2023-2024学年北京市第八十中学高二上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年北京市第八十中学高二上学期期中考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题，未知等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线的倾斜角是（ ）
A．45°B．135°C．120°D．90°
【答案】B
【分析】根据斜率即可求解倾斜角.
【详解】由得，
故斜率为则倾斜角为135°，
故选：B
2．已知，，且，则（ ）
A．B．C．6D．1
【答案】A
【分析】根据空间向量垂直的坐标运算即可求解.
【详解】由可得，解得，
故选：A
3．若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为7，则到另一个焦点的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】利用椭圆的定义列式计算得解.
【详解】椭圆的长轴长，而点到椭圆一个焦点的距离为7，
所以到另一个焦点的距离为.
故选：A
4．已知点，，则线段AB的垂直平分线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】应用两点式求线段AB的斜率，进而可得垂直平分线的斜率，结合中点坐标及点斜式写出垂直平分线方程.
【详解】由题设，，故线段AB的垂直平分线的斜率为2，又中点为，
所以线段AB的垂直平分线方程为，整理得：.
故选：B
5．圆关于原点对称的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先求出圆心关于原点的对称点，从而可求出所求圆的方程.
【详解】圆的圆心为，半径为，
因为点关于原点对称点为，
所以圆关于原点对称的圆的方程为
，
故选：C.
6．“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据两直线垂直可构造方程求得的值，由推出关系可得结论.
【详解】由两直线垂直可得：，解得：或；
或，或，
“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.
故选：A.
7．设椭圆的左、右焦点分别为，，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由是底角为的等腰三角形，把用表示出来后可求得离心率．
【详解】解：由题意可得，，如图，，则，，
所以，
所以，∴，∴．
故选：D．
8．已知M是圆上的动点，则到直线距离的最大值为（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】B
【分析】根据圆上的点到一条直线距离的最大值等于圆心到此直线距离与半径和，根据恒过的定点，过圆心作直线的垂线，垂足为，得知点的轨迹为以为直径的圆，则求解.
【详解】设圆的圆心为，点到直线的距离为，过点作直线的垂线，垂足为，
则点到直线的距离为，所以，
又因为直线恒过定点，则垂足的轨迹为以为直径的圆，
则，所以
故选：B
9．如图，在正方体中，点E是侧面内的一个动点，若点E满足，则点E的轨迹为（ ）
A．圆B．半圆C．直线D．线段
【答案】B
【分析】设与交点为，取中点，连接，证明，由，则，从而可得，最终得出（为正方体的棱长），从而得轨迹．
【详解】如图，设与交点为，取中点，连接，
是中点，，而平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，则，
，则，所以，
设正方体棱条为，则，显然，所以，
在正方形内点到点的距离为，其轨迹是以为圆心的半圆，
故选：B．
10．如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的是

A．是正三棱锥
B．直线∥平面ACD
C．直线与所成的角是
D．二面角为.
【答案】B
【详解】试题分析：由正四面体的性质知是等边三角形，且两两垂直，所以A正确；借助正方体思考，把正四面体放入正方体，很显然直线与平面不平行，B错误.
【解析】正四面体的性质、转化思想的运用.
二、填空题
11．直线与直线之间的距离等于 .
【答案】
【分析】利用平行线间的距离公式求解即可.
【详解】直线与直线之间的距离.
故答案为：
12．双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
【分析】先把双曲线化简成标准方程，直接得出渐近线方程.
【详解】由得

所以渐近线方程为
故答案为.
【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.
13．已知平面经过原点，且法向量为，点，则点到平面的距离为 .
【答案】
【分析】利用向量数量积的几何意义，求出点P到平面的距离即可．
【详解】平面经过原点，且法向量为，，
则点到平面的距离为.
故答案为：.
三、双空题
14．如图，在四面体中，是的重心，G是上的一点，且，若，则 ；若四面体是棱长为2的正四面体，则 .
【答案】 /0.75 /
【分析】第一空：利用空间向量的线性运算法则，结合三角形重心的性质求解；
第二空：将两边同时平方，利用数量积的运算律计算即可.
【详解】
，
则
将两边同时平方得：
故答案为：；.
四、填空题
15．关于曲线，给出下列四个结论：
①曲线关于原点对称，也关于轴、轴对称；
②曲线围成的面积是；
③曲线上任意一点到原点的距离者不大于；
④曲线上的点到原点的距离的最小值为1.
其中，所有正确结论的序号是 .
【答案】①②③④
【分析】画出曲线的图象，根据对称性、面积、图象等知识确定正确答案.
【详解】曲线，
则时，，
时，，
时，，
当时，，
由此画出曲线的图象如下图所示，
由图可知：
曲线关于原点对称，也关于轴、轴对称，①正确.
曲线围成的面积是，②正确.
