2023-2024学年广西梧州市新高考教研联盟高二上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广西梧州市新高考教研联盟高二上学期期中考试数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出直线的斜率，进而求出其倾斜角即得.
【详解】直线的斜率，则该直线的倾斜角.
故选：A
2．准线方程为的抛物线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可设抛物线的标准方程为，从而可得，求解即可.
【详解】由抛物线的准线方程为，可知抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线，
设其方程为，则其准线方程为，得.
该抛物线的标准方程是.
故选：D.
3．已知双曲线，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的方程直接求出离心率即可.
【详解】由双曲线,可知该双曲线的离心率.
故选:C.
4．若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的诱导公式以及同角三角函数的平方式，结合正弦函数的二倍角公式，可得答案.
【详解】∵，，
∴，，
∴．
故选：C．
5．如图所示的直三棱柱容器中，，，把容器装满水（容器厚度忽略不计），将侧面BCFE平放在桌面上，放水过程中，当水面高度为AB的一半时，剩余水量与原来水量的比值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据柱体的体积公式求解即可.
【详解】如图所示：
分别为的中点，
所以，
因为柱体体积公式是底面积乘高，高没变，所以放出水量是原来水量的，
所以没有水的部分底面积变为原来的，剩余水量是原来水量的.
故选：B
6．如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（ ）

A．1B．2C．D．
【答案】C
【分析】连接CD，交PE于点G，连接FG，由线面平行性质证明，再利用重心性质求解即可.
【详解】如图，连接CD，交PE于点G，连接FG，

