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2023-2024学年广东省东莞市七校高二上学期期中联考数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年广东省东莞市七校高二上学期期中联考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．如图，直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据倾斜角的定义分析运算.
【详解】由题意可知：直线的倾斜角为的补角，即为.
故选：C.
2．已知向量，，满足，则的值为（ ）
A．2B．-2C．D．
【答案】A
【分析】直接利用空间向量垂直的公式计算即可.
【详解】，，
，
解得
故选：A.
3．已知圆的一条直径的端点分别为，，则此圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出圆心坐标以及圆的半径，即可得出该圆的标准方程.
【详解】由题意可知，圆心为线段的中点，则圆心为，
圆的半径为，
故所求圆的方程为.
故选：D.
4．抛物线的准线方程是
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：由题意得，抛物线可化为，则，所以准线方程为，故选C．
【解析】抛物线的几何性质．
5．直线与直线平行，那么该两平行线之间距离是（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【分析】根据两直线平行得到方程与不等式，得到，再利用两平行直线间的距离公式求出答案.
【详解】且，解得，
两直线方程为与直线，
即与
故两平行线之间的距离为.
故选：B
6．如图，四边形ABCD为平行四边形，，，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】选取、为基底，利用向量的减法得到，再利用向量的加法与数乘将化为，根据向量、不共线可得，.
【详解】选取、为基底，则，
由知，，所以.
由向量加法法则可得，，，
又，
所以，
又向量，不共线，所以.
故选：D.
7．明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别、、，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为、、，则（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据长轴长与短轴长的定义，结合的等量关系以及离心率的计算公式，通过比较大小，可得答案.
【详解】设椭圆标准方程为，则，
可知椭圆的长轴长与短轴长的比值为，故离心率，
则，，，
由，则.
故选：C.
8．如图，正方体的棱长为1，点P为正方形内的动点，满足直线BP与下底面ABCD所成角为的点P的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作出辅助线，得到P的轨迹为以为圆心，为半径，位于平面内的圆的，求出轨迹长度.
【详解】直线BP与下底面ABCD所成角等于直线BP与上底面所成角，
连接，因为⊥平面，平面，
所以⊥，故为直线BP与上底面所成角，
则，
因为，所以，
故点P的轨迹为以为圆心，为半径，位于平面内的圆的，
故轨迹长度为.
故选：B
二、多选题
9．已知双曲线，则下列关于双曲线的结论正确的是（ ）
A．实轴长为6B．焦距为5
C．离心率为D．焦点到渐近线的距离为4
【答案】AD
【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由双曲线，可得，则，
可得双曲线的实轴长为，焦距为，离心率为，
所以A正确，B、C不正确；
又由双曲线的渐近线方程为，即，且焦点，
不妨设右焦点，渐近线为，则焦点到渐近线的距离为，所以D正确.
故选：AD.
10．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．与是共线向量B．与同向的单位向量是
C．和夹角的余弦值是D．平面的一个法向量是
【答案】BD
【分析】根据向量共线定理可判断A；根据单位向量的概念可判断B；由向量夹角的余弦公式可判断C；根据法向量的特征可判断D.
【详解】因为，，，
所以，，，
对于A：若存在实数使得，则，显然方程组无解，所以不存在使得，
即与不共线，故A错误；
对于B：因为，所以与同向的单位向量，故B正确；
对于C：，故C错误；
对于D：设平面的法向量，
则，取，得，故D正确；
故选：BD
11．设圆，点，若圆O上存在两点到A的距离为2，则的可能取值（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】BCD
【解析】将问题转化为以为圆心，为半径的圆为圆与圆相交问题，再根据圆与圆的位置关系求解即可得答案.
【详解】根据题意设以为圆心，为半径的圆为圆
所以圆，圆心为，半径为，则两圆圆心距为：
因为圆O上存在两点到A的距离为，所以圆与圆相交
所以，解得：.
所以r的取值范围是：.
故选：BCD
12．在正三棱柱中，，，与交于点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．存在点，使得
C．三棱锥的体积为
D．直线与平面所成角的正弦值为
【答案】AC
【分析】利用空间向量运算求解判断A；利用空间向量运算求解判断B；利用等体积法求解判断C；利用线面角的求解判断D.
