2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市第九中学校高二上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市第九中学校高二上学期期中考试数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，由空间向量的运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，.
故选：B
2．已知直线：和：平行，则实数（ ）
A．B．2C．或D．1
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出两直线不相交时的值，再验证即可得解.
【详解】当，不相交时，
解得或，
当时，，，即，此时两直线重合，不符合题意，
当时，，，两直线平行，符合题意．
故选：B
3．若点在圆：的外部，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可知点与圆心的距离大于圆的半径，由此可以列出与有关的不等式，从而解不等式即可求解.
【详解】一方面：将圆：化为标准方程可得，
首先有圆心，其次圆的半径满足，解得，
另一方面：又因为点在圆：的外部，
所以，即，解得；
综上所述：的取值范围为.
故选：A.
4．已知点P是圆上的动点，作轴于点H，则线段PH的中点M的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设出中点，利用几何关系建立与点P坐标的关系，代入圆方程即可整理出轨迹方程.
【详解】如下图所示：

不妨设，则满足；
易知，
又线段的中点为，可得；
即，代入方程可得，
整理得.
故选：D
5．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（ ）．
A．3B．C．D．
【答案】D
【分析】把目标式进行转化，看作动点到两个定点距离和的最值，利用对称性可得答案.
【详解】,
可以看作点到点的距离之和，
作点关于轴的对称点，显然当三点共线时，取到最小值，
最小值为间的距离.
故选：D.
6．在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用勾股定理的逆定理及直棱柱的定义，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标及直线与的方向向量，利用向量的夹角公式，结合向量夹角与线线角的关系即可求解.
【详解】因为
所以，
所以,
又因为侧棱与底面垂直，
所以以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示

易得，
所以,
设异面直线与所成角为，则
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：C.
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的动点，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据椭圆定义得，再利用基本不等式求解最值即可.
【详解】因为点P是椭圆上的动点，，，所以，
所以，
当且仅当即时，等号成立.
故选：A.
8．双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左､右焦点分别为，从发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，则E的离心率为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合题意作出图形，然后结合双曲线的定义表示出，进而利用勾股定理可得的关系，从而可求出结果.
【详解】由题意知延长则必过点,如图：

由双曲线的定义知，
又因为，所以，
因为，所以，
设，则，因此，
从而由得，所以，
则，，，
又因为，所以，
即，即，
故选：B.
二、多选题
9．已知点到直线的距离为1，则的值可以是（ ）
A．5B．10C．D．15
【答案】AD
【分析】利用点线距离公式列方程求参数即可.
【详解】由点线距离公式有或.
故选：AD
10．已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线C是椭圆
B．当或时，曲线C是双曲线
C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则
D．若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则
【答案】BC
【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线方程的特征逐项判断作答.
【详解】对于A，当时，，则曲线是圆，A错误；
对于B，当或时，，曲线是双曲线，B正确；
对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，C正确；
对于D，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，D错误．
故选：BC.
11．已知圆：，圆：，则（ ）
A．两圆外切
B．直线是两圆的一条公切线
C．直线被圆截得的最短弦长为
D．过点作圆的切线仅有一条
【答案】ABC
【分析】由两圆的位置关系可判断A；由直线与圆的位置关系可判断B，C，D.
【详解】对于A，已知圆：，圆：，
则，，
，所以两圆外切，故A正确；
对于B，圆心到直线的距离为，
圆心到直线的距离为，故直线是两圆的一条公切线，故B正确；
对于C，直线恒过定点，
圆心到直线的最大距离为，
所以直线被圆截得的最短弦长为，故C正确；
对于D，因为，所以点在圆外，
故过点作圆的切线有两条，D错误.
故选：ABC.
12．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根据给定图形，由轨道Ⅰ和Ⅱ的相同值判断A；由，结合不等式性质判断B；
由变形推理判断C，D作答.
【详解】观察给定图形，由及得，A正确；
由，得，B不正确；
因，即，有，得，
令，，即有，由给定轨道图知，，
因此，，D正确；而，C不正确.
故选：AD
三、填空题
13．若向量，则 ．
【答案】
【分析】计算，再计算模长得到答案.
【详解】，则，
故.
故答案为：.
14．若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆的方程为 ．
【答案】或
【分析】由题意可得所求的圆的方程为 ，，再把点代入，求得的值，得出答案.
【详解】由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为，，则半径为.
故圆的方程为，再将点代入，得，求得或1
故要求的圆的方程为或．
故答案为：或．
15．P点在椭圆上，B(0，3)，则BP长的最大值为 .
【答案】
【分析】根据两点间距离公式，结合椭圆的范围，即可求解.
【详解】设，，
，
当时，的最大值是.
故答案为：
16．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为 ．
【答案】6
【分析】由于线段的垂直平分线过，所以有，再根据双曲线和椭圆的定义，求出的表达式，然后利用基本不等式来求得最小值.
【详解】设椭圆对应的参数为，双曲线对应的参数为，由于线段的垂直平分线过，所以有.根据双曲线和椭圆的定义有，两式相减得到，即.所以，即最小值为.
【点睛】本小题考查双曲线的定义和几何性质，考查椭圆的定义和几何性质，是一个综合性较强的题目.由于椭圆和双曲线有公共的焦点，所以焦距相同，也就是有相同.对于两个曲线的公共交点来说，即满足椭圆的定义，又满足双曲线的定义，根据定义可列出方程.再利用基本不等式可求得最小值.
四、解答题
17．已知直线经过点．
(1)若与直线：垂直，求的方程；
(2)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据两直线垂直得到的斜率，进而利用点斜式求出直线方程；
（2）考虑截距为0和不为0两种情况，设出直线方程，待定系数法求出直线方程.
【详解】（1）由题可知，的斜率为，
设的斜率为，因为，所以，则，
又经过点，所以的方程为，即；
（2）若在两坐标轴上的截距为0，即经过原点，设的方程为，
将代入解析式得，解得，
故的方程为，
若在两坐标轴上的截距不为0，则设的方程为，
由，得，
故的方程为，
综上，的方程为或.
18．圆：内有一点，过的直线交圆于，两点.
(1)当为弦中点时，求直线的方程；
(2)若圆与圆：相交于，两点，求的长度.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由垂径定理得⊥，根据得到，从而求出直线的方程；
（2）先求出公共弦方程，即直线的方程为，由点到直线距离公式和垂径定理求出答案.
【详解】（1）因为为弦中点，由垂径定理得⊥，
因为，所以，
故直线的方程为，即；
（2）与相减得，，
即直线的方程为，
圆心到直线的距离为，
由垂径定理得的长度为.
19．如图所示，四棱锥的底面为正方形，顶点P在底面上的射影为正方形的中心为侧棱的中点．