因为平面PEF，平面ADC，平面平面，所以，
因为点D，E分别为棱PB，BC的中点，所以G是的重心，所以.
故选：C.
7．已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（ ）
A．B．6
C．D．
【答案】D
【分析】配方，由半径的最小值得参数值，然后求出圆心到原点距离，再加半径可得.
【详解】根据题意，圆，
变形可得．
其圆心为，半径为，则，
当圆的面积最小时，必有，此时．
圆的方程为，
圆心到原点为距离，
则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为．
故选：D．
8．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则
A．4B．C．2D．3
【答案】A
【分析】设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长a2，焦距2c．结合椭圆与双曲线的定义,得， ,在△F1PF2中,根据余弦定理可得到与c的关系式,变形可得的值.
【详解】如图所示:
设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：
，，
∴，，
设，，则
在中由余弦定理得，，
∴化简得，该式可变成．
故选A．
【点睛】本题考查了椭圆及双曲线的定义和离心率，考查了余弦定理的应用;涉及圆锥曲线的离心率时,常通过结合圆锥曲线a,b,c的关系式和其他已知条件,转化只含有a,c的关系式求解.
二、多选题
9．已知直线：，则下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点B．直线与直线：一定平行
C．直线一定不与坐标轴垂直D．直线与直线：一定垂直
【答案】ABD
【分析】选项A. 将点代入直线可判断；选项B分斜率存在和不存在分别判断即可；选项C. 由时的情况可判断；选项D由两直线垂直的条件可判断.
【详解】选项A. 将点代入直线：得，
即点满足直线方程，所以直线过定点，故选项A正确.
选项B. 当时，直线：；直线：，直线
当时，斜率 且在轴上截距满足，故直线，所以选项B正确.
选项C. 当时，直线：与轴垂直，故C不正确.
选项D. 由，可得直线与垂直，故选项D正确.
故选：ABD
10．将曲线向左平移个单位长度，再将横坐标缩小为原来的倍，纵坐标不变得到曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．B．函数在上单调递增
C．函数的图象关于直线对称D．函数的图象关于点对称
【答案】AD
【分析】根据题意确定，然后根据的性质对应判断各个选项即可.
【详解】将曲线向左平移个单位长度，再将横坐标缩小为原来的倍，纵坐标不变得到曲线，所以，A正确；
由A可知，，则，
根据的性质，可得在上单调递减，B错误；
，则的图象不关于直线对称，C错误；
，则的图象关于点对称，D正确.
故选：AD.
11．已知曲线的方程为，则下列说法中正确的有（ ）
A．曲线关于轴对称B．曲线关于原点中心对称
C．若动点在曲线上，则的最大值为D．曲线与坐标轴交点围成四边形面积是2
【答案】BCD
【分析】对于：根据对称理解运算即可判断；对于：设，根据基本不等式求解即可判断；对于D，求得交点后即可判断.
【详解】对：曲线的上任一点关于原点的对称点为，
则，即在曲线上，
曲线关于原点中心对称，正确；
对：曲线的上任一点关于轴的对称点为，
则，即不在曲线上，
曲线不关于轴对称，错误；
对C：设，则，，
而，所以，
当且仅当或时，等号成立，即，C正确；
对D：由令，得，令，得，
则曲线与轴的交点为，与轴的交点为，
所以曲线与坐标轴交点围成四边形面积为，D正确.
故选：BCD．
12．如图，矩形中，为边的中点，将沿直线翻折成（点不落在底面内），若为线段的中点，则在翻转过程中，以下命题正确的是（ ）
A．四棱锥体积最大值为B．长度是定值
C．平面一定成立D．存在某个位置，使
【答案】ABC
【分析】对选项A，取的中点，连接，根据题意得到当平面平面时，到平面的距离最大，再计算四棱锥体积即可判断A正确；对选项B，取的中点，连接，，根据等角定理得到，再利用余弦定理即可判断B正确；对选项C，首先根据题意易证平面平面，再利用面面平行的性质即可判断C正确；对选项D，先假设存在，推出矛盾可判断错误.
【详解】对选项A，取的中点，连接，如图所示：
当平面平面时，到平面的距离最大.
因为，为中点，所以.
又因为平面平面，所以平面.
，所以.
所以四棱锥体积最大值为，
因为为线段的中点，所以，
四棱锥体积最大值为，故A正确；
对选项B，取的中点，连接，，如图所示：
因为分别为的中点，，
所以四边形为平行四边形，所以，，
所以，，，
所以，故B正确；
对选项C，因为，平面，平面，所以平面，
因为，平面，平面，所以平面，
又因为，平面，所以平面平面，
又因为平面，所以平面，故C正确.
对选项D，若，则四点共面，记所在平面为平面，
因为，则，又平面，
又因为平面，所以，
这与矛盾，所以不存在某个位置，使，D错误.
故选：ABC.
三、填空题
13．已知直线和圆相交于两点．若，则的值为 ．
【答案】5
【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，进而利用弦长公式，即可求得．
【详解】因为圆心到直线的距离，
由可得，解得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题．
14．已知抛物线，直线过抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，弦长为12，则直线的方程为 .
【答案】或
【分析】根据题意可得抛物线的焦点，设直线的方程为，,，,，联立直线与抛物线方程，消掉得关于的一元二次方程，利用韦达定理可得，由，解得，即可求解．
【详解】解：根据题意可得抛物线的焦点，
根据题意可得直线的斜率存在，
设直线的方程为，,，,，
联立，得，
所以，，
因为，
解得，，
则直线的方程为或．
故答案为：或．
15．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在鳖臑中，平面分别为棱，上一点，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据题意，求得，作出将沿着转动到四点共面的平面图形，利用两角和的正弦公式得，进而求解即可.
【详解】因为平面平面，所以，
又平面，所以平面，
平面，则.
因为平面平面，所以，
则，所以，
如图，将沿着转动到四点共面，
此时
过作于，则的最小值为
故答案为：.
16．已知点为椭圆上的任意一点，到焦点的距离最大值为，最小值为，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据点到椭圆焦点的距离的最大值为，最小值为，列出a，c的方程组，进而解出a，c，从而可得，再利用基本不等式即可求解.
【详解】因为点到椭圆焦点的距离的最大值为，最小值为，
所以，所以，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
17．已知直线经过两条直线和的交点.
(1)若直线与直线垂直，求直线的方程；
(2)若直线与直线平行，求直线的方程及此时直线与直线的距离.
【答案】(1)；
(2)，.
【分析】（1）求出两条直线的交点得，再利用直线垂直设的方程为，把代入方程即得.
（2）由直线平行设直线的方程为，把代入方程即得，再求出平行线间距离.
【详解】（1）由，解得，即直线和的交点为，
由直线与直线垂直，设直线的方程为，
把点代入方程得，解得，
所以直线的方程为.
（2）由直线平行于直线，设直线的方程为，
把点代入方程得，解得，
所以直线的方程为，直线与直线的距离.
18．已知双曲线.
(1)若，求双曲线的焦点坐标，顶点坐标和渐近线方程；
(2)若双曲线的离心率，求实数的取值范围.
【答案】(1)焦点坐标为，；顶点坐标为，；渐近线方程为
(2)
【分析】（1）代入，求出的值以及双曲线焦点的位置，即可得出答案；
（2）根据已知求出的值，得出，根据的取值范围，即可得出答案.
【详解】（1）由已知可得，双曲线的方程为，
所以，双曲线的焦点在轴上，且，，，
所以，，，，
所以，双曲线的焦点坐标为，；
顶点坐标为，；
渐近线方程为
（2）由已知可得，，，，
所以，，，，
，
因为，
所以有，即，
整理可得，，
解得.
19．已知函数.
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)设的内角的对边分别为，且为锐角，，求的周长.
【答案】(1)，增区间为
(2)
【分析】（1）应用二倍角公式、两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质可得最小正周期和增区间；
（2）根据求得，然后由正弦定理得到，然后利用余弦定理求得，进而可求周长.
【详解】（1）∵函数，
所以函数的最小正周期；
令，
解得，
所以函数的单调递增区间为；
（2）因为，所以，
因为，所以 ，
所以，即，
因为，根据正弦定理可得，
根据余弦定理可得，
解得，（舍去负值），
所以△ABC的周长.
20．如图，在四棱锥中，平面底面，，点为棱的中点.