【详解】向量，故A正确；
假设存在点，设，，
所以.
若，所以.解得.故B错误；
因为正三棱柱，所以，
所以，所以，故C正确；
设中点为，所以，三棱柱是正三棱柱，
所以平面，所以即与平面所成的角，
则.故D错误.
故选：AC.
三、填空题
13．若方程表示的曲线为焦点在轴上双曲线，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据双曲线的性质即可求解.
【详解】由题意可得，解得，
故答案为：
14．已知分别是平面的法向量，且，则 .
【答案】
【分析】利用平面法向量的定义以及面面平行的性质可知，再由向量平行的坐标表示即可得.
【详解】根据题意可知，若则可知，
又可得，即可得.
故答案为：
15．设半径为3的圆被直线截得的弦的中点为，且弦长，则圆的标准方程 .
【答案】或.
【分析】设所求的圆的方程，根据弦心距和弦的中点，建立方程，即可求得圆C的方程．
【详解】由题意设所求的圆的方程为：.
圆心到直线的距离为，
圆被直线：截得的弦的中点为，，
解得或，
即所求的圆的方程为：或.
故答案为：或.
16．已知实数，满足，则代数式的最大值为 .
【答案】
【分析】先根据方程判断点的轨迹方程，再将其转化为参数方程，代入所求式，利用正弦型函数的有界性求解即得.
【详解】因实数，满足，，
故可知点的轨迹是以为两焦点的椭圆，轨迹方程为：，
故可设该椭圆的参数方程为：（为参数）
则，
故当时，取得最大值为
故答案为：
【点睛】关键点点睛：根据两变量满足的方程，求解关于两变量解析式的范围或最值的题型，关键在于对方程的理解，如果满足熟知的点的轨迹，则可以利用定义得出轨迹方程，再通过参数方程求出，将其转化为单变量问题求解.
四、解答题
17．在菱形中，对角线与轴平行，，，点是线段的中点.
(1)求点的坐标；
(2)求过点且与直线垂直的直线.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可设，利用，求的坐标，利用中点坐标公式求出,
（2）先求得，再利用两直线垂直，斜率之积为求出直线斜率，进而可得到答案．
【详解】（1）四边形为菱形，轴，轴，可设，
，，
解得：（舍或，．
，中点坐标为，
由于，且是中点，点坐标为，
（2），,由中点坐标公式得，
又，，
则过点且与直线垂直的直线斜率为：，
所求直线方程为：，即．
18．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用勾股定理得，进而证平面，
（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量，以及的方向向量，可求直线与平面所成角的正弦值．
【详解】（1），所以得，
又,所以，
又，，平面，所以平面，
（2）知，，
以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则,0,,,1,,,0,,,,,,1,
则,0,,,1,,,,，
设平面的一个法向量,,，
则有，令，则有，，
平面的一个法向量,0,，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
19．已知双曲线的渐近线方程为，且点在该双曲线上.
(1)求双曲线方程；
(2)若点，分别是双曲线的左、右焦点，且双曲线上一点满足，求的面积.
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）根据双曲线渐近线方程得，根据点在双曲线上列方程，最后解方程组得出双曲线的方程；
（2）根据双曲线定义和列方程组求解，再根据三角形面积公式计算面积可得出答案.
【详解】（1）由题知，解得，
所以双曲线C的方程为：
（2）
根据双曲线的定义得，
解方程得，
【点睛】 考查双曲线方程求解及焦点三角形的面积求解，属基础题.
20．党的二十大报告提出要加快建设交通强国.在我国万平方千米的大地之下拥有超过座，总长接近赤道长度的隧道（约千米）.这些隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上方构筑顶棚形成“明洞”﹔或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路.但是更多时候它们都隐伏于山体之中，只露出窄窄的出入口洞门、佛山某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式，如图所示，路宽为米，洞门最高处距路面米.
(1)建立适当的平面直角坐标系，求圆弧的方程.
(2)为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了米宽的隔墙.某货车装满货物后整体呈长方体状，宽米，高米，则此货车能否通过该洞门?并说明理由.
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，分析可知圆心在轴上，设圆心坐标为，设圆的半径为，将点、的坐标代入圆的方程，求出、的值，结合图形可得出圆弧的方程；
（2）求出货车右侧的最高点的坐标，代入圆弧的方程，可得出结论.