(1)求证：平面；
(2)若，四棱锥的体积为，求与平面所成角．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
【分析】（1）利用三角形中位线结合线面平行的判定定理进行证明；
（2）构建空间直角坐标系，然后利用法向量求解与平面所成角．
【详解】（1）
连接，因为底面是正方形，且顶点P在底面上的射影为正方形的中心，
所以，
又因为点是中点，
所以由三角形中位线定理可得；
因为平面，平面，
所以平面；
（2），
解得：
以故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

由已知可得
，
设平面的一个法向量是.
由，得，
令，则，
所以与平面所成角的正弦值为，
所以与平面所成角为.
20．已知椭圆的一个焦点为，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)不过原点的直线与椭圆C交于两点，求面积的最大值及此时直线的方程.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）由焦点和离心率即可求出，从而可得椭圆方程；
（2）设出直线的方程，联立椭圆方程，由点直线的距离公式，结合韦达定理，把面积表示为的函数，再利用基本不等式即可求出结果.
【详解】（1）由已知得，又离心率，得到，，
所以椭圆的方程为.
（2）设，
联立，消得，
，得到，
由韦达定理得，，
又因为，
又原点到直线的距离为，
所以，
当且仅当，即，满足，
所以，面积的最大值为，此时直线的方程为.
21．已知，直线相交于点M，且它们的斜率之积是3.
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)过点能否作一条直线m与轨迹C交于两点P，Q，且点N是线段的中点？若能，求出直线m的方程；若不能，说明理由．
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）利用两点连线斜率公式整理可得到结果；
（2）利用点差法可求得直线m的斜率，得直线m的方程，与C的方程联立可知，由此可知直线m不存在．
【详解】（1）设，
∵，，
∴，整理得
即点M的轨迹C的方程．
（2）若能作出直线m，则直线m的斜率存在，设为k，设
则，两式相减得
整理可
∵N是线段的中点，即，
故直线m的方程为，即，
将直线方程代入双曲线方程可得
，此时直线与双曲线不相交．
故不能作出这样的直线m．
22．已知椭圆的焦距为2，且经过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)经过椭圆右焦点F且斜率为的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；点
【分析】（1）根据题意，得到，再由椭圆经过点，联立方程组，求得，即可求解.
（2）设直线l的方程为，联立方程组，得到，设点坐标为，由，得到，得到，得到，列出方程，求得，即可求解．
【详解】（1）解：由椭圆的焦距为2，故，则，
又由椭圆经过点，代入得，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）解：根据题意，直线l的斜率显然不为零，令，
由椭圆右焦点，故可设直线l的方程为，
联立方程组，整理得，
则，
设，，且，
设存在点，设点坐标为，由，可得，
又因为，
所以，所以，
所以直线和关于轴对称，其倾斜角互补，即有，
则，所以，
所以，整理得，
即，即，
解得，符合题意，即存在点满足题意．
【点睛】方法技巧：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：
1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；
2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.