2023-2024学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二上学期11月期中考试数学试题含答案

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．双曲线的焦点坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】用双曲线基本量之间的关系，结合焦点的位置，直接求解即可.【详解】由题意双曲线方程为，易知，，因为双曲线焦点在轴上故焦点坐标为故选：B2．已知过点的直线的斜率为，则等于A．10 B．180 C．6 D．6【答案】D【分析】根据直线MN的斜率求出a的值，再利用两点间的距离公式计算的值.【详解】过点，的直线斜率为，解得，.所以D选项是正确的.【点睛】本题考查了直线斜率的公式与应用问题，也考查了两点间距离公式的应用问题，是基础题.3．已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则（    ）A．4 B．6 C．8 D．16【答案】C【分析】设出点后，求出直线的方程，与抛物线方程联立，再利用抛物线的焦点弦长公式可求得线段的长【详解】设点、，抛物线的焦点为，由于直线过点，且该直线的倾斜角为，则直线的方程为，联立，消去并整理得，，由韦达定理可得，由抛物线的焦点弦长公式可得故答案为：84．已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（    ）A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】D【分析】等价变形给定等式，再利用式子表示的几何意义，由抛物线的定义可得.【详解】因为，得，即动点到定点的距离与到定直线的距离相等，且点不在直线上，则由抛物线定义知，动点的轨迹为抛物线.故选：D.5．已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线的距离的最大值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设出与l：平行的直线，当与椭圆相切时，两平行线间距离即为椭圆上任意一点到直线l的距离最值，联立与椭圆方程，由根的判别式等于0求出的方程，从而求出答案.【详解】设与l：平行的直线为：，当与椭圆相切时，两平行线间距离即为椭圆上任意一点到直线l的距离最值，联立与可得，，由，可得，当时，直线：，此时两平行线距离为，当时，直线：，此时两平行线距离为，故椭圆上任意一点到直线l的距离最大值为.故选：A6．已知圆与圆相交于A，B两点，则=（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先确定圆的圆心和半径，再将两圆方程作差求相交弦方程，应用点线距离公式、弦长的几何求法求.【详解】由圆中且半径为1，将两圆方程作差，得，整理得，所以相交弦方程为，则到其距离为，所以.故选：A7．已知中心在原点，焦点在轴上，焦距为4的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则此椭圆的短轴长为（    ）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】先求出弦中点坐标，再根据点差法求出的值，最后结合焦距求出即可.【详解】设椭圆方程为，因为弦的中点的横坐标为，代入直线方程可得中点，不妨设直线与椭圆的两个交点为，所以，即，而中点为，所以，而，代入可得，而椭圆焦距为4，所以，结合，求得，所以短轴长为，故选：B8． 过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点，为原点，若，则双曲线离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】双曲线的右焦点的坐标为，利用为的中点，为的中点，可得为的中位线，从而可求，再设 过点作轴的垂线，由勾股定理得出关于，的关系式，最后即可求得离心率．【详解】解：设双曲线的右焦点为，则的坐标为因为抛物线为，所以为抛物线的焦点因为为的中点，为的中点，所以为的中位线，所以因为，所以又， 所以设，则由抛物线的定义可得，所以过点作轴的垂线，点到该垂线的距离为由勾股定理，即得，．故选：A．二、多选题9．已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（    ）A．当且时，曲线C是椭圆B．当或时，曲线C是双曲线C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则【答案】ABD【分析】利用曲线C所表示的曲线类型求出参数的值或取值范围，由此可得出合适的选项.