【详解】（1）解：以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点、，由圆的对称性可知，圆心在轴上，
设圆心坐标为，设圆的半径为，则圆弧所在圆的方程为，
因为点、在圆上，则，解得，。
所以，圆弧所在圆的方程为，
因此，圆弧的方程为.
（2）解：此火车不能通过该路口，
由题意可知，隔墙在轴右侧米，车宽米，车高米，
所以货车右侧的最高点的坐标为，
因为，因此，该货车不能通过该路口.
21．在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面，且分别为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点，连接，通过证明四边形为平行四边形，即可证明结论；
（2）由直线与平面所成的角为，可得，建立以G为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案.
【详解】（1）证明：取中点，连接，
为的中点，
，又，
，
四边形为平行四边形：
，
平面平面，
平面；
（2）平面平面，平面平面平面，平面，
取中点，连接，则平面，
，
，又，
如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
，
，设平面的一个法向量，，
则，取，则，
平面的一个法向量可取，
设平面与平面所成的夹角为，
,平面与平面所成的夹角的余弦为
22．已知椭圆：的两焦点，，且椭圆过.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作不与坐标轴垂直的直线交椭圆于，两点，线段的垂直平分线与轴负半轴交于点，若点的纵坐标的最大值为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2),．
【分析】（1）由题意列出方程组，求解即可；
（2）设直线的方程为为不等于0的实数），联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理可得中点坐标，进而得线段的中垂线方程，求出的纵坐标，结合题意求得，由弦长公式可得，令，，根据函数的单调性求出其值域即得答案．
【详解】（1）由题意可得：，解得，
所以椭圆的方程为：；
（2）因为左焦点，
由题意可得直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为为不等于0的实数），，，，，
由，可得，
则，，，
所以，
所以的中点为，，
所以线段的中垂线方程为：，
令，则，即点纵坐标为，
又因为是与轴交于负半轴，所以，，
又因为点的纵坐标的最大值为，
所以，解得，
又因为
，
因为，
令，，由于函数在单调递增，
所以在,上单调递增，
所以，，
所以，，
即的取值范围为：,．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
一、单选题
1．如图，直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据倾斜角的定义分析运算.
【详解】由题意可知：直线的倾斜角为的补角，即为.
故选：C.
2．已知向量，，满足，则的值为（ ）
A．2B．-2C．D．
【答案】A
【分析】直接利用空间向量垂直的公式计算即可.
【详解】，，
，
解得
故选：A.
3．已知圆的一条直径的端点分别为，，则此圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出圆心坐标以及圆的半径，即可得出该圆的标准方程.
【详解】由题意可知，圆心为线段的中点，则圆心为，
圆的半径为，
故所求圆的方程为.
故选：D.
4．抛物线的准线方程是
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：由题意得，抛物线可化为，则，所以准线方程为，故选C．
【解析】抛物线的几何性质．
5．直线与直线平行，那么该两平行线之间距离是（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【分析】根据两直线平行得到方程与不等式，得到，再利用两平行直线间的距离公式求出答案.
【详解】且，解得，
两直线方程为与直线，
即与
故两平行线之间的距离为.
故选：B
6．如图，四边形ABCD为平行四边形，，，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】选取、为基底，利用向量的减法得到，再利用向量的加法与数乘将化为，根据向量、不共线可得，.
【详解】选取、为基底，则，
由知，，所以.
由向量加法法则可得，，，
又，
所以，
又向量，不共线，所以.
故选：D.
7．明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别、、，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为、、，则（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据长轴长与短轴长的定义，结合的等量关系以及离心率的计算公式，通过比较大小，可得答案.
【详解】设椭圆标准方程为，则，
可知椭圆的长轴长与短轴长的比值为，故离心率，
则，，，
由，则.
故选：C.
8．如图，正方体的棱长为1，点P为正方形内的动点，满足直线BP与下底面ABCD所成角为的点P的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作出辅助线，得到P的轨迹为以为圆心，为半径，位于平面内的圆的，求出轨迹长度.
【详解】直线BP与下底面ABCD所成角等于直线BP与上底面所成角，
连接，因为⊥平面，平面，
所以⊥，故为直线BP与上底面所成角，
则，
因为，所以，
故点P的轨迹为以为圆心，为半径，位于平面内的圆的，
故轨迹长度为.
