2023-2024学年福建省莆田第四中学高二上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年福建省莆田第四中学高二上学期期中考试数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在空间直角坐标系中，点与点（ ）
A．关于原点对称B．关于x轴对称C．关于y轴对称D．关于z轴对称
【答案】D
【分析】根据空间中点的对称关系的坐标特征分析判断即可
【详解】点，的竖坐标相同，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，
所以关于轴对称.
故选：D
【点睛】方法点睛：点是空间直角坐标系中的一点，则
（1）关于平面的对称点坐标为；关于平面的对称点坐标为；关于平面的对称点坐标为.
（2）关于轴的对称点坐标为；关于轴的对称点坐标为；关于轴的对称点坐标为.
（3）关于原点的对称点坐标为.
2．已知直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由直线的方向向量求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程.
【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率，
又直线经过点，所以直线的方程为，即.
故选：D
3．设方程表示的曲线是（ ）
A．一个圆和一条直线B．一个圆和一条射线
C．一个圆D．一条直线
【答案】D
【分析】先化简题给方程，即可得到其表示的曲线为一条直线.
【详解】由，可得，
则由，可得，
则方程表示的曲线是一条直线.
故选：D
4．已知椭圆C：的一个焦点为（2，0），则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．
C．D．1
【答案】C
【分析】根据椭圆方程可知值，根据焦点坐标得到值，即可求出代入离心率公式求解.
【详解】由已知可得，，
则，
所以，
则离心率．
故选：C.
5．若直线与圆相切，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直线与圆相切，由圆心到直线距离等于半径，求的值.
【详解】圆化成标准方程为，则且圆心坐标为，半径为，
直线与圆相切，则圆心到直线距离等于半径，
即：，解得.
故选：A
6．若直线恒过点A，点A也在直线上，其中均为正数，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】根据直线的定点可得，进而可得，结合基本不等式运算求解.
【详解】因为，则，
令，解得，
即直线恒过点.
又因为点A也在直线上，则，
可得，且，
则，即，当且仅当时，等号成立
所以的最大值为.
故选：B.
7．在中，已知，若直线为的平分线，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据点关于线的对称求解关于直线的对称点，即可根据两点求解的方程,即可求解直线方程.
【详解】过作关于直线的对称点，则在直线上，
设，根据且的中点在直线上，得，
解得，所以，
又，所以直线方程为，故方程为，
故选：D

8．在我国古代的数学名著《九章算术》中，堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥.如图，在堑堵中，，当鳖臑的体积最大时，直线与平面所成角的正弦值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据鳖臑体积最大求出和的值，建系求出各点坐标，利用向量即可求出直线与平面所成角的正弦值.
【详解】在堑堵中，，，，
，
，
，
，当且仅当是等号成立，
即当鳖臑的体积最大时，，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为．
故选：C．
二、多选题
9．已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列点中不在平面内的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根据空间向量的坐标表示，依次判断，，，是否为0即可.
【详解】对于A，，，所以，又因为平面，所以平面.
对于B，，，所以与不垂直，又因为平面，所以平面.
对于C，，，所以与不垂直，又因为平面，所以平面.
对于D，，，所以与不垂直，又因为平面，所以平面.
故选：BCD
10．下列说法正确的有（ ）
A．若，则直线的斜率小于0
B．过点且斜率为的直线的点斜式方程为
C．斜率为-2，在y轴上的截距为3的直线方程为
D．经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为
【答案】AB
【分析】对于A，根据直线的斜率即可判断；对于B，结合直线点斜式方程可判断；对于C，利用直线的斜截式方程可判断；对于D，考虑直线的截距是否为0，即可判断.