【详解】选项A：若曲线为椭圆，则，即且，故A正确；选项B：若曲线为双曲线，则，即或，故B正确；选项C：若曲线为焦点在x轴上的椭圆，则，即，故C错误；选项D：若曲线为焦点在y轴上的双曲线，则，即，故D正确；故选：ABD.10．在市某届马拉松比赛前5000名的成绩中抽取部分成绩，绘制如下频数分布表（单位：分钟）：则下列选项正确的是（    ）A．这组数据众数的估计值为160分钟B．这组数据第62百分位数的估计值为325分钟C．估计总体中成绩落在分钟内的选手人数为4500D．在由以上数据绘制的频率分布直方图中，各组长方形的高度之和为0.02【答案】BD【分析】根据已知频数分布，结合统计中的众数的估计、百分位数的估计、频率分布直方图等相关知识，即可求解．【详解】根据频数分布表可得频数最多的组是，则这组数据众数的估计值为275分钟，故A错误；这组数据的总数为人，又，故这组数据第62百分位数落在区间中．设第62百分位数为，则，解得，故B正确；总体中成绩落在分钟内的选手人数为，故C错误；在由以上数据绘制的频率分布直方图中，纵坐标为频率组距，因此各组长方形的高度之和为，故D正确．故选：BD11．已知椭圆上有一点P，分别为左､右焦点，，的面积为S，则下列选项正确的是（    ）A．若，则B．使得为直角三角形的点共6个C．若为钝角三角形，则D．的最大值是9【答案】AC【分析】对于A，利用椭圆的定义结合余弦定理和三角形的面积公式可求得结果，对于B，利用余弦定理求出，结合椭圆的性质进行判断，对于C，当时，为钝角三角形，从而可求出三角形面积的范围，对于D，利用基本不等式结合椭圆的定义求解.【详解】对于A，由，得，则，设，则由椭圆的定义，在中，，则余弦定理得，，所以，，得，所以的面积为，所以A正确，对于B，当时，为直角三角形的点有2个，当时，为直角三角形的点有2个，设椭圆的上顶点为，则，在中，，所以为锐角，所以在中不可能为是直角，综上，使得为直角三角形的点共4个，所以B错误，对于C，设，由选项B可知，当时，为钝角三角形，当时，，得，所以时，，所以，即，所以C正确，对于D，因为，所以，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为16，所以D错误，故选：AC【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的几何性质，考查余弦定理的应用，解题的关键是利用椭圆的定义结合其性质求解，考查计算能力，属于较难题.12．如图，抛物线的顶点为A，焦点为F，准线为，焦准距为4；抛物线的顶点为B，焦点也为F，准线为，焦准距为6.和交于P、Q两点，分别过P、Q作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，过F的直线与封闭曲线APBQ交于C、D两点，则下列说法正确的是（    ）A．B．四边形MNST的面积为40C．D．的取值范围为【答案】ACD【分析】根据抛物线的定义可得判断选项A，以为原点建立平面直角坐标系，根据条件可得抛物线的方程为，可得，进而判断选项B，利用抛物线的定义结合条件可得可判断选项C，利用抛物线的性质结合焦点弦的性质可判断选项D.【详解】对于A，设直线与直线分别交于，由题可知，所以，，故A正确；对于B，如图以为原点建立平面直角坐标系，则，，所以抛物线的方程为，连接，由抛物线的定义可知，又，所以，代入，可得，所以，又，故四边形的面积为，故B错误；对于C，连接，因为，所以，所以，故，故C正确；对于D，根据抛物线的对称性不妨设点在封闭曲线的上部分，设在直线上的射影分别为，当点在抛物线，点在抛物线上时，，当与重合时，最小，最小值为，当与重合，点在抛物线上时，最大，因为，直线，与抛物线的方程为联立，可得，设，则，，所以；当点在抛物线，点在抛物线上时，设，与抛物线的方程为联立，可得，设，则，，当，即时取等号，故此时；当点在抛物线，点在抛物线上时，根据抛物线的对称性可知，；综上，，故D正确． 故选：ACD．【点睛】抛物线的焦点弦长问题方法点睛：若抛物线，过焦点的弦 AB 的端点坐标为，则弦长为，可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.三、填空题13．样本中共有5个个体，其值分别为.若的平均数为10，则该样本的平均数为 .【答案】3【分析】由平均数的概念直接求解即可.【详解】设样本的平均数为，即，则的平均数为，由题意，解得，故该样本的平均数为3.故答案为：3.14．已知点在曲线上运动，则的最大值为 ．【答案】/【分析】曲线表示以原点为圆心，2为半径的上半个圆，表示上半圆上的点与连线的斜率，作出图形，可知当直线与半圆相切时的斜率即得解.【详解】变形为，它是以原点为圆心，2为半径的上半圆，如图，  在上半圆上，表示点与连线的斜率，由题意得，当直线与半圆相切时斜率最大，设直线与半圆相切时直线斜率为，直线方程，即，因此，解得（由图舍去），所以的最大值为.故答案为：15．已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则 .