故选：B
二、多选题
9．已知双曲线，则下列关于双曲线的结论正确的是（ ）
A．实轴长为6B．焦距为5
C．离心率为D．焦点到渐近线的距离为4
【答案】AD
【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由双曲线，可得，则，
可得双曲线的实轴长为，焦距为，离心率为，
所以A正确，B、C不正确；
又由双曲线的渐近线方程为，即，且焦点，
不妨设右焦点，渐近线为，则焦点到渐近线的距离为，所以D正确.
故选：AD.
10．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．与是共线向量B．与同向的单位向量是
C．和夹角的余弦值是D．平面的一个法向量是
【答案】BD
【分析】根据向量共线定理可判断A；根据单位向量的概念可判断B；由向量夹角的余弦公式可判断C；根据法向量的特征可判断D.
【详解】因为，，，
所以，，，
对于A：若存在实数使得，则，显然方程组无解，所以不存在使得，
即与不共线，故A错误；
对于B：因为，所以与同向的单位向量，故B正确；
对于C：，故C错误；
对于D：设平面的法向量，
则，取，得，故D正确；
故选：BD
11．设圆，点，若圆O上存在两点到A的距离为2，则的可能取值（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】BCD
【解析】将问题转化为以为圆心，为半径的圆为圆与圆相交问题，再根据圆与圆的位置关系求解即可得答案.
【详解】根据题意设以为圆心，为半径的圆为圆
所以圆，圆心为，半径为，则两圆圆心距为：
因为圆O上存在两点到A的距离为，所以圆与圆相交
所以，解得：.
所以r的取值范围是：.
故选：BCD
12．在正三棱柱中，，，与交于点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．存在点，使得
C．三棱锥的体积为
D．直线与平面所成角的正弦值为
【答案】AC
【分析】利用空间向量运算求解判断A；利用空间向量运算求解判断B；利用等体积法求解判断C；利用线面角的求解判断D.
【详解】向量，故A正确；
假设存在点，设，，
所以.
若，所以.解得.故B错误；
因为正三棱柱，所以，
所以，所以，故C正确；
设中点为，所以，三棱柱是正三棱柱，
所以平面，所以即与平面所成的角，
则.故D错误.
故选：AC.
三、填空题
13．若方程表示的曲线为焦点在轴上双曲线，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据双曲线的性质即可求解.
【详解】由题意可得，解得，
故答案为：
14．已知分别是平面的法向量，且，则 .
【答案】
【分析】利用平面法向量的定义以及面面平行的性质可知，再由向量平行的坐标表示即可得.
【详解】根据题意可知，若则可知，
又可得，即可得.
故答案为：
15．设半径为3的圆被直线截得的弦的中点为，且弦长，则圆的标准方程 .
【答案】或.
【分析】设所求的圆的方程，根据弦心距和弦的中点，建立方程，即可求得圆C的方程．
【详解】由题意设所求的圆的方程为：.
圆心到直线的距离为，
圆被直线：截得的弦的中点为，，
解得或，
即所求的圆的方程为：或.
故答案为：或.
16．已知实数，满足，则代数式的最大值为 .
【答案】
【分析】先根据方程判断点的轨迹方程，再将其转化为参数方程，代入所求式，利用正弦型函数的有界性求解即得.
【详解】因实数，满足，，
故可知点的轨迹是以为两焦点的椭圆，轨迹方程为：，
故可设该椭圆的参数方程为：（为参数）
则，
故当时，取得最大值为
故答案为：
【点睛】关键点点睛：根据两变量满足的方程，求解关于两变量解析式的范围或最值的题型，关键在于对方程的理解，如果满足熟知的点的轨迹，则可以利用定义得出轨迹方程，再通过参数方程求出，将其转化为单变量问题求解.
四、解答题
17．在菱形中，对角线与轴平行，，，点是线段的中点.
