2023-2024学年湖南省衡阳市衡阳县第四中学高二上学期11月期中数学试题（A卷）含答案

这是一份2023-2024学年湖南省衡阳市衡阳县第四中学高二上学期11月期中数学试题（A卷）含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．与向量平行的一个向量的坐标是( )
A．B．(-1,-3,2)
C．D．(,-3,-2)
【答案】C
【分析】根据向量共线定理判定即可．
【详解】对于A，由于，所以与向量不共线，故A不正确．
对于B，由题意得向量与向量不共线，故B不正确．
对于C，由于，所以与向量共线，故C正确．
对于D，由题意得向量(,3,2)与向量不共线，故D不正确．
故选C．
【点睛】判断两个向量是否共线的方法是判断两个向量之间是否满足，其中为常数，本题考查计算能力和变形能力，属于基础题．
2．若直线与直线垂直，垂足为，则（ ）
A．B．4C．D．
【答案】D
【分析】根据垂直关系可求，再根据点在直线上可求，，从而可得正确的选项.
【详解】因为与直线垂直，故即，
因为垂足为，故，故，
故，
故选：D.
3．过点A（11，2）作圆的弦，其中弦长为整数的共有
A．16条B．17条C．32条D．34条
【答案】C
【详解】试题分析：将化为，即该圆的圆心坐标为，半径为，且，且经过点的弦的最大长度为（当弦过圆心时），最小弦长为（当弦与直线垂直时），所以其中弦长为整数的可能是10（一条），（各两条，共30条），26（一条），一共32条；故选C．
【解析】1．圆的对称性；2．直线与圆的位置关系．
4．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.如图，在重檐四角攒尖中，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的倍，则侧面与底面所成角的大小为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作出正四棱锥侧面与底面所成角的平面角，利用侧面积和底面积之间的关系即可求得平面角的余弦值，即得答案.
【详解】如图，设正四棱锥为，连接AC，BD交于点O，连接PO，则底面，
作于E，连接，

底面，则,
而平面，故平面，
平面，故，
故即为平面与底面所成角，
也即正四棱锥的侧面与底面所成角；
因为正四棱锥的侧面积是底面积的倍，故,
即，即,
在中，，则，
即正四棱锥的侧面与底面所成角的大小为，
故选：B
5．已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4，E为的中点，则点到平面BDE的距离为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
则，,,,
所以，，，
设平面BDE的法向量为，
则，令，则，即，
则点到平面BDE的距离.
故选：D
6．已知椭圆，焦距为，以点O为圆心，b为半径作圆O，若过点作圆O的两条切线，切点分别为A，B，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在直角中，根据，列出方程得到，进而转化为，得出，即可求解.
【详解】由题意，可得，，，
故，
在直角中，由，可得，
故，整理得，
所以，即，
所以，可得，解得.
即椭圆的离心率为.
故选：B.
7．数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，一般指冰雹猜想，它是指一个正整数，如果是奇数就乘3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次数，最终回到1．对任意正整数，记按照上述规则实施第次运算的结果为，则使的所有可能取值的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】推导出，，由，得，从而，进而或．由此利用分类讨论思想和递推思想能求出满足条件的的值的个数．
【详解】解：由题意知，，
由，得，，或．
①当时，，，或，或．
②若，则，或，
当时，，此时，或，
当时，，此时，或，
综上，满足条件的的值共有6个．
故选：D
8．已知为等差数列的前n项和，若，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据条件求出，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】设的公差d，由有，
解得，所以，
则，当且仅当时等号成立．
故选：A
二、多选题
9．设r>0，圆(x1)2(y3)2r2与圆x2y216的位置关系不可能是（ ）
A．内切B．相交
C．外离D．外切
【答案】CD
【分析】根据圆心距（两点之间距离公式），判断该距离与两圆半径的大小关系即可求解.
【详解】两圆的圆心距为，
两圆的半径之和为r＋4，
因为
所以< r4，
所以两圆不可能外切或外离，
故选：CD．
10．对于数列，若存在正整数，使得，，则称是数列的“谷值”，k是数列的“谷值点”，在数列中，若，下面哪些数不能作为数列的“谷值点”？（ ）
A．3B．2C．7D．5
【答案】AD
【解析】计算到，，，，，，，，根据“谷值点”的定义依次判断每个选项得到答案.
