2023-2024学年江苏省南通市海安市实验中学高二上学期11月期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省南通市海安市实验中学高二上学期11月期中考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知数列满足，，则．
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】∵数列满足，，故，
∴数列是以为首项，为公差的等差数列，
∴．
本题选择B选项.
2．已知，则曲线和有( )
A．相同的短轴B．相同的焦点
C．相同的离心率D．相同的长轴
【答案】B
【分析】利用椭圆的标准方程和几何性质计算并判断.
【详解】，，
曲线和都是焦点在轴上的椭圆，
由椭圆，得，
所以长轴长为，短轴长为，焦点坐标为，离心率为，
由椭圆，得，
所以长轴长为，短轴长为，
焦点坐标为，离心率为.
所以两个椭圆有相同的焦点．
故选：B
3．已知等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据等比数列的性质列式，由此求得.
【详解】由于是等比数列，所以也成等比数列，
其中，所以，
所以.
故选：A
4．若为抛物线上一点，且到焦点的距离为9，则到轴的距离为（ ）
A．7B．10C．8D．9
【答案】C
【分析】根据题意，由抛物线的定义，即可得到结果.
【详解】根据抛物线的定义可得到焦点的距离等于到准线的距离，所以到轴的距离为．
故选：C
5．点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A．4B．3C．5D．
【答案】B
【分析】写出渐近线方程，利用点到直线的距离公式可得.
【详解】双曲线中，，且焦点在x轴上，
所以渐近线方程为，即，
由对称性可知，点到两条渐近线的距离相等，
不妨求点到的距离，得.
故选：B
6．等差数列中，，且，是数列的前项的和，则下列正确的是（ ）
A．均小于，均大于
B．均小于，均大于
C．均小于，均大于
D．均小于，均大于
【答案】C
【分析】确定，，，，得到，，得到答案.
【详解】，且，故，
故数列的前5项都为负数，，，，
由等差数列的性质及求和公式可得：
，，
由公差可知：均小于，均大于.
故选：C.
7．已知是椭圆上一点，分别是椭圆的左､右焦点､若的周长为6，且椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为1，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的定义和性质列式求，进而可得离心率.
【详解】由题意可知：，解得，
所以椭圆的离心率.
故选：A.
8．“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”．“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次运算，最终回到1．对任意正整数．记按照述规则实施第n次运算的结果为，若，且均不为1，则（ ）
A．5或16B．5或32C．3或8D．7或32
【答案】B
【分析】根据题意可得，讨论的奇偶性，逐步运算求解.
【详解】由题知，
因为，则有：
若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，则；
若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，；
若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，且；
若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，则；
若为奇数，则，可得；若为偶数，则．
综上所述：或32．
故选：B．
二、多选题
9．△ABC的三个顶点坐标为A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列说法中正确的是（ ）
A．边BC与直线平行
B．边BC上的高所在的直线的方程为
C．过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为
D．过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点D(3，5)
【答案】BD
【分析】由直线斜率判断A，求出相应的直线方程判断BC，求出边中点坐标判断D．
【详解】直线的斜率为，而直线的斜率为，两直线不平行，A错；
边上高所在直线斜率为，直线方程为，即，B正确；
过且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为，过原点时方程为，C错；
过点A且平分△ABC面积的直线过边BC中点，坐标为，D正确 ．
故选：BD．
10．已知曲线，以下说法正确的是（ ）
A．若，则是椭圆，其焦点在轴上
B．若，则是两条直线
C．若，则是双曲线，其渐近线方程为
D．若，则是圆，其半径为
【答案】BC
【分析】根据，结合椭圆的标准方程即可判断A；时，方程化为，即可判断B；根据条件结合双曲线标准方程以及双曲线渐近线方程可判断C；结合圆的方程判断D.
【详解】对于A，若，则化为，
则，则是椭圆，其焦点在x轴上，A错误；
对于B，若，即为，即，
即是两条直线，B正确；
对于C，若，不妨设，则化为，
则表示焦点在x轴上的双曲线，，
故其渐近线方程为；
同理当，则化为，
则表示焦点在y轴上的双曲线，，
故其渐近线方程为；
综合知是双曲线，其渐近线方程为，C正确；
对于D，若，则即为，
则是圆，其半径为或，D错误，
故选：BC
11．已知是椭圆的右焦点，是上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的长轴长是4
B．的最大值是2
C．的面积的最大值为，其中为坐标原点
D．直线与椭圆相切时，
【答案】ACD
【分析】根据椭圆的几何性质可得、、、，结合长轴的概念判断A，利用两点求距离公式和二次函数的性质判断B，结合三角形面积公式计算判断C，利用代数法判断直线与椭圆的位置关系判断D.
【详解】A：由，得，所以椭圆的长轴为，故A正确；
B：由，得，则，，由，得，
所以，
又二次函数的对称轴为，
所以该函数在上单调递减，则当时，函数取到最大值9，
即的最大值为3，故B错误；
C：由题意得，，
所以，即的面积的最大值为，故C正确；
D：，消去y，得，
因为直线与椭圆相切，只有一个交点，
所以，解得，故D正确.
故选：ACD.
12．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．1225既是三角形数，又是正方形数
C．
D．，，总存在，，使得成立
【答案】BCD
【分析】利用累加法，分别求出，进而分别利用裂项求和法、放缩法，逐个选项进行判断即可得到答案.
【详解】依题意，数列中，，，，
于是得，满足上式，
数列中，，，，
于是得，满足上式，
因此，
对于A，，则，A不正确；
对于B，∵，则，又，则，B正确；
对于C，，
则，C正确；
对于D，，，取，则，
∴，，总存在，，使得成立，D正确，
故选：BCD.