(1)求点的坐标；
(2)求过点且与直线垂直的直线.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可设，利用，求的坐标，利用中点坐标公式求出,
（2）先求得，再利用两直线垂直，斜率之积为求出直线斜率，进而可得到答案．
【详解】（1）四边形为菱形，轴，轴，可设，
，，
解得：（舍或，．
，中点坐标为，
由于，且是中点，点坐标为，
（2），,由中点坐标公式得，
又，，
则过点且与直线垂直的直线斜率为：，
所求直线方程为：，即．
18．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用勾股定理得，进而证平面，
（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量，以及的方向向量，可求直线与平面所成角的正弦值．
【详解】（1），所以得，
又,所以，
又，，平面，所以平面，
（2）知，，
以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则,0,,,1,,,0,,,,,,1,
则,0,,,1,,,,，
设平面的一个法向量,,，
则有，令，则有，，
平面的一个法向量,0,，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
19．已知双曲线的渐近线方程为，且点在该双曲线上.
(1)求双曲线方程；
(2)若点，分别是双曲线的左、右焦点，且双曲线上一点满足，求的面积.
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）根据双曲线渐近线方程得，根据点在双曲线上列方程，最后解方程组得出双曲线的方程；
（2）根据双曲线定义和列方程组求解，再根据三角形面积公式计算面积可得出答案.
【详解】（1）由题知，解得，
所以双曲线C的方程为：
（2）
根据双曲线的定义得，
解方程得，
【点睛】 考查双曲线方程求解及焦点三角形的面积求解，属基础题.
20．党的二十大报告提出要加快建设交通强国.在我国万平方千米的大地之下拥有超过座，总长接近赤道长度的隧道（约千米）.这些隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上方构筑顶棚形成“明洞”﹔或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路.但是更多时候它们都隐伏于山体之中，只露出窄窄的出入口洞门、佛山某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式，如图所示，路宽为米，洞门最高处距路面米.
(1)建立适当的平面直角坐标系，求圆弧的方程.
(2)为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了米宽的隔墙.某货车装满货物后整体呈长方体状，宽米，高米，则此货车能否通过该洞门?并说明理由.
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，分析可知圆心在轴上，设圆心坐标为，设圆的半径为，将点、的坐标代入圆的方程，求出、的值，结合图形可得出圆弧的方程；
（2）求出货车右侧的最高点的坐标，代入圆弧的方程，可得出结论.
【详解】（1）解：以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点、，由圆的对称性可知，圆心在轴上，
设圆心坐标为，设圆的半径为，则圆弧所在圆的方程为，
因为点、在圆上，则，解得，。
所以，圆弧所在圆的方程为，
因此，圆弧的方程为.
（2）解：此火车不能通过该路口，
由题意可知，隔墙在轴右侧米，车宽米，车高米，
所以货车右侧的最高点的坐标为，
因为，因此，该货车不能通过该路口.
21．在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面，且分别为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点，连接，通过证明四边形为平行四边形，即可证明结论；
（2）由直线与平面所成的角为，可得，建立以G为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案.
【详解】（1）证明：取中点，连接，
为的中点，
，又，
，
四边形为平行四边形：
，
平面平面，
平面；
（2）平面平面，平面平面平面，平面，
取中点，连接，则平面，
，
，又，
如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
，
，设平面的一个法向量，，
则，取，则，
平面的一个法向量可取，
设平面与平面所成的夹角为，
,平面与平面所成的夹角的余弦为
22．已知椭圆：的两焦点，，且椭圆过.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作不与坐标轴垂直的直线交椭圆于，两点，线段的垂直平分线与轴负半轴交于点，若点的纵坐标的最大值为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2),．
【分析】（1）由题意列出方程组，求解即可；
（2）设直线的方程为为不等于0的实数），联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理可得中点坐标，进而得线段的中垂线方程，求出的纵坐标，结合题意求得，由弦长公式可得，令，，根据函数的单调性求出其值域即得答案．
【详解】（1）由题意可得：，解得，
所以椭圆的方程为：；
（2）因为左焦点，
由题意可得直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为为不等于0的实数），，，，，
由，可得，
则，，，
所以，
所以的中点为，，
所以线段的中垂线方程为：，
令，则，即点纵坐标为，
又因为是与轴交于负半轴，所以，，
又因为点的纵坐标的最大值为，
所以，解得，
又因为
，
因为，
令，，由于函数在单调递增，
所以在,上单调递增，
所以，，
所以，，
即的取值范围为：,．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
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