【详解】，故，，，，，，，.
故，不是“谷值点”；，，故是“谷值点”；
，，故是“谷值点”；，不是“谷值点”.
故选：.
【点睛】本题考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.
11．给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：.规定：
①为同时与，垂直的向量；
②，，三个向量构成右手系（如图1）；
③.
如图2，在长方体中中，，，则（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据新定义空间向量的叉乘运算依次判断选项；根据新定义计算等号左右两边可判断；计算长方体的体积结合新定义以及数量积的定义可判断.
【详解】对于，同时与，垂直，，
且，，构成右手系，故成立，故正确.
对于，，，则，故错误.
对于，，与共线，且方向相同，
，与共线，且方向相同，
，与共线，且方向相同，
所以，与共线，且方向相同，
所以，故正确.
对于，，，
所以，故正确.
故选：.
12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．与之间的距离为4
【答案】ABC
【分析】由抛物线的光学性质可知，直线经过点，于是根据二级结论可判断选项A；
点与均在直线上，于是可求出点的坐标，再结合可得点的坐标，然后利用斜率公式即可判断选项B；
根据抛物线的定义可知，，可判断选项C；
由于与平行，所以与之间的距离，可判断选项D．
【详解】如图所示，
由抛物线的光学性质可知，直线过焦点，，即选项A正确；
由题意可得，点的坐标为，点的坐标为，
，即选项B正确；
由抛物线的定义可知，，即选项C正确；
与平行，
与之间的距离，即选项D错误；
故选：ABC
【点睛】本题考查抛物线的定义与性质，直线与抛物线的位置关系等，考查学生灵活运用知识的能力和作图分析问题的能力，属于中档题．
三、填空题
13．已知空间向量,,,,，则 .
【答案】/
【分析】根据计算可得.
【详解】,
.
故答案为：.
14．已知圆经过点且圆心在轴上，圆内切于圆，圆与轴分别交于两点（点在点左侧），则直线截圆所得的弦长为 ．
【答案】
【分析】根据两圆内切，可得半径与圆心距之间的关系，进而根据即可得圆的方程，由圆与直线相交时勾股定理即可求解弦长.
【详解】设圆的圆心为．
因为圆内切于圆，所以圆的半径．
又，所以，化简得．
当时，，解得；
当时，，解得（舍去）．
所以圆的半径．所以圆的方程为．
当时，或，所以圆与轴交于，两点．所以．所以直线AC的方程为．
圆心到直线AC的距离为，所以直线AC截圆所得的弦长为．
故答案为：
15．已知椭圆的标准方程为，上顶点为，左顶点为，设点为椭圆上一点，的面积的最大值为，若已知点、，点为椭圆上任意一点，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据的面积的最大值为可求得，进而可得知点、为椭圆的左、右焦点，可得出，由此利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】由已知条件可得、，直线的斜率为，
直线的方程为，
当的面积最大时，过点的直线与椭圆相切且与直线平行，
故设该直线的方程为，
联立，整理，得.
由，得，解得，
分析可知当的面积最大时，，此时切线方程为，
则点到直线的距离.
又，所以，所以，
所以、分别为椭圆的左､右焦点，
所以，
则，
当且仅当时取等号.
因此，的最小值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用基本不等式求值，同时也考查了椭圆中三角形面积最值的计算以及椭圆定义的应用，考查计算能力，属于难题.
16．如图，圆锥的底面直径，高，D为底面圆周上的一点，，则直线AD与BC所成角的大小为 .
【答案】
【分析】取的中点E，以O为原点，建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法求解即得.
【详解】取的中点E，连接OE，以O为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，
依题意，，则，
设直线AD与BC所成的角为，
则，解得，
所以直线AD与BC所成的角为.
故答案为：
四、解答题
17．如图，在平行四边形中，点A（3，0），点C（1，3）.
（1）求AB所在直线的方程；
（2）过点C作CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程.
