2023-2024学年江苏省宿迁市沭阳县高二上学期11月期中调研测试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省宿迁市沭阳县高二上学期11月期中调研测试数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若直线经过两点、且的倾斜角为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据斜率的定义以及斜率公式可得出关于实数的等式，解之即可.
【详解】由斜率的定义可得，即，解得.
故选：D.
2．已知抛物线的方程为，则抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先将抛物线方程转化为标准方程求解.
【详解】抛物线的标准方程是，
所以抛物线的焦点坐标为，
故选：A
3．方程，化简的结果是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由所给方程,可知动点到定点和 距离和是定值,根据椭圆的定义可知其轨迹是椭圆,即可求出椭圆的,进而得到答案.
【详解】根据两点间的距离公式可得: 表示点与点的距离,
表示点与点的距离.
所以原等式化简为
因为
所以由椭圆的定义可得:点的轨迹是椭圆:
根据椭圆中:,得:
所以椭圆的方程为: .
故选:B.
【点睛】本题考查了由椭圆的几何意义来求椭圆方程,能理解椭圆定义是解本题关键.
4．已知直线与直线平行，则实数a的值为（ ）
A．1B．C．1或D．
【答案】A
【分析】根据两直线平行的条件列方程，化简求得，检验后确定正确答案.
【详解】由于直线与直线平行，
所以，或，
当时，两直线方程都为，即两直线重合，所以不符合题意.
经检验可知符合题意.
故选：A
5．直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】依题意，圆心为，半径为，且圆心到直线的距离，而，即，也即，解得.
点睛：本题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线和圆相交所得弦长的弦长公式.直线和圆相交所得弦长公式为，先将圆心和半径求出来，然后利用圆心到直线的距离公式求出，这个是含有参数的，将代入题目所给弦长不小于这个不等式，解这个不等式即可求得的取值范围.
6．如图，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点，若，，则椭圆C的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据平行关系得到相似关系，得到，，结合题目条件，求出，得到椭圆方程.
【详解】由题意得，
当时，，解得，故，
所以，
因为，所以，即，解得，
故，
所以，解得，
所以，
椭圆C的标准方程为.
故选：A
7．设集合，，当时，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据集合的意义及集合间的运算结果可得两圆位置关系，进而可得参数范围.
【详解】由已知集合表示以为圆心，为半径的圆及其内部，
集合表示以为圆心，为半径的圆及其内部，
又，
得圆与圆相内切或内含，且圆在内部，
所以，
解得，
又，
所以，
故选：C.
8．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，且，则C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】根据点到直线距离公式、余弦定理，双曲线的离心率公式进行求解即可.
【详解】双曲线C的左焦点，渐近线的方程为，
由点到直线的距离公式可得，
由勾股定理得，
在中，，所以，
在中，，，，
，
由余弦定理得，
化简得，即，因此，双曲线C的离心率为，
故选：C

【点睛】关键点睛：本题的关键是利用互补两角的余弦值为零，进而运用余弦定理.
二、多选题
9．（多选题）已知点A(－3,－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据和到直线的距离相等，利用点和点到直线的距离公式，由求解.
【详解】因为和到直线的距离相等，由点和点到直线的距离公式，
可得，
化简得，
所以，
解得或，
故选：BC.
【点睛】本题主要考查点到直线的距离，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
10．己知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为、、P为椭圆上一点（异于左，右顶点），且面积的最大值为，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆C的焦距为1B．椭圆C的短轴长为
C．的周长为6D．椭圆C上存在2个点P，使得
【答案】BCD
【分析】根据题意分析可得当P为椭圆上顶点或下顶点时，面积最大，进而结合离心率即可求得即可判断AB；结合椭圆定义求出的周长即可判断C；假设椭圆C上存在2个点P，使得，设，，根据椭圆定义和余弦定理求出即可判断D.
【详解】由题意，当P为椭圆上顶点或下顶点时，面积最大，
此时，
结合，，解得，，，
则椭圆C的焦距为，故A错误；
椭圆C的短轴长为，故B正确；
的周长为，故C正确；
假设椭圆C上存在2个点P，使得，设，，
则，，
解得，即为椭圆上顶点或下顶点时，满足题意，故D正确.
