2023-2024学年山东省菏泽市高二上学期期中联考数学试题（A）含答案

这是一份2023-2024学年山东省菏泽市高二上学期期中联考数学试题（A）含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若直线与直线互相平行，则的值是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【分析】利用两直线平行可得出关于的等式与不等式，即可解得实数的值.
【详解】因为直线与直线互相平行，
则，解得.
故选：A.
2．已知点，点B在直线上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】C
【分析】根据点到直线的距离即可求解.
【详解】由于不在直线上，所以当时，此时最小，
故,
故选:C
3．抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】把抛物线方程化成标准方程后可求焦点坐标.
【详解】抛物线方程为：，故焦点坐标为：，
故选：C.
4．已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为3，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】根据抛物线方程写出其准线方程，再利用抛物线定义即可求得结果.
【详解】如下图所示：

根据题意可得抛物线的准线方程为，
若到直线的距离为，则到抛物线的准线的距离为，
利用抛物线定义可知.
故选：A
5．已知p：，q：关于x，y的方程表示圆，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由方程表示圆得出参数的范围，然后再判断出是的充分不必要条件.
【详解】关于x，y的方程表示圆等价于，即，
显然由可推出，反之由不能的到（可能是）
故是的充分不必要条件.
故选：A.
6．点到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求得直线所过定点，再由点到定点的距离为，点到直线的距离的最大值求解.
【详解】解：直线可化为：，
由，解得，所以直线过定点，
点到直线的距离的最大值为：
，
故选：B
7．椭圆的左、右焦点分别为、，动点A在椭圆上，B为椭圆的上顶点，则周长的最大值为（ ）
A．8B．10C．12D．16
【答案】C
【分析】转化周长为，
结合，即得解.
【详解】
由题意，椭圆，其中，，
由于点B为椭圆的上顶点，故，
周长为，
其中，当且仅当点在线段延长线上时取得等号，
，
即，故周长最大值为12.
故选：C
8．已知双曲线的右焦点为，点，是双曲线上的一点，当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由双曲线方程得点坐标和离心率，设右焦点为到右准线的距离是，根据准线方程即可得，从而得到当垂直于右准线时，取得最小值，再根据点在双曲线上，即可求点的坐标.
【详解】由双曲线知，，，，所以右焦点为，离心率，
右准线方程是，点在双曲线内，
设右焦点为，点到右准线的距离是，则，
所以，所以，
当垂直于右准线时，取得最小值，
此时可设，因为是双曲线上的一点，代入双曲线方程可得，
所以，所以点的坐标为.
故选：B
二、多选题
9．已知圆，则（ ）
A．点在圆的内部B．圆的直径为2
C．过点的切线方程为D．直线与圆相离
【答案】ACD
【分析】利用圆的标准方程，找到圆心和半径，利用直线和圆的位置关系判断即可.
【详解】A:将点代入圆：，所以点在圆内，故A正确；
B:圆的半径为，所以直径为，故B错误；
C:将代入圆：，所以点在圆上，过圆上的一点做圆的切线有且只有一条，当斜率不存在时，此时过点的直线为，满足，故只有唯一的切线方程，故C正确；
D:圆的圆心为，半径，所以圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，故D正确.
故选：ACD.
10．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：，则（ ）
A．C的离心率为2B．C的渐近线方程为
C．C的实轴长为2D．C的右焦点到渐近线的距离为
【答案】ABD
【分析】根据双曲线方程可得，即可根据双曲线的几何性质即可判断ABC，根据点到直线的距离公式即可求解D.