【答案】（1）y=3x-9；（2）x+3y-10=0.
【解析】（1）由，利用点斜式即可求解.
（2）根据直线垂直，斜率之间的位置关系可得，利用点斜式即可求解.
【详解】（1）平行四边形，点A（3，0），点C（1，3），，
所在直线的斜率为，
所在直线方程，即.
（2）在平行四边形中，，
，
，
所在直线的斜率为，
所在直线方程为，
即x+3y-10=0.
【点睛】本题考查了直线平行、直线垂直斜率之间的关系、点斜式求直线方程，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
18．已知等差数列，
(1)求的通项公式
(2)求数列的前n项和为
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用等差数列的通向公式列方程求解；
（2）利用等差数列的求和公式计算.
【详解】（1）由已知得，
解得
的通项公式为，
即；
（2）由（1）得数列的前n项和
19．已知圆：，直线：．
(1)当为何值时，直线与圆相交；
(2)当直线与圆相交于、两点，且时，求直线的方程
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先求出圆心及半径，再根据直线与圆相交可得圆心到直线的距离小于半径，即可得解；
（2）根据圆的弦长及弦长公式求出圆心到直线的距离，进而可得出答案.
【详解】（1）将圆化为标准方程得，
则圆心，半径，
当直线与圆相交时，
圆心到直线的距离，解得，
所以当时，直线与圆相交；
（2）设圆心到直线的距离为，
则，即，解得，
所以，解得或，
所以直线的方程为或.
20．已知抛物线与直线相交于A、B两点．
(1)求证：；
(2)当的面积等于时，求k的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，将证明转化为证即可；
（2）根据题意，由利用面积建立关于k的方程，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由方程与联立，消去后，整理得．
由题意易知，且，
设，由韦达定理，，
在抛物线上，，
则，.
∴．
（2）
设直线与轴交于N，又显然，令，则，即，
又，
，且，
则，解得.
21．某商品的包装纸如图1所示，四边形ABCD是边长为3的菱形，且∠ABC＝60°，，．将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E，F，M，N重合，记为点P，恰好形成如图2所示的四棱锥形的包装盒．
(1)证明：底面ABCD；
(2)设T为BC边上的一点，且二面角的正弦值为，求PB与平面PAT所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）由勾股定理逆定理得AB⊥AE， AD⊥AF，由线面垂直的判定定理得证线面垂直；
（2）由二面角平面角的定义得∠BAT为二面角的平面角，从而利用三角函数知识求得的长，然后建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角．
【详解】（1）由题意得，所以AB⊥AE，同理可得AD⊥AF．
在翻折的过程中，垂直关系保持不变，所以PA⊥AB，PA⊥AD，
又，底面ABCD，所以PA⊥底面ABCD．
（2）因为底面ABCD，底面ABCD，所以．
又，所以∠BAT为二面角的平面角．
因为，所以．
在中，∠ABT＝60°，所以，
由正弦定理，得BT＝1．
如图，以点A为原点，，的方向分别为x，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，．
设平面PAT的一个法向量为，则有，即，
取，所以，所以，
设PB与平面PAT所成角为，则，
所以PB与平面PAT所成角的正弦值．
22．已知椭圆经过点，离心率为
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于，两点，若以，为邻边的平行四边形的顶点在椭圆上，求证：平行四边形的面积为定值.
【答案】（1）（2）证明见解析；
【解析】（1）由题意可得关于的方程组，求得的值，则椭圆方程可求；
（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系及四边形是平行四边形，可得点坐标，把点坐标代入椭圆方程，得到，利用弦长公式求得，再由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，代入三角形面积公式即可证明平行四边形的面积为定值．
【详解】解：（1）因为椭圆过点，代入椭圆方程，可得①，
又因为离心率为，所以，从而②，
联立①②，解得，，
所以椭圆为；
（2）把代入椭圆方程，
得，
所以，
设，，则，
所以，
因为四边形是平行四边形，
所以，
所以点坐标为.
又因为点在椭圆上，
所以，即.
因为
.
又点到直线的距离，
所以平行四边形的面积
，
即平行四边形的面积为定值.
【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．