2023-2024学年河南省实验中学高二上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河南省实验中学高二上学期期中考试数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知直线：，则在轴上的截距为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【分析】根据给定的直线方程，利用纵截距的意义求解即得.
【详解】在方程中，令，得，
所以在轴上的截距为.
故选：D
2．已知点M（1，2，3），N（2，3，4），P（﹣1，2，3），若3，则Q的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣2，﹣5）B．（3，4，1）
C．（﹣4，﹣1，0）D．（2，5，6）
【答案】D
【分析】利用空间向量的坐标运算确定正确选项.
【详解】设为坐标原点，
.
故选：D
3．已知三点A(1,0)，B(0， )，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
选B.
【解析】圆心坐标
4．若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】，则，，则双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，
因此，双曲线的方程为.
故选：B
5．已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，，则的最大值为（ ）
A．B．6C．D．
【答案】A
【分析】根据焦点求得，利用椭圆的定义求得的最大值.
【详解】由于椭圆的焦点为，所以且焦点在轴上，则，
且，，所以椭圆方程为，
所以，设左焦点为，
根据椭圆的定义得，
当是的延长线与椭圆的交点时等号成立，
所以的最大值为.
故选：A

6．若，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令与共线，求出的值，依题意且与不反向共线，根据数量积的坐标表示得到不等式组求解即可.
【详解】因为，，
令与共线，则，即，即，解得，
此时，，即，与反向，
又与的夹角为钝角，
所以且与不反向共线，
即且，
解得且，
故选：C
7．双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案.
【详解】如图，

因为，不妨设渐近线方程为，即，
所以，
所以.
设,则，所以，所以.
因为,所以，所以，所以，
所以，
因为，
所以，
所以，解得，
所以双曲线的方程为
故选：D
8．已知，直线，为直线上的动点，过点作的切线，切点为，当四边形的面积取最小值时，直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】将面积化为，即可得点C到直线的距离即为最小，由此求出M坐标，由四点共圆，求出该圆方程，和圆C方程相减可得直线AB方程.
【详解】将化为标准方程为，
故圆心，半径为2，
可得，则，
，
为直线上的动点，则可得，
此时取得最小值为2，此时，
，则直线方程为，即，
联立MC和l可得，
可得四点共圆，且圆心为MC中点，半径为，
则该圆方程为，
将两圆联立相减可得直线AB方程为.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题考查过圆外一点作圆的切线问题，解题的关键是得出当，面积最大，求出点M坐标，且共圆，求出该圆方程，即可求出公共弦AB方程.
二、多选题
9．已知椭圆，，分别为它的左右焦点，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．短轴长是3B．的周长为15
C．离心率D．若，则的面积为9
【答案】CD
【分析】根据短轴长的定义可判断A；利用椭圆的定义可判断B；根据离心率来判断C；利用勾股定理以及椭圆的定义求出可判断D.
【详解】A，由，可得，，所以椭圆的短轴长为，故A不正确；
B，的周长为，故B不正确.
C，离心率，故C正确；
D，，，
又因为，所以，
即，解得,
所以，故D正确.
故选：CD
10．给出下列命题正确的是（ ）
A．直线的方向向量为，平面的法向量为，则与平行
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．点到直线的最大距离为
D．已知三点不共线，对于空间任意一点O，若，则四点共面
【答案】BCD
【分析】根据线面平行、倾斜角、点到直线的距离、四点共面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，所以与不平行，所以A选项错误.
B选项，直线的斜率为，
所以倾斜角的取值范围是，所以B选项正确.
C选项，直线可化为，
由解得，所以直线过定点，
所以点到直线的最大距离是与的距离，
即最大距离为，所以C选项正确.
D选项，由于，其中，
所以四点共面，所以D选项正确.
故选：BCD
11．已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
【答案】ACD
【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【详解】圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是.
12．如图，若正方体的棱长为2，点是正方体的底面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则下列结论正确的是（ ）