【详解】由双曲线C：可得，
所以，
故离心率为长轴长为，故A正确，C错误，
渐近线方程为，故B正确，
右焦点为，到渐近线的距离为，故D正确，
故选：ABD
11．2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新lg（如图所示），设计师的灵感来源于曲线．当时，下列关于曲线的判断正确的有（ ）
A．曲线关于轴和轴对称
B．曲线所围成的封闭图形的面积小于8
C．设，直线交曲线于两点，则的周长小于8
D．曲线上的点到原点的距离的最大值为
【答案】ABD
【分析】根据用替换，不变，得方程不变，用替换，不变，得方程不变，可判断A正确；根据曲线的范围，可判断B正确；先得到椭圆在曲线内(除四个交点外)，再根据椭圆的定义可判断C不正确；利用两点间的距离公式、三角换元和三角函数知识求出最大值，可判断D正确；
【详解】当时，曲线：，
对于A，用替换，不变，得，即，则曲线关于轴对称；用替换，不变，得，即，则曲线关于轴对称，故A正确；
对于B，由，得，，所以曲线在由直线和所围成的矩形内（除曲线与坐标轴的四个交点外），所以曲线所围成的封闭图形的面积小于该矩形的面积，该矩形的面积为，故B正确；
对于C，对于曲线和椭圆，
设点在上，点在上，
因为
，
所以，所以，
设点在上，点在上，
因为
，
所以，所以，
所以椭圆在曲线内(除四个交点外)，如图：
设直线交椭圆于两点，交轴于，
易知，为椭圆的两个焦点，
由椭圆的定义可知，，，
所以的周长为，
由图可知，的周长不小于，故C不正确；
对于D，设曲线上的点，则该点到原点的距离为，
因为，所以设，，，
则，其中，，
所以当时，取得最大值，取得最大值.故D正确；
故选：ABD
12．第24届冬季奥林匹克运动会圆满结束.根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若椭圆：和椭圆：的离心率相同，且.则下列正确的是（ ）
A．
B．
C．如果两个椭圆，分别是同一个矩形（此矩形的两组对边分别与两坐标轴平行）的内切椭圆（即矩形的四条边与椭圆均有且仅有一个交点）和外接椭圆，则
D．由外层椭圆的左顶点向内层椭圆分别作两条切线（与椭圆有且仅有一个交点的直线叫椭圆的切线）与交于两点，的右顶点为，若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为.
【答案】BCD
【分析】由离心率相同及已知得到、，即可判断A、B；由在椭圆上得到，进而判断C；根据对称性确定的坐标，结合斜率两点式得判断D.
【详解】A：由且，则，即，故错误；
B：由，得，则，所以，故正确；
C：满足椭圆方程，又，则，所以，，故正确；
D：由对称性知：、关于轴对称，，，，，，，则，，故正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．若直线l的一个方向向量是，则直线l的倾斜角是 ．
【答案】
【分析】根据直线的方向向量可得直线的斜率，然后可求直线的倾斜角.
【详解】因为直线l的方向向量为，所以直线的斜率为，即直线的倾斜角的大小是.
故答案为：.
14．两圆x2+y2=1，（x+4）2+（y﹣a）2=25相内切，则实数a= ．
【答案】0
【分析】求出两圆的圆心坐标和半径，再由两圆内切，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，圆的圆心坐标为，半径为，
又由圆的圆心坐标为，半径为，
又由两圆相内切，所以，解得.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记两圆相内切的条件，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
15． 若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为 .
【答案】6
【解析】由椭圆方程得到F，O的坐标，设P(x，y)(－2≤x≤2)，利用数量积的坐标运算将·转化为二次函数最值求解.
【详解】由椭圆＋＝1，可得F(－1，0)，点O(0，0)，
设P(x，y)(－2≤x≤2)，
则·＝x2＋x＋y2
＝x2＋x＋3
＝x2＋x＋3
＝(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，
当x＝2时， ·取得最大值6.
故答案为：6
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积及应用以及椭圆的几何性质和二次函数求最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
四、双空题
16．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线：（）焦点为，准线为，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点（点在抛物线内）射入，经过上的点反射后，再经过上另一点反射后，沿直线射出，且经过点，若直线与抛物线的准线交于点，则直线的斜率为 ；若，且平分，则 .
【答案】 0 2
【分析】①设直线的方程，与抛物线方程联立得出韦达定理，求出的坐标，写出直线的方程，求出点的坐标，得到直线的斜率；
②由平分推导角的关系得出，即，根据弦长公式写出方程，求出结果.
【详解】依题意直线过抛物线的焦点.设直线的方程为，，，
联立方程组得，则，．
因为，所以，．
因为直线的方程为，
所以直线与抛物线的准线的交点为，
所以直线的斜率为0．
②因为平分，所以，所以．
因为，所以，即
所以，得．
故答案为：①0；②2.
五、解答题
17．已知点、．
(1)求线段的垂直平分线的直线方程；
(2)若点、到直线的距离相等，求实数的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）求出直线的斜率与线段的中点，即可求出线段的垂直平分线的方程；
（2）求出线段的中点的坐标，分两种情况讨论，一是点在直线上，二是直线与直线平行，即可求得实数的值.