【详解】对于A，，则直线的斜率为，A正确；
对于B，过点且斜率为的直线的点斜式方程为，正确；
对于C，斜率为-2，在y轴上的截距为3的直线方程为，C错误；
对于D，经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线，
若截距为0，这直线方程为；
截距不为0时，设在x轴和y轴上截距相等的直线方程为，
将代入，即，即得，
故经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为或，D错误，
故选 ：AB
11．如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，平面，下列说法正确的是（ ）
A．与所成的角是
B．平面与平面所成的锐二面角余弦值是
C．三棱锥的体积是
D．与平面所成的角的正弦值是
【答案】ACD
【分析】由题意以分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法判断选项A，B，D，直接由锥体的体积公式求出三棱锥的体积，判断选项C.
【详解】由,可得,又平面
故以分别为轴建立空间直角坐标系.
则
选项A. 由
则,所以
所以与所成的角是，故选项A正确.
选项B. 由题意为平面的一个法向量.
设为平面 的一个法向量，
由 ，即 ，则取
所以
所以平面与平面所成的锐二面角余弦值是，故选项B不正确.
选项C. ,故选项C正确.
选项D. ,设与平面所成的角为
则 ，故选项D正确.
故选：ACD
12．小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问：平面上到两个定点距离之积为常数的点的轨迹是什么呢？又具备哪些性质呢？老师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，这类曲线被称为“卡西尼卵形线”．在老师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研究，假设、是平面直角坐标系xOy内的两个定点，满足的动点P的轨迹为曲线C，从而得到以下4个结论，其中正确结论的为（ ）
A．曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．动点P的横坐标的取值范围是
C．的取值范围是
D．的面积的最大值为
【答案】ABD
【分析】设，由题设可得曲线C为，将、、代入即可判断；令，由在上有解，结合二次函数性质求P的横坐标的取值范围判断；由②分析可得，进而求范围判断；由基本不等式、余弦定理确定范围，再根据三角形面积公式求最值判断.
【详解】令，则，
所以，则，
将、、代入上述方程后，均有，
所以曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确；
令，则，
对于，对称轴为，
所以在上递增，要使在上有解，只需，
所以，即，可得，正确；
由，由中，，
所以，其中负值舍去，
综上，，又，即，
所以，则，错误；
由，仅当时等号成立，
的面积，
而，所以，
所以的面积的最大值为，正确.
故选：.
【点睛】关键点点睛：,通过换元，构造，利用根的分布求P的横坐标、的取值范围.
三、填空题
13．已知向量，，若，则实数 ．
【答案】-1
【分析】根据向量的共线，可得向量坐标之间的比例关系，列式计算，即得答案.
【详解】由题意知向量，，，
故，
故答案为：-1
14．已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为 .
【答案】
【分析】把直线方程化为，令，求出，的值即可.
【详解】因为直线可化为，
令，解得，
所以直线过定点，
故答案为：.
15．如图，在平行六面体中，，，E为的中点，则点E到直线的距离为 ．
【答案】/
【分析】根据空间向量的运算求出以及，即可求得，进而求出，根据点E到直线的距离为，即可求得答案.
【详解】设，，
，
，则，
又，
则，
，
则，而，
，，
又E是的中点，故，
则点E到直线的距离为，
故答案为：
四、双空题
16．已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是 ，椭圆的离心率是 .
【答案】
【分析】不妨假设，根据图形可知，，再根据同角三角函数基本关系即可求出；再根据椭圆的定义求出，即可求得离心率．
【详解】
如图所示：不妨假设，设切点为，
，
所以, 由，所以，，
于是，即，所以．
故答案为：；．
五、解答题
17．圆的圆心为，且过点.
(1)求圆的标准方程；
(2)直线与圆交两点，且，求.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用两点间距离公式求出圆的半径，写出圆的标准方程；
（2）求出圆心到直线的距离，利用垂径定领列出方程，求出.
【详解】（1）设圆的半径为，则，
故圆的标准方程为：；
（2）设圆心到直线的距离为，
则，
由垂径定理得：，
即，解得：或.
18．已知直线l过点，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程：
(1)时，求直线l的方程．
(2)当的面积最小时，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据条件可知点是的三等分点，构造直角三角形，利用相似三角形比值关系即可求出A，B两点坐标，继而求出方程;
（2）利用截距式找出两截距关系，再根据代入三角形面积计算中即可找出面积的最小值，继而求出方程.
