2023-2024学年福建省龙岩市一级校联盟高二上学期11月期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年福建省龙岩市一级校联盟高二上学期11月期中数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．直线的倾斜角是（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】A
【分析】根据倾斜角与斜率之间的关系运算求解.
【详解】因为的斜率，
所以其倾斜角为30°.
故选：A.
2．已知椭圆mx2＋y2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为( )
A．B．C．2D．4
【答案】D
【详解】∵, 焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍
∴，∴
故选D
3．已知等差数列的前项和为，满足，，则等于（ ）
A．10B．11C．12D．13
【答案】D
【分析】由题设得是公差为1的等差数列，即有，利用关系求通项公式，进而求.
【详解】依题意：，则，
是公差为1的等差数列，且，故，，
当时，显然也满足，
所以，易知的公差为2，
.
故选：D
4．已知数列满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，两边取倒数，然后累加即可得到结果.
【详解】，则，，，…，，以上各式相加可得，，.
故选：B
5．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，，点满足，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】A
【分析】设是所求轨迹上的任意一点，根据题意，求得点的轨迹方程，在求得圆心到直线的距离，结合圆的性质，即可求解.
【详解】设是所求轨迹上的任意一点，且，，点满足，
可得，整理得，即，
可得圆心坐标为，半径为，
又由圆心到直线的距离为，
点到直线的距离的最小值为.
故选：A.
6．已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点（在第一象限），是以为直径的圆与抛物线的准线的公共点.若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用抛物线定义，联立直线与抛物线，结合韦达定理可得解.
【详解】
如图所示，
由抛物线的焦点为，可知，
所以抛物线方程为，
又是以为直径的圆与抛物线的准线的公共点，
所以，
又，，
所以，
所以，
所以直线的斜率，
则直线的方程为，
联立直线与抛物线，得，
则，
所以，
故选：B.
7．已知是坐标原点，，是椭圆的左、右焦点，是椭圆在第一象限上的点，且，是的角平分线上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【分析】由椭圆的定义和余弦定理求出，，再由角平分线定理求出的角平分线与轴交点，从而求出的角平分线的方程，结合两点间距离公式即可求解.
【详解】由椭圆定义得，，
由余弦定理可，解得，，所以轴，即，
设的角平分线与轴相交于，由三角形角平分线定理得，所以，
从而的角平分线的方程为，
原点关于的角平分线对称的点设为，经计算可，
则.
（或：关于的角平分线的对称点在的延长线上，记为，
且，，所以，,，解得，，即，
或由勾股定理知轴，得，
所以.
故选：A
8．已知数列满足，其前项和为，设函数，则（ ）
A．0B．1C．1012D．2024
【答案】C
【分析】由可得，从而可得，又由可得，从而利用倒序求和法即可求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
因为，
所以，，…，，以上各式相加，
.
故选：C
二、多选题
9．直线，直线，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则或B．若，则
C．当时，两直线的距离为D．当时，两直线的交点坐标为
【答案】BD
【分析】根据直线平行求参数判定A，根据直线垂直求参数判定B，根据平行线距离公式求距离判断C，联立直线方程求交点判断D.
【详解】对于A，因为，所以，解得，错误；
对于B，因为，所以，解得，正确；
对于C，当时，由选项A知，直线，直线，
两直线距离为，错误；
对于D，当时，由选项B知，直线，直线，
联立，解得，所以两直线的交点坐标为，正确.
故选：BD.
10．已知圆和圆的交点为A，B，则下列结论正确的是（ ）
A．直线的方程为
B．
C．圆上有且只有三个点到直线的距离等于1
D．经过圆的圆心的直线被圆截得的最短弦长为
【答案】ACD
【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，求出圆心距，再两圆方程作差即可求出公共弦方程，即可判断A，求出到直线的距离，即可求出，从而判断B、C，利用由圆心距求出最短弦长，即可判断D.
【详解】圆即，圆心，半径，
圆即，圆心，半径，
则，则，所以两圆相交，
则，即，
所以直线的方程为，故A正确；
又到直线的距离，所以，故B错误；
因为圆心到直线的距离，圆的半径，
所以圆上有且只有三个点到直线的距离等于1，故C正确；
因为，所以经过圆的圆心的直线被圆截得的最短弦长为，
此时与该弦垂直，故D正确；
故选：ACD
11．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列，在数列的每相邻两项之间插入此两项的和后，与原数列构成新的数列，再把所得的数列按照同样的方法不断的构造出新的数列.如：将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第次得到数列1，，，，…，2现将数列1，1用上述方法进行构造，记第次构造后所得新数列的所有项的和为，则对于数列，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若， ，则的最小值为21
D．若，则
【答案】BD
【分析】通过计算求出的值可判断A；运用归纳法得到之间的关系可判断B；由递推关系求出数列，代入，求的最小值可判断C；由，结合等比数列的前项和可判断D.