【详解】（1）解：线段的中点为，，
故线段的中垂线的方程为，即.
（2）解：由条件线段的中点为在直线上或线段所在直线与直线平行，
若线段的中点为在直线上，则，解得；
线段所在直线与直线平行，则，解得．
综上所述，或.
18．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线的斜率为1，经过点，且与椭圆交于，两点，若，求值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意设出椭圆方程，结合长轴长、离心率概念求解出的值，根据求解出的值，则椭圆方程可求；
（2）联立直线与椭圆方程，并注意判别式，根据弦长公式列出关于参数的方程，从而结果可求.
【详解】（1）设椭圆的方程为，
所以，，解得，
所以，所以.
（2）根据题意可得，则，
且，则，
又，
所以，
即，
则，解得，经检验，符合题意．
19．小徐同学在平面直角坐标系画了一系列直线（）和以点为圆心，为半径的圆，如图所示，他发现这些直线和对应同一值的圆的交点形成的轨迹很熟悉．

(1)求上述交点的轨迹的方程；
(2)过点作直线交此轨迹于、两点，点在第一象限，且，轨迹上一点在直线的左侧，求三角形面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先设交点的坐标，再根据已知列方程组，消参即可得轨迹方程；
（2）先设直线的方程，再和抛物线联立方程组得两根和及两根积，最后结合向量关系及面积公式求解即可.
【详解】（1）设交点为
（2）
设直线为，
，，，
，
，
，，
，，
直线：，设点，
点到直线的距离为
所以
20．如图，已知圆，点．
(1)求经过点A且与圆相切的直线l的方程；
(2)过点的直线与圆相交于两点，为线段的中点，求线段长度的取值范围．
【答案】(1)或；
(2)
【分析】（1）分类讨论，斜率不存在时，直接检验，斜率存在时设出切线方程，由圆心到切线的距离等于半径求得参数后得切线方程．
（2）求出点的轨迹为圆，求得圆心和半径后，求得点到圆心距离后可得的取值范围．
【详解】（1）由已知，，过点斜率不存在的直线为，它与圆相切，符合题意，
斜率存在时，设切线方程为，即，
由，解得，切线方程为，即，
综上，切线方程为或；
（2），所以在圆内部，
是弦中点，则，当不重合或不重合时，，
所以点轨迹是以为直径的圆．圆心坐标为，半径为，
又，所以．
21．已知双曲线的右焦点为，的两条渐近线分别与直线交于，两点，且的长度恰好等于点到渐近线距离的倍.
(1)求双曲线的离心率；
(2)已知过点且斜率为1的直线与双曲线交于，两点，为坐标原点，若对于双曲线上任意一点，均存在实数，，使得，试确定，的等量关系式.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设直线与轴交于点，不妨取一条渐近线，
则，∴，
又到的距离，
∴，即，
∴.
（2）由（1）知，，
∴，
∴，
∴双曲线，即，则，直线，
由消去可得，
设，，则由韦达定理可得，，
设，则由可得，
由点在双曲线上可得，
即，
∵，，
∴.
22．如图，已知椭圆:的一个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点(4,0)且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，设点关于轴的对称点为.
（ⅰ）求证：直线过轴上一定点，并求出此定点坐标；
（ⅱ）求△面积的取值范围.
【答案】（ⅰ）定点（1 ， 0）
（ⅱ）故△OA1B的面积取值范围是
【分析】（Ⅰ）根据焦点和等边三角形确定a,c值求出方程；（Ⅱ）（ⅰ）设直线与椭圆联立。利用整理代入韦达定理得定点（ⅱ）利用化简结合基本不等式求面积
【详解】（Ⅰ）因为椭圆的一个焦点是（1，0），所以半焦距=1.

因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.
所以，解得所以椭圆的标准方程为
（Ⅱ）（i）设直线：与联立并消去得：.
记，，，
. 由A关于轴的对称点为，得，根据题设条件设定点为（，0），得，即.所以即定点（1 ， 0）.
（ii）由（i）中判别式，解得. 可知直线过定点 (1,0).
所以 得, 令记，得，当时，.
在上为增函数. 所以，
得.故△OA1B的面积取值范围是.