【答案】【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过、分别作于，于，根据，推断出，点为的靠近的三等分点，设，则，连接，可知，推断出，进而求得点的横坐标，即可求得点的纵坐标，利用直线上的坐标即可得斜率的值．【详解】设抛物线的准线为，直线恒过定点如图过、分别作于，于，由，则，点为的靠近的三等分点，设，则，连接，则，，点的横坐标为，代入抛物线方程可得，，又，所以，即.故答案为：．16．椭圆中，点为左顶点，点为上顶点，直线过原点且与椭圆交于，两点（在第一象限），则四边形的面积最大值为 .【答案】/【分析】四边形的面积分解为几个易于计算的小三角形的面积，得到四边形面积的表达式，从而根据表达式，利用均值不等式得出面积最大值.【详解】由椭圆方程为，可知，，，，所以，，设直线，，点在第一象限，∴，由对称性知：，如图所示：由在椭圆上，∴，∴，四边形的面积，当且仅当，即，，时等号成立，而，此时，∴当与平行时，四边形的面积最大，最大面积为.故答案为：四、解答题17．已知点，，点A关于直线的对称点为B.(1)求的外接圆的方程；(2)过点作的外接圆的切线，求切线方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用的垂直平分线和已知直线求圆心，再由两点间距离公式求半径，然后可得；（2）分斜率存在和不存在讨论，利用圆心到直线距离等于半径求解可得.【详解】（1），的垂直平分线方程为，由题知，的垂直平分线方程为，由，得圆心，半径，所以的外接圆方程是. （2）因为，则点在圆外，则过点作圆的切线有两条.当切线斜率不存在时，直线方程为，易知满足题意；当切线斜率存在时，设切线方程为，即，由题意得，圆心到切线的距离，解得，所以切线方程为.综上，切线方程为或.18．某大学共有“机器人”兴趣团队1000个，大一、大二、大三、大四分别有100个、200个、300个、400个.为挑选优秀团队，现用按比例分配的分层随机抽样的方法，从以上团队中抽取20个.(1)应从大三团队中抽取多少个团队？(2)将20个团队分为甲、乙两组，每组10个团队，进行理论和实践操作考试（共150分），甲、乙两组的成绩如下：甲：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142乙：127，116，144，127，144，116，140，140，116，140从甲、乙两组中选一组强化训练，备战机器人大赛.分别计算两组成绩的平均数和方差，并分析应选择哪一组参赛，理由是什么？【答案】(1)6(2)，，，，甲组或乙组，理由见解析【分析】（1）由按比例分配的分层随机抽样的方法中，每层样本量与层的大小成比例可得；（2）分别计算各组平均数与方差，分析数据选择即可.【详解】（1）由题意知，大三团队个数占总团队个数的，则应从大三中抽取 (个)团队．（2）甲组成绩的平均数，乙组成绩的平均数，甲组数据的方差  ，乙组数据的方差，选甲组理由：甲、乙两组平均数相差不大，但，由此可以估计甲组比乙组成绩稳定；选乙组理由：，在比赛中，估计获胜的可能性大．19．从2021年秋季学期起，黑龙江省启动实施高考综合改革，实行高考科目“3+1+2”模式.“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从政治、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩.按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为，其中分别表示原始分区间的最低分和最高分，分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，表示考生的原始分，表示考生的等级分，规定原始分为时，等级分为.某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如下：(1)根据频率分布直方图，求，并估计此次化学考试原始分的平均值；(2)按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间；(3)用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成绩的原始分为88，试计算其等级分（计算结果四舍五入取整）.【答案】(1)，73(2)(3)89【分析】第一问利用频率分布直方图列方程解出参数值即可，后依据平均数公式求平均数即可，第二问首先利用直方图求出原式分，再写出区间即可，第三问利用给定公式求解等级分即可.【详解】（1）由，可得，故此次化学考试成绩的平均值为分（2）由频率分布直方图知，原始分成绩位于区间的占比为，位于区间的占比为， 因为成绩A等级占比为，所以等级A的原始分区间的最低分位于区间，估计等级A的原始分区间的最低分为，已知最高分为98，所以估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间为．