【详解】解：由题意可知，第1次得到数列1，2，1，
第2次得到数列1，3，2，3，1，
第3次得到数列1，4，3，5，2，5，3，4，1，
第4次得到数列1，5，4，7，3，8，5，7，2，7，5，8，3，7，4，5，1，
由题意得：，
所以有，因此选项A不正确，B正确；
，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
因此有，
，
令，所以，
由双勾函数的性质知：在上单调递减，在上单调递增，
因为，，
当时，的最小值为，
因此选项C不正确；
因为，所以，
所以，
所以
，所以选项D正确，
故选：BD
12．已知椭圆的左焦点为，为的上顶点，，是上两点.若，，构成以为公差的等差数列，的延长线与的另一个交点为，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，轴
B．的取值范围是
C．当，在轴的同侧时，面积的最大值为
D．当，在轴的异侧，且时，
【答案】ACD
【分析】结合题意，利用椭圆的定义以及几何性质，对答案逐一判断.
【详解】
设右焦点为，连接，由，，构成以为公差的等差数列，得，而，，，.，，.
对于A：通径长为，，则，轴；
对于B：，，，；
对于C：当，在轴的同侧时，，关于轴对称，
设，则，而，
，当且仅当，时，等号成立，即的最大值为 ；
对于D：当，，在轴的异侧，且时，轴，，关于原点对称，
设，则，，，，又，
，，.
故选：ACD.
三、填空题
13．已知抛物线的顶点为，焦点为，且经过点，若，则 .
【答案】
【分析】结合抛物线的定义与几何性质建立关系，即可求得.
【详解】
因为点在抛物线上，，
所以，所以，所以，所以，解得.
故答案为：.
14．已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】对曲线进行变形整理，观察发现曲线为圆，画出对应范围内的图形，接着计算直线的恒过点，当直线与对应的图形有两个交点讨论范围即可.
【详解】曲线整理得，则该曲线表示圆心为，半径为1的圆的上半部分，
直线，即，令解得则其过定点，如图所示：
当时，曲线与直线有两个不同的交点，由，
得或，所以，，所以实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：本题考查直线与圆的交点情况，关键时数形结合，注意边界值.
15．潮涌杭州，亚运来了！2023年9月23日，第19届亚运会在杭州盛大开幕，这是杭州历史上的一件大事，也是中国继北京奥运会、广州亚运会后再次举办的大型国际体育赛事.某网站全程转播了该次赛事，为庆祝本次赛事，该网站举办了一场针对本网站会员的奖品派发活动，派发规则如下：①对于会员编号能被3整除余1且被5整除余1的可以获得精品吉祥物一套；②对于不符合①中条件的可以获得普通吉祥物一套.已知该网站的会员共有2023人（编号为1号到2023号，中间没有空缺），则获得精品吉祥物的人数为 .
【答案】135
【分析】将能被3整除余1且被5整除余1的正整数按从小到大排列，所得的数列记为，根据题意结合等差数列的通项求出其通项公式，进而可得出答案.
【详解】将能被3整除余1且被5整除余1的正整数按从小到大排列，所得的数列记为，
由已知得是3的倍数，也是5的倍数，
所以为15的倍数，所以是首项为0，公差为15的等差数列，
所以，
令，可得，
又，解得且，
故获得精品吉祥物的人数为135.
故答案为：135.
16．已知双曲线，斜率为的直线与的左、右两支分别交于，两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点.若直线的斜率为，则的离心率为 .
【答案】
【分析】利用点差法分别确定线段、中点，的坐标，再根据点、、三点共线，可得离心率.
【详解】设，，线段的中点，则，两式相减得，所以，
设，，线段的中点，同理得，
因为，所以，则，，三点共线，
所以，
即，
即，，
因为，
所以，
即，所以，
故答案为：.
四、解答题
17．已知的顶点为，，.
(1)求的边上的高所在直线的方程；
(2)直线经过线段的中点，且，两点到直线的距离相等，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先根据两点斜率公式求解斜率，再利用垂直关系求出高的斜率，代入点斜式化为一般式方程即可；
（2）设出直线方程，利用点到直线距离公式求解即可.
【详解】（1）直线的斜率，
边上的高与垂直，所以，
故直线的方程为，即.