故选：BCD.
11．已知圆锥曲线与的公共焦点为、，点为、的一个公共点，且满足，若圆锥曲线的离心率为，的离心率为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．当的离心率为时，的渐近线方程为
D．当的离心率为时，的渐近线方程为
【答案】BD
【分析】分析可知，曲线是焦点在轴上的椭圆，曲线是焦点在轴上的双曲线，令，，，，设椭圆、双曲线的焦距为，由对称性，不妨设点在第一象限，设，，根据椭圆和双曲线的定义得出，利用勾股定理可得出，然后逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】曲线的标准方程为，则，所以，曲线是焦点在轴上的椭圆，
曲线的标准方程为，所以，曲线是焦点在轴上的双曲线，
令，，，，设为两曲线的左焦点，
设椭圆、双曲线的焦距为，由对称性，不妨设点在第一象限，
设，，由椭圆和双曲线的定义可得，可得，
因为，由勾股定理可得，
即，整理可得，即，
所以，，A错B对；
若，即，可得，则，
因此，的离心率为时，的渐近线方程为，C错D对.
故选：BD.
12．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．已知过点的直线l与以点，为端点的线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围为
C．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于
D．已知圆，P为直线上一动点，过点P向圆C引一条切线PA，其中A为切点，则线段PA的最小值为2
【答案】ACD
【分析】根据直线过定点的求法求出定点即可判断A；设，根据斜率公式求出，，再结合图形求出直线的斜率的取值范围即可判断B；求出圆心到直线的距离与半径作比较即可判断C；由圆的性质结合勾股定理可得，要使最小，则最小，进而结合点到直线的距离公式求解即可判断D.
【详解】对于A，由，即，
由，解得，故该直线恒过定点，故A正确；
对于B，设，则，，
要使直线l与线段AB相交，如图，
则或，即直线l的斜率的取值范围为，故B错误；
对于C，由圆，则圆心为，半径，
所以圆心到直线的距离为，
所以圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于，故C正确；
对于D，由圆，则圆心为，半径，
由题意，，要使最小，则最小，
而圆心到直线的距离为，
则，则，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．已知以为圆心的圆与直线相切，则圆C的标准方程为 ．
【答案】
【分析】根据直线与圆C相切可求得圆C的半径，进而求解即可.
【详解】由题意，圆C的半径为，
所以圆C的标准方程为.
故答案为：.
14．已知抛物线的焦点为F，点，若点A为抛物线任意一点，当取最小值时，点A的坐标为 ．
【答案】
【分析】利用抛物线的定义计算即可.
【详解】易知，抛物线的准线为，过A作于C点，
则，当且仅当A为线段与抛物线的交点时取得最小值，此时.
故答案为：
15．己知椭圆的焦点分别为，，设直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则直线的方程为 ．
【答案】
【分析】先由题意求出，再由点差法可以求出直线的斜率，由直线的点斜式化简即可求解.
【详解】根据题意，因为焦点在轴上，所以，则，
即椭圆，所以P点为椭圆内一点，
设，则，，
两式相减得，变形得，
因为点为线段的中点，所以，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
故答案为：.
16．费马原理是几何光学中的重要原理，可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．点P为椭圆（，为焦点）上一点，点P处的切线平分外角．已知椭圆，O为坐标原点，l是点处的切线，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】先求得直线l的方程，然后求得直线的方程，进而求得M点坐标，进而求解.
【详解】由题意，设直线l的方程为，即，
联立，整理得，
所以，解得，
所以直线l的方程为，
对于椭圆，，，
则，即，，
所以直线的方程为，
联立，解得，即，
则.
故答案为：.
四、解答题
17．已知直线经过点．
(1)若与直线：垂直，求的方程；
(2)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据两直线垂直得到的斜率，进而利用点斜式求出直线方程；
（2）考虑截距为0和不为0两种情况，设出直线方程，待定系数法求出直线方程.