A．若保持，则点在底面内运动路径的长度为
B．三棱锥体积的最大值为
C．若，则二面角的余弦值的最大值为
D．若则与所成角的余弦值的最大值为
【答案】ABD
【分析】根据题意可知，A选项中点的轨迹是以为圆心，半径为的圆的四分之一，即可得轨迹长度为，判断出A正确；建立空间直角坐标系，由的面积为定值可知到平面的距离最大时，三棱锥体积的最大值为，可得B正确；对于C、D选项，当时可得点在上，设出点坐标并利用空间向量可求得二面角的余弦值的最大值为，可判断C错误，与所成角的余弦值的最大值为，可得D正确.
【详解】对于A，根据题意可知平面，所以为直角三角形，即，且
若保持，可知，
所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆在底面内的部分，即为四分之一圆，
因此点在底面内的运动路径长度为，即A正确；
对于B，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

易知，则，
设平面的一个法向量为，
可得，令，可得，即；
可设，则，
所以到平面的距离为，易知当时，距离最大值为；
又在中，易知，所以边上的高为；
其面积为定值，即；
所以到平面的距离最大时，三棱锥体积的最大为，即B正确；
对于C，根据正方体性质可知平面，又是棱的中点，，
所以可得点在平面，又点在底面内，平面平面，所以；
根据B中的坐标系可知，所以可得，；
则，
设平面的一个法向量为，可得，
令，则，即；
易知平面的一个法向量为，
所以，
易知当时，，
当时，，令，
可得在上恒成立，即在上单调递增；
此时时，最大，
当，，易知在上单调递减，
所以时，取得最小值，
又由图可知，当时，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值的最大值为，即C错误；
对于D，根据选项C易知，
可得，
当时，,
当时，，易知当时，取到最大值为，
综上可知，与所成角的余弦值的最大值为，即D正确；
故选：ABD
【点睛】方法点睛：在求解立体几何中动点问题时，往往根据其几何位置关系找到变量之间的数量关系式，结合变量与定值之间的关系利用函数单调性或基本不等式求得最值.
三、填空题
13．已知直线，，若，则实数 ．
【答案】
【分析】根据两直线平行的充要条件得到方程，解得即可.
【详解】因为直线，，且,
所以，解得或，
当直线，，两直线重合，故舍去.
故答案为：
14．己知，则点到平面的距离为 ．
【答案】/
【分析】利用向量法求点到面的距离即可.
【详解】设平面的法向量，点O到平面ABC的距离为，
因为，，，
所以，
令，可得，故，
则，
故答案为：
15．在平面直角坐标系中，点是圆上的两个动点，且满足，记中点为，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题可利用中点去研究，根据得到点的轨迹，由图形的几何特征,求出模的最值，得到本题答案.
【详解】
∵圆，
∴，圆心，半径，
∵点在圆上，，
∴，
即，点在以为圆心，半径的圆上.
∴·
∴，即的最小值为.
故答案为：.
16．设是椭圆的上顶点，若上的任意一点P都满足，则的离心率的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设，根据得到，确定，得到离心率范围.
【详解】设，，，则，即，
故，即，
，故，，解得，
，离心率的取值范围为，
故答案为：.
四、解答题
17．已知的顶点，边上的高所在的直线方程为．
(1)求直线的方程；
(2)若边上的中线所在的直线方程为，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，得到直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解；
（2）根据题意，求得，设点，求得，再求得点，进而求得的斜率，进而求得直线的方程．
【详解】（1）解：因为边上的高所在的直线方程为，可得斜率为，
可得直线的斜率，又因为的顶点，
所以直线的方程为，即；
所以直线的方程为.
（2）解：直线边上的中线所在的直线方程为，
由方程组，解得，所以点，
设点，则的中点在直线上，所以，即，
又点在直线上，，解得，所以，
所以的斜率，所以直线的方程为，
即直线的方程为．
18．如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1， 圆心在上.
（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程；
（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.
【答案】（1）或；（2）.
【分析】（1）两直线方程联立可解得圆心坐标，又知圆的半径为，可得圆的方程，根据点到直线距离公式，列方程可求得直线斜率，进而得切线方程；（2）根据圆的圆心在直线：上可设圆的方程为，由，可得的轨迹方程为，若圆上存在点，使，只需两圆有公共点即可.
【详解】（1）由得圆心，
∵圆的半径为1，
∴圆的方程为：，
显然切线的斜率一定存在，设所求圆的切线方程为，即．
∴，
∴，∴或．
∴所求圆的切线方程为或．
（2）∵圆的圆心在直线：上，所以，设圆心为，
则圆的方程为．
又∵，
∴设为，则，整理得，设为圆．
所以点应该既在圆上又在圆上，即圆和圆有交点，
∴，
由，得，
由，得．
综上所述，的取值范围为．
【解析】1、圆的标准方程及切线的方程；2、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.
【方法点睛】本题主要考查圆的标准方程及切线的方程、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.属于难题.转化与划归思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题（2）巧妙地将圆上存在点，使问题转化为，两圆有公共点问题是解决问题的关键所在.
19．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（轴、轴､轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作．