（2）线段的中点的坐标为，
易知直线斜率存在，设直线：，即.
因为，两点到直线的距离相等，所以，
化简得，解得或，
所以直线的方程为或，即或.
18．已知数列为非零数列，且满足.
(1)求及数列的通项公式；
(2)若数列的前项和为，且满足，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）通过构造，利用相除得到，进而求得;
（2）对数列的前项和进行裂项相消，即可证明.
【详解】（1）因为①
所以当时，，解得，
当时，②，
由①②得，即，又满足上式，所以.
（2）证明：因为，
所以.
19．已知双曲线，四点，，，中恰有三点在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设双曲线上任意一点，且过点的直线与双曲线的渐近线交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意两点关于原点对称得都在双曲线上，然后再分情况讨论两点，从而求解.
（2）将直线与双曲线方程联立，利用根与系数关系及相关条件从而可求出面积为定值.
【详解】（1）因为：关于原点对称，且双曲线也关于原点对称，所以：在双曲线上，
对于点，，，所以：，所以点不在双曲线上，
所以：都在双曲线上，所以：，解得：，
所以：双曲线的标准方程为：.
（2）由题意，双曲线的两条渐近线方程为，由双曲线的对称性，不妨设为双曲线右支上的动点，且，，
将直线方程与渐近线方程联立：，化简得：，
又因为：在双曲线：，所以：，所以：，
由根与系数关系得：，设渐近线的倾斜角为，则，
所以：，，，
所以：，
即的面积为定值2.
【点睛】对于（2）中求为定值，利用根与系数关系并结合具体的几何知识从而求解.
20．在平面直角坐标系中，圆经过点和，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)已知直线，为上的动点，过点作圆的切线，切点分别为，，求的最小值，并求出此时直线的方程.
【答案】(1);
(2)，.
【分析】（1）设出圆的标准方程，利用待定系数法建立方程组，求解即可;
（2）通过分析只需满足最小，求出最小值，求出以为圆心，为半径的圆与圆相减得到直线方程.
【详解】（1）设圆心的坐标为，圆的半径为，
则圆的标准方程为，
又圆经过点和，所以，解得
所以圆的标准方程为.
（2）根据切线的性质及圆的对称性可知，
则，要使最小，只需最小，
即最小，此时，
所以，，
，
过点且垂直于的方程为，
将其与的方程联立，解得，
以为圆心，为半径的圆的方程为，
即，
结合圆的方程，两式相减可得直线的方程为.
21．已知递减等差数列满足，且，，成等比数列.数列的首项为2，其前项和满足（其中，），且.
(1)求和的通项公式；
(2)若数列满足，的前项和为，求.
【答案】(1);
(2)
【分析】（1）对于数列列出方程，解出即可；对于数列抓住与之间的关系求解.
（2）对绝对值进行分类处理，然后采用错位相减法,即可求的前项和为.
【详解】（1）设该递减等差数列的公差为，
由题意可知，其中，解得或14（舍去），.
对于，由已知，，两式相减得，①
又，，②
由①②，得对所有成立，
是首项为2，公比为的等比数列，从而，
由，得，又，，.
综上，，.
（2），
由，可知当，2，3，4时，，当时，，.
当，2，3，4时，可知，，，.
当时，，
，①
，②
由①-②得，
，
.
综上：
或写成：
22．已知椭圆的左、右顶点分别为，，且焦距为4，上顶点为，且直线，的斜率之积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设斜率存在的直线交椭圆于，两点（，位于轴的两侧），记直线，，，的斜率分别为，，，，若，，成等差数列.证明：
（i）直线过定点；
（ii）的面积小于.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）利用斜率之积求得，再结合焦距即可求出椭圆方程；
（2）（i）设点的坐标，用坐标表示斜率，联立直线与椭圆即可得交点坐标关系，从而求解；
（ii）利用面积分割法和韦达定理表示面积的表达式，利用函数单调性即可求解最小值.
【详解】（1）设，，，且焦距为4，
，，，，
，又，解得，.
椭圆的方程为.
（2）（i）由题意，，，设，，，，
同理，，，，
，，成等差数列，
，，
的斜率存在，，，.
由条件得直线的斜率不为0，设直线，，，
联立，得，
直线经过椭圆内一点，，，，
由，即，，，
化简得，
将，代入，
化简得，，或，
，位于轴两侧，，
，，，，直线恒过定点.
（ii）直线恒过定点，此时，，，
的面积，
令，，
则，
由对勾函数单调性知：在上单调递减，
，即的面积小于.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系；
④消去变量，得到定量关系.