【详解】（1）由题可知，的斜率为，
设的斜率为，因为，所以，则，
又经过点，所以的方程为，即；
（2）若在两坐标轴上的截距为0，即经过原点，设的方程为，
将代入解析式得，解得，
故的方程为，
若在两坐标轴上的截距不为0，则设的方程为，
由，得，
故的方程为，
综上，的方程为或.
18．直线与双曲线相交于不同的两点A,B.
（1）求实数的取值范围；
（2）若以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由直线与双曲线，消去，利用判别式大于零得不等式，解出即可；
（2）以线段为直径的圆经过坐标原点转化为，即，整理后代入根与系数关系求解实数的值．
【详解】解：（1）由直线与双曲线，
得，
所以，
解得；
（2）以线段为直径的圆经过坐标原点，设，
则，即，
，
即，
，
整理得，符合条件，
∴．
【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，训练了利用直线斜率的关系判断两直线的垂直关系，是中档题．
19．有一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示.为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米.若行车道总宽度为米.
(1)计算车辆通过隧道时的限制高度；
(2)现有一辆载重汽车宽米，高米，试判断该车能否安全通过隧道？
【答案】(1)3.3米
(2)不能
【分析】（1）建立平面直角坐标系，由抛物线方程与题意列式求解，
（2）由抛物线方程计算后判断，
【详解】（1）建立如图所示的坐标系，设抛物线的方程为，
根据题意，此抛物线经过点，代入抛物线方程解得，
所以抛物线的方程为. 令，得，
因此，，
所以车辆通过隧道时的限制高度为米.
（2）对于抛物线，令，得，
因为，所以，该车不能安全通过隧道.
20．已知直线l与圆相交于A，B两点，弦AB的中点为．
(1)求实数a的取值范围以及直线l的方程；
(2)已知，若圆C上存在两个不同的点P，使，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）先由圆的方程写出圆心和半径；再由点M在圆内可求出实数a的取值范围；最后根据即可得出直线l的方程.
（2）先设出点P的坐标，由得出点P的轨迹方程；再根据圆C上存在两个不同的点P可知两圆相交，列出不等式求解即可.
【详解】（1）由圆可得，则圆心，半径.
因为直线l与圆相交于A，B两点，弦AB的中点为．
所以点在圆内，则，即，解得
故实数a的取值范围为.
因为弦AB的中点为，所以
由圆的性质可得，则，所以直线l的方程为：，即.
（2）设点P坐标为
由，，可得，即.
所以点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆
因为圆C上存在两个不同的点P
所以两圆相交，则，解得
故实数a的取值范围为：.
21．己知双曲线的一条渐近线为，且双曲线的虚轴长为．
(1)求双曲线的方程；
(2)记为坐标原点，过点的直线与双曲线相交于不同的两点、，若的面积为，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据已知条件求出、的值，即可得出双曲线的方程；
（2）分析可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，根据题意得出，求出的取值范围，列出韦达定理，利用三角形的面积公式以及韦达定理求出的值，即可得出直线的方程.
【详解】（1）解：由题意可得，可得，
因此，双曲线的方程为.
（2）解：若直线与轴重合，则直线与双曲线没有交点，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，
联立可得，
由题意可得，解得，
由韦达定理可得，，
则，
，解得，合乎题意，
所以，直线的方程为或.
22．已知圆点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和线段相交于点．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)设曲线与轴的两个交点分别为、（其中点在点的左侧），过且斜率不为的直线交曲线于、两点，直线、交于点，求证：点在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据椭圆的定义分析可知，曲线是以、为焦点，长轴长为的椭圆，求出、的值，即可得出曲线的方程；
（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与曲线的方程联立，列出韦达定理，求出直线、的方程，联立两直线的方程，求出点的横坐标，即可证得结论成立.
【详解】（1）解：圆的圆心为，半径为，
由中垂线的性质可得，则，
所以，曲线是以、为焦点，长轴长为的椭圆，
设曲线的方程为，则，，
又因为，则，
因此，曲线的方程为.
（2）证明：设直线的方程为，设点、，
易知点、，
联立可得，，
由韦达定理可得，，则，
，，
所以，直线的方程为，直线的方程为，
由
可得，
解得，故点在直线.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．