D. 若点A，B关于直线对称，则，所以直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线上，故D正确.
故选：BCD
12．已知圆M的方程为：，（），点，给出以下结论，其中正确的有（ ）
A．过点P的任意直线与圆M都相交
B．若圆M与直线无交点，则
C．圆M面积最小时的圆与圆Q：有三条公切线
D．无论a为何值，圆M都有弦长为的弦，且被点P平分
【答案】ACD
【分析】根据点与圆的位置关系判断A选项，通过几何法判断直线与圆的位置关系判断B选项，根据圆与圆的位置关系判断公切线的条数判断C选项，根据半径的最小值及垂直弦平分弦判断D选项.
【详解】因为点代入入圆的方程得,所以在圆M内，
所以过点P的任意直线与圆M都相交,A选项正确;
圆M圆心,直线,
若圆M与直线无交点， ,
,,,,B选项错误;
圆,当时，圆M半径最小则面积最小,
圆Q：,,
,
圆M面积最小时的圆M与圆Q外切所以有三条公切线,C选项正确;
无论a为何值， ,,所以圆M都有弦长为的弦,
,,
,,
因为垂直弦平分弦, 圆M都有弦长为的弦，且被点P平分,故D选项正确.
故选:ACD.
三、填空题
13．已知、为双曲线的左、右焦点，点P在C上，，则的面积为
【答案】
【分析】由双曲线的方程求得c，利用双曲线的定义结合三角形余弦定理，配方化简求得，再利用三角形面积公式即可得解.
【详解】双曲线，则，所以，
利用双曲线定义知， ，
两边平方得，且，
由余弦定理，
解得：，则.
故答案为：
【点睛】方法点睛：本题考查求焦点三角形的面积，在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合，运用平方的方法，建立与的联系，考查学生的转化能力与运算能力，属于一般题.
14．若，，与的夹角为，则的值为 ．
【答案】或
【分析】利用空间向量的数量积的坐标运算公式可求得，从而可求得的值．
【详解】解：，，
，，，
又与的夹角为，
，
解得：或1．
故答案为或1
【点睛】本题考查空间向量的数量积的坐标运算，熟练掌握空间向量的数量积的坐标运算公式是关键，属于中档题．
15．已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则 .
【答案】
【分析】根据线面垂直列方程，化简求得的值
【详解】由，可知，则有，解之得，
故答案为：.
16．在中，，，若以、为焦点的椭圆经过点，则椭圆的离心率为 ．
【答案】
【分析】根据已知可设，在中，用余弦定理求得，进而由椭圆定义及几何性质可得，，可求离心率的值．
【详解】
如图，设，
由及余弦定理得，
所以.
因为椭圆以A，B为焦点，故，即，
又椭圆经过点C，所以．
所以 ，即.
所以.
故该椭圆的离心率是.
故答案为：.
四、解答题
17．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．
(1)斜率为，且经过点；
(2)过点，且垂直于轴；
(3)斜率为4，在轴上的截距为；
(4)在轴上的截距为3，且平行于轴；
(5)经过点与直线垂直．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）利用点斜式可得直线方程；
（2）根据直线所过点及与坐标轴的关系可得答案；
（3）利用斜截式可得答案；
（4）平行于轴可得斜率为0，利用斜截式可得答案；
（5）利用方程求出所求直线的法向量，根据点法式求出方程.
【详解】（1）由点斜式方程得，整理得.
（2）因为直线过点，且垂直于轴，
所以其方程为，即.
（3）因为斜率为4，在轴上的截距为，
所以，即.
（4）因为在轴上的截距为3，且平行于轴，所以，即.
（5）由得，即该直线的斜率为，
即一个方向向量为所求直线的一个法向量，
故所求直线方程为，即.
18．（1）求经过两点，的双曲线的标准方程；
（2）求经过两点，的椭圆的标准方程．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用待定系数法设出双曲线方程为，代点计算即可；
（2）利用待定系数法设出椭圆方程为1，代点计算即可.
【详解】（1）由题意，设双曲线方程为，代入点、，
则，解得，
故双曲线的标准方程为.
（2）由题意，设椭圆的方程为1，代入点、，
则，解得．
故椭圆的标准方程为.
19．若圆C经过点和，且圆心C在直线上，求圆C的方程.
【答案】
【详解】因为,AB中点为(0，－4)，所以AB中垂线方程为y+4=－2x，即2x+y+4=0，解方程组得
所以圆心C为(－1，－2).根据两点间的距离公式，得半径r=,
因此，所求的圆C的方程为.
20．经过点作直线交双曲线于两点，且为中点．
(1)求直线的方程．
(2)求线段的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用点差法，设代入双曲线方程，两式相减化简可求出直线的斜率，从而可求出直线方程，
（2）将直线方程代入双曲线方程化简，再利用根与系数的关系，结合弦长公式可求得结果.
【详解】（1）设，
代入双曲线方程得，
两式相减得，即，
因为为的中点，所以，
所以，所以直线的斜率为
所以的方程为，即，
经验证符合题意，
所以直线的方程为；
（2）将代入中得，
故，
所以
.
21．已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M满足直线AM与BM的斜率之积为，记M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)若直线和曲线C相交于E，F两点，求.
【答案】(1)，曲线是一个双曲线，除去左右顶点
(2)
【分析】（1）设，则的斜率分别为，，根据题意列出方程，化简后即得C的方程，根据方程可以判定曲线类型，注意特殊点的去除；
（2）联立方程，利用韦达定理和弦长公式计算可得.
【详解】（1）解：设，则的斜率分别为，，
由已知得，
化简得，
即曲线C的方程为，
曲线是一个双曲线，除去左右顶点.
（2）解：联立消去整理得，
设，，则，

.
五、证明题
22．如图，在直三棱柱中，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用向量法去证明平面；
（2）利用向量法去证明平面平面．
【详解】（1）在直三棱柱中，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，
，，，
则，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
，且平面，则平面
（2），，
设平面的一个法向量，
则，取，得，
又平面的法向量，则，则
平面平面．