三、填空题
13．若直线x+2y+1＝0与直线ax+y﹣1＝0互相平行，则实数a的值为 ．
【答案】
【解析】首先分别求出两条直线的斜率，根据两条直线互相平行斜率相等即可求出的值.
【详解】由题知：，.
因为两条直线互相平行，所以.
即：，.
故答案为：
【点睛】本题主要考查两条直线的平行关系，同时考查了直线一般式求斜率，属于简单题.
14．若是等比数列，且前项和为，则 .
【答案】
【分析】利用与的关系结合等比数列的前项和公式求解.
【详解】当时，，当时，，
所以，
又是等比数列，所以是以为首项，为公比的等比数列，
此数列的前项和，则的值为.
故答案为：.
15．若圆1：与圆2：相外切，则实数的值为 ．
【答案】
【详解】因为圆 与圆相外切，所以 ，解得 ，故答案为.
点睛：本题主要考考查了圆与圆的位置关系：设圆心距为，两圆半径分别为 .
若 ，则两圆内含；若，则两圆内切；若；若，则两圆外切，若，则两圆外离.
四、双空题
16．无穷数列满足：只要，必有，则称为“和谐递进数列”.若为“和谐递进数列”，且，，则 ； .
【答案】
【解析】根据条件求出数列的前几项，得到数列为周期数列，从而得到答案.
【详解】数列满足：只要，必有，
由，，，
则，所以，，
，，，
则；
又，可得，
即，，，，，
所以数列是以3为周期的周期数列，
又，
所以；
故答案为：；.
【点睛】方法点睛：利用数列的新定义考查数列的周期性.
周期数列：对于数列，如果存在一个常数，使得对任意的正整数，都有成立,则称数列是周期为的周期数列；
先写出数列的前几项，观察发现规律，找到周期.
五、解答题
17．（1）求焦点在轴上，离心率为，半短轴长为的椭圆的标准方程；
（2）求经过点，且渐近线方程为的双曲线的标准方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）确定，根据离心率解得，得到椭圆方程.
（2）法1：考虑双曲线焦点在轴和轴两种情况，计算得到方程；法2：设双曲线方程为，代入点坐标计算即可.
【详解】（1）由题设所求椭圆标准方程为，由题，
又，，解得，
所求椭圆的标准方程为.
（2）法1：当焦点在轴上时，设双曲线标准方程为，
由双曲线经过点得①
由双曲线的渐近线方程为得②
由①②解得，，，
此时，所求双曲线方程为.
当焦点在轴上时，设双曲线标准方程为，
由双曲线经过点得①
由双曲线的渐近线方程为得②
不存在同时满足①②的，.
综上所述，所求双曲线的标准方程为.
法2：由渐近线方程为可设所求双曲线的方程为，
又双曲线经过点，则有，
所求双曲线的标准方程为.
18．已知圆经过三点．
(1)求圆的一般方程；
(2)过点的直线与圆交于两点，，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）待定系数法设出圆的一般方程解方程组即可求得答案.
（2）利用直线与圆的位置关系，分两种情况讨论可得答案.
【详解】（1）设圆的一般方程为，
把三点坐标代入可得，
解得，
所以圆的一般方程为．
（2）由（1）得圆的标准方程为，即圆心为，半径为．
当直线与轴垂直，即时，此时，符合题意；
当直线与轴不垂直时，设该直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，解得，
所以直线的方程为．
综上，直线的方程为或．
19．已知等差数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）、根据题意求出,,即可写出的通项公式；
（2）、根据的通项公式，找到其正负临界的值，去掉绝对值符号再求和.
【详解】（1）设等差数列的首项为,公差为，
..
,数列的通项公式为.
（2）当时，，数列的前n项和；
当时，，
数列的前n项和，
.
综上所述：
20．已知动点满足：.
(1)指出动点的轨迹是何种曲线，并化简其方程；
(2)若过点的直线和曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程.
【答案】(1)椭圆，的方程是：
(2)
【分析】（1）根据椭圆的定义即可判断点的轨迹，并求解方程；
（2）先利用点差法求得直线l的斜率，进而求得直线l的方程.
【详解】（1）设，，，因为，
所以，且，
所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆.
设椭圆C的方程为，记，则，，
所以，，所以，所以的标准方程为.
（2）设点，则，
作差得，除以得，
又由点是AB的中点，则有，所以，
变形可得，所以直线的方程是即，
经检验符合题意，故直线的方程为.
21．已知数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据得到，利用累乘法计算出，检验时，也成立，得到的通项公式；
（2）利用错位相减法求和.
【详解】（1）由，
得，
则当时，，
所以，
当时，上式成立，
所以；
（2）由（1）知①，
②，
①-②得，，
．
22．已知抛物线：，点在抛物线上.
(1)求抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2)若直线：交抛物线于M､N两点，交直线：于点P，记直线AM，AP，AN的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列.
【答案】(1)焦点坐标为，准线方程为
(2)证明见解析
【分析】（1）将点的坐标代入抛物线方程中求出，从而可求出焦点坐标和准线方程；
（2）两直线方程联立求出点P的坐标，设，，再将直线方程代入抛物线方程中，消去，利用根与系数的关系，再结合斜率公式化简证明
【详解】（1）将代入，得，
所以焦点坐标为，准线方程为.
（2）由得：.
设，，
由得：，则，
所以
.
又，
所以，
所以，即，，成等差数列.