(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点O，连接，推出，由平面底面，推出平面，建立空间直角坐标系，计算，从而得证；
（2）求得直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的向量公式即可求解.
【详解】（1）取中点O，连接，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
在平面内，过点作，则平面，
以A为原点，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，
，，
即，；
（2）因为，所以，
平面平面，平面平面，，平面，
平面，
所以平面的一个法向量为，
令直线与平面所成角为，
则，
又因为，所以.

21．已知点圆上运动，点.
(1)若，求点的轨迹的方程；
(2)过原点且不与轴重合的直线与曲线交于两点，是否为定值？若是定值，求出该值；否则，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)是定值，.
【分析】（1）设，，由可得与，与的关系，由点满足圆的方程即可求解；
（2）设直线的方程为，与的方程联立，结合韦达定理求出、，再计算，即可得出答案.
【详解】（1）设，，由，得，
则，于是，
而点在圆上，即，则，
整理得，所以点的轨迹的方程为.
（2）由直线过原点且不与轴重合，设直线的方程为，
由，消去并整理得，
依题意，是方程的两根，则，．
因此，所以是定值.
22．已知曲线上的点满足.
(1)化简曲线的方程；
(2)已知点，点，过点的直线（斜率存在）与椭圆交于不同的两点，直线与轴的交点分别为，证明：三点在同一圆上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知曲线方程，进行移项平方，化简的方法，即可得曲线的方程；
（2）设直线的方程，并联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，进而表示点的坐标，从而可得以为直径的圆的方程，并化简，求出该圆与x轴交点坐标，即可证明结论.
【详解】（1）由题意知曲线上的点满足，
则，
故，
即，故，
即，即化简曲线的方程为；
（2）证明：由题意知直线斜率存在，故设，联立，
得，

由于直线l过点，而点在椭圆内，故必有，
设，则，
直线AM的方程为，直线AN的方程为，
令，可得，
故以为直径的圆的方程为，
即，
而
，
即以为直径的圆的方程为，
令，则，
即在以为直径的圆上，故三点在同一圆上.
【点睛】难点点睛：本题考查了曲线方程的化简以及直线和椭圆的位置关系的应用，解答的难点在于证明三点，解答的思路时利用设直线方程并联立椭圆方程，表示相关点坐标，进而求出以为直径的圆的方程，从而求得该圆与x轴的交点，从而证明结论.