（3）由，解得，该学生的等级分为89分．20．在平面直角坐标系中，已知圆心为C的动圆过点，且在轴上截得的弦长为2，记C的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程，并说明E为何种曲线；(2)已知及曲线E上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为，且，求证：直线BD经过定点.【答案】(1)，抛物线(2)证明见解析【分析】（1）设圆心，根据动圆过点，且在轴上截得的弦长为2列式可得结果；（2）设直线：，代入得，，再利用斜率公式和推出，从而可得结论成立.【详解】（1）设圆心，半径为，因为圆心为C的动圆过点，所以，因为圆心为C的动圆在轴上截得的弦长为2，所以，所以，即，所以曲线E是抛物线.（2）证明：设直线：，联立，消去并整理得，，即，设，，则，，因为，，所以，所以，将代入得，即，所以直线：，所以直线BD经过定点.21．已知双曲线的离心率为.(1)求双曲线的渐近线方程；(2)动直线分别交双曲线的渐近线于，两点（，分别在第一、四象限），且（为坐标原点）的面积恒为8，是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线，若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）由已知可得，结合的关系可求，由此可求渐近线方程；（2）由（1）知，设直线l的方程为，联立直线与双曲线的渐近线方程求点的坐标，由条件可得关系，再由直线与双曲线位置关系列方程，化简可得 ，由此可得双曲线方程.【详解】（1）因为离心率，又，所以，所以，故，所以双曲线的渐近线方程为.（2）存在符合题意的双曲线，设双曲线的两条渐近线分别为，，双曲线的方程为，依题意得直线的斜率不为零， 因此设直线的方程为， 设直线交轴于点，，，联立得，同理得，.由已知，所以，所以，又，所以，由的面积，得，即，（1）联立得，因为，所以，直线与双曲线只有一个公共点当且仅当，即，化简得，将（1）式代入可得，，解得，因此双曲线的方程为，因此，存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线，双曲线的方程为.【点睛】关键点点睛：(1)解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．22．已知椭圆：的左焦点，点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）经过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，直线，分别与圆相交于异于点的，两点.（i）求证：；（ii）求的面积的取值范围.【答案】（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）.【解析】（1）根据题意可知，，，再结合即可解出,，得到椭圆的标准方程；（2）（i）根据直线，的斜率都存在或者直线，其中一条直线斜率不存在分类讨论，当直线，的斜率都存在时，联立直线与椭圆方程，根据可得直线，的斜率的关系，结合点在圆上可得，即证出，当直线或的斜率不存在时，可确定点坐标，即可求出，两点坐标，易得；（ii）设出点，，分类讨论直线的斜率存在时以及不存在时的情况，由直线的方程与椭圆方程联立可得，即可得到直线的斜率存在或不存在时的方程为，同理可得直线的方程为，即可得直线的方程为，再与椭圆方程联立求得弦长，由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，从而得到的面积的表达式，再根据换元法以及函数值域的求法即可求解．【详解】（1）∵椭圆的左焦点，∴.将代入，得.又，∴，.∴椭圆的标准方程为.（2）（i）设点.①当直线，的斜率都存在时，设过点与椭圆相切的直线方程为.由，消去，得..令，整理得.设直线，的斜率分别为，.∴.又，∴.∴，即为圆的直径，∴.②当直线或的斜率不存在时，不妨设，则直线的方程为.∴，，也满足.综上，有.（ii）设点，.当直线的斜率存在时，设直线的方程为.由，消去，得得..令，整理得.则∴直线的方程为.化简可得.经验证，当直线的斜率不存在时，直线的方程为或，也满足.同理，可得直线的方程为.∵在直线，上，∴，，.∴直线的方程为.由，消去，得.∴，∴.又点到直线的距离.∴.令，.则.又，∴的面积的取值范围为.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，直线与圆的位置关系的应用，以及椭圆中的三角形面积问题的解法应用，意在考查学生的分类讨论意识，数学运算能力和运用知识的综合能力，综合性强，运算量大，属于难题．分组频数20601601408040等级ABCDE人数比例赋分区间