曲线上任意一点到原点的距离者不大于，③正确
曲线上的点到原点的距离的最小值为1，即，
所以④正确.
故答案为：①②③④
五、解答题
16．已知圆C经过坐标原点O和点，且圆心在x轴上．
(1)求圆C的方程．
(2)设直线l经过点，且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)和
【分析】（1）设圆心，则圆心到与距离相同且等于半径，由此求出，进而求出圆C的方程.
（2）分别研究斜率存在与斜率不存在时两种情况：当斜率不存在时，直线为，符合要求；当斜率存在时，设直线l为，则圆心到直线的距离，再结合弦长公式即可求出k的值，由此能出直线l的方程.
【详解】（1）设圆心，则圆心到与距离相同且等于半径，
所以，解得，
所以圆心为，半径，
所以圆C的方程为．
（2）当斜率存在时，设直线l为，整理得，
则圆心到直线的距离，①
又因为，解得，②
由①②解得：，
所以直线方程为，整理得；
当斜率不存在时，直线为，此时圆心到直线的距离，
所以其弦长为，符合题意.
综上，所求直线方程为和.
17．如图，在长方体中，，，点在上，且.
(1)求直线与所成角的大小；
(2)求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以为原点，的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，求出，，利用空间向量的数量积求解直线与所成角的余弦值即可．
（2）求出平面的法向量，利用平面法向量与直线方向向量的夹角即可求解线面角
【详解】（1）以为原点，的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，
所以，．所以,
所以，故直线与所成角为 ．
（2）因为,,
设平面的法向量为，，，则即
令，则，,于是,
设与平面所成角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为
18．已知椭圆C：的长轴长为4，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点D.求证：为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）求出后可得椭圆的方程；
（2）设直线的方程为，用斜率表示后可证为定值.
【详解】（1）由题设可得，
设椭圆的半焦距为，则，故，故，
故椭圆的方程为：.
（2）当时，，此时，而，故，故.
当时，直线的方程为，，
由可得，
此时，
，，
且.
的中垂线的方程为：，
令，则，故，
故.
六、未知
19．如图，在四棱锥中，平面，为等边三角形，，，分别为棱的中点．
(1)求证：平面：
(2)求平面与平面夹角的余弦值：
(3)在校上是否存在点，使得平面？说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在点，使得平面，此时，利用见解析
【分析】（1）证明，，得出，再证明平面．
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的一个法向量，然后利用空间向量的数量积求解．
（3）假设棱上存在点，使得平面，利用，转化求解线段上存在点，使得平面．
【详解】（1）证明：因为平面，平面，平面，
所以，．
又因为为等边三角形，为的中点，
所以．平面
所以平面；
（2）取的中点，连接，，
由于，所以四边形为平行四边形，
又，所以四边形为矩形，
故，，．
因为为等边三角形，所以，
以为原点，以,,所在直线分别为,,轴如图建系，
,0,,,0,,,1,,,2,，
,0,,,1,，
设平面的法向量为,,，则：，即，
令，得平面的一个法向量,,，
易知平面的一个法向量为,2,，
,，
所以平面与平面所成角的余弦值为；
（3）解：假设棱上存在点，使得平面，
设,,，则,,0,,,2,,,0,，
,2,，则,,，,,，
要使得平面，则，得，
所以线段上存在点，使得平面，．
七、解答题
20．在平面直角坐标系中，为坐标原点，，已知平行四边形两条对角线的长度之和等于4．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)过作互相垂直的两条直线、，与动点的轨迹交于、，与动点的轨迹交于点、，、的中点分别为、；证明：直线恒过定点，并求出定点坐标；
(3)在（2）的条件下，求四边形面积的最小值．
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点
(3)．
【分析】(1)根据几何位置关系可得，再根据椭圆定义求解；
(2)利用韦达定理表示出坐标，从而表示出的直线方程即可求解；
(3)利用韦达定理表示出弦长，进而可表示面积，利用二次函数的性质可求面积的最小值.
【详解】（1）
取点，则有，所以四边形是平行四边形，
所以，因为，所以，
所以动点的轨迹为椭圆（左右顶点除外），所以，，
所以，所以动点的轨迹方程为．
（2）当垂直于轴时，的中点，
直线为轴，与椭圆，无交点，不合题意，
当直线不垂直于轴时，不妨设直线的方程为，
，，
由，得，
所以△，
所以，，
所以，
所以，
因为，以代替，得，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，
由椭圆的对称性得，若存在这样的定点必在轴上，
令，则，
所以，
所以直线恒过定点，
当时，，，
所以直线恒过定点，
综上所述，直线恒过定点．
（3）由（2）得，，
所以
，
同理可得，
所以四边形的面积，
令，则，
所以，
因为，所以，
当，即时，，所以，
所以四边形的面积最小值为．