【详解】（1）作，则.
由三角形相似，，可求得，，
∴方程为，即；
（2）根据题意，设直线l的方程为，由题意，知，，
∵l过点，∴，解得，∴的面积，
化简，得.①
∴，解得或（舍去）.
∴S的最小值为4，
将代入①式，得，解得，
∴.∴直线l的方程为.
19．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，O为线段AC与BD的交点，平面ABCD，，于点E．
(1)证明：平面PAB；
(2)求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意推出是正三角形，进而说明E为PD的中点，证明，即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面PAB与平面PBC的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，
故点O为BD的中点，
平面ABCD，平面ABCD，故，则，
又，故，
，
则是正三角形，
又，则E为PD的中点，故，
而平面，平面，
故平面.
（2）由题意可知两两垂直，
故以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面PAB的一个法向量为，
则，令，
即；
设平面PBC一个法向量为，
则，令，则，
故，
故平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为.
20．己知椭圆离心率，设点M和N分别是椭圆上不同的两动点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线MN过点，且，线段MN的中点为P，求直线OP的斜率的取值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆离心率和b的值，求得，即可得答案.
（2）设直线MN的方程，联立椭圆方程，可得根与系数关系式，结合化简可得，利用点差法求出直线OP的斜率与直线MN的斜率的关系式，即可求得答案.
【详解】（1）因为，
故椭圆C的标准方程为；
（2）由题意可知直线MN的斜率存在且不为0，设其方程为，
联立，得，
由，得；
设，则，
则，
因为，所以，
即，
设直线OP的斜率为，
因为，两式相减得，即，
则，
故直线OP的斜率的取值范围为.
21．如图，菱形的边长为，，将沿向上翻折，得到如图所示得三棱锥.

(1)证明：；
(2)若，在线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，或
【分析】（1）取中点，利用等腰三角形三线合一性质，结合线面垂直的判定可得平面，由线面垂直性质可证得结论；
（2）利用余弦定理可求得，作，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，由面面角的向量求法可构造方程求得的值，由此可得结果.
【详解】（1）取中点，连接，

四边形为菱形，，，，，
，平面，平面，
平面，.
（2），，
，解得：；
，，；
在平面中，作，交于点，
则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

假设在线段上存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为，
，，，
又，，，
，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
轴平面，平面的一个法向量，
，解得：，
当时，；当时，；
当或时，平面与平面所成角的余弦值为.
22．在平面直角坐标系Oxy中，动圆P与圆内切，且与圆外切，记动圆P的圆心的轨迹为E．
(1)求轨迹E的方程；
(2)不过圆心且与x轴垂直的直线交轨迹E于A，M两个不同的点，连接交轨迹E于点B
（i）若直线MB交x轴于点N，证明：N为一个定点；
（ii）若过圆心的直线交轨迹E于D，G两个不同的点，且，求四边形ADBG面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设动圆P的半径为R，圆心为，根据题意列出，即可得，结合椭圆定义即可求得答案；
（2）（i）设直线AB的方程并联立椭圆方程，可得根与系数的关系，进而利用BM方程，求出N点坐标，结合根与系数关系式化简，可得结论；
（ii）求出弦长和，结合题意可求出四边形ADBG面积的表达式，利用基本不等式即可求得其最小值.
【详解】（1）设动圆P的半径为R，圆心为，
即，
，即，
而动圆P与圆内切，且与圆外切，
故，则，
故动圆P的圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，
设其方程为，则，
故轨迹E的方程为.
（2）（i）由题意知AB斜率存在，设其方程为，，
则，
由，得，
由于直线AB过椭圆焦点，则必有，则，
直线BM的方程为，
令，可得
，
即N为一个定点；
（ii）
，同理可得，
，则
，
当且仅当，即时等号成立，
即四边形ADBG的面积的最小值为.