(1)若，，求的斜60°坐标；
(2)在平行六面体中，，，N为线段D1C1的中点．如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”．
①求的斜60°坐标；
②若，求与夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】对于小问（1），因为，，可以通过“空间斜60°坐标系”的定义，化简为，，再计算的斜60°坐标.
对于小问（2），设，，分别为与，，同方向的单位向量，则，，，①中，通过平行六面体得到，从而得到的斜60°坐标；
②中，因为，所以，结合①中的的斜60°坐标，并通过，计算与夹角的余弦值.
【详解】（1）由，，
知，，
所以，所以；
（2）设，，分别为与，，同方向的单位向量，
则，，，
①，
.
②因为，所以，
则，
∵， .
∴，
，
所以与的夹角的余弦值为
20．给出双曲线.
（1）求以为中点的弦所在的直线方程；
（2）若过点的直线l与所给双曲线交于，两点，求线段的中点P的轨迹方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设是弦的中点，且，，利用点差法能求出以为中点的双曲线的弦所在的直线方程．
（2）设，，，则，，两式相减，利用是中点及斜率相等可求得轨迹方程，从而得到其轨迹．
【详解】（1）设弦的两端点为，，则，
两式相减得到，又，，
所以直线斜率.
以为中点的双曲线的弦所在的直线方程为：，整理得．
故求得直线方程为.
（2）设，，，按照（1）的解法可得，①
由于，，P，A四点共线，得，②
由①②可得，整理得，检验当时，，也满足方程，故的中点P的轨迹方程是.
【点睛】本题考查点差法求中点弦的计算，动点的轨迹问题，属于中档题.
五、证明题
21．如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．
(1)证明：；
(2)点F满足，求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）根据题意易证平面，从而证得；
（2）由题可证平面，所以以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，再求出平面的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出．
【详解】（1）连接，因为E为BC中点，，所以①，
因为，，所以与均为等边三角形，
，从而②，由①②，，平面，
所以，平面，而平面，所以．
（2）不妨设，，．
，，又，平面平面．
以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

设，
设平面与平面的一个法向量分别为，
二面角平面角为,而，
因为，所以，即有，
，取，所以；
，取，所以，
所以，，从而．
所以二面角的正弦值为．
六、解答题
22．已知椭圆的离心率为，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于点，两点，证明：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据椭圆离心率和顶点坐标计算得到答案.
（2）确定，设出点坐标，联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，确定，，计算得到答案.
【详解】（1）根据题意，解得，故椭圆的方程为；
（2）要使过点的直线交于点，两点，则的斜率存在且大于0，
设，即，，，，
联立，得．
且时，（时，或不存在），，
，，
计算得，，
，
故为定值．
【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆的标准方程，椭圆中的定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系，可以简化运算，是解题的关键.