2023-2024学年江苏省泰州市联盟五校高二上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省泰州市联盟五校高二上学期期中考试数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据抛物线的标准方程求解.
【详解】由抛物线得：焦点在x轴上，开口向右，p=2，
所以其准线方程为，
故选：B
【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，属于基础题.
2．已知，，若，则实数（ ）
A．0或1B．C．1D．0或
【答案】C
【分析】用两直线垂直的充要条件得解.
【详解】因为，所以，或，
又当时，不存在故舍，所以.
故选：C.
3．设为实数，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用已知条件，分析椭圆的简单性质，列出不等式，求解即可.
【详解】表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得.
故选：D
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝6，S4＝12，则S7＝（ ）
A．30B．36C．42D．48
【答案】C
【分析】由题目条件及等差数列前n项和公式列出方程，可得答案.
【详解】设{an}首项为，公差为d.因S3＝6，S4＝12，
则.则.
故选：C
5．已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
【答案】B
【分析】当直线和圆心与点的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.
【详解】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，
设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时
根据弦长公式得最小值为.
故选：B.
【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.
6．设等差数列，的前项和分别为，，都有，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用等差数列的性质与前项和公式即可得解.
【详解】因为，
所以.
故选：B.
7．已知椭圆与双曲线共焦点，双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的定义可得，然后由条件可得的关系，再由离心率的计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】
不妨设双曲线的标准方程为，则双曲线的实半轴长为，
由双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，可得椭圆的长半轴为，
半焦距为，设椭圆与双曲线的公共焦点为，
且分别为双曲线的左右焦点，
设椭圆与双曲线在第一象限的交点为，第三象限的交点为，
，则，可得，
且两曲线的交点与两焦点共圆，则在以为直径的圆上，
所以，即，所以，
则双曲线的离心率为.
故选：D
8．在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使MA＝2MO，则圆心C的横坐标a的取值范围是（ ）
A．B．[0,1]
C．D．
【答案】A
【解析】设，圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1，设点M(x，y)，根据MA＝2MO，可得点的轨迹是圆：x2＋(y＋1)2＝4，根据两圆有公共点列式可解得结果.
【详解】设，因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1，
设点M(x，y)，因为MA＝2MO，所以，
化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，
所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上，
由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，
则|2－1|≤|CD|≤2＋1，即，
由得5a2－12a＋8≥0，解得a∈R；
由≤3得5a2－12a≤0，解得0≤a≤，
所以点C的横坐标a的取值范围为.
故选：A.
【点睛】本题考查了求满足条件的动点的轨迹方程，考查了圆与圆的位置关系，考查了解一元二次不等式，属于中档题.
二、多选题
9．已知双曲线，则（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的虚轴长为
C．双曲线的焦点坐标为
D．双曲线的渐近线方程为
【答案】AC
【分析】根据双曲线的方程，求得，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由双曲线，可得 ，则，
对于A中，双曲线的离心率为，所以A正确；
对于B中，双曲线的虚轴长为，所以B不正确；
对于C中，双曲线的焦点坐标为，所以C正确；
对于D中，双曲线的渐近线方程为，所以D不正确.
故选：AC.
10．已知直线：，则（ ）
A．直线的倾斜角为
B．直线与两坐标轴围成的三角形面积为
C．点到直线的距离为2
D．直线关于轴对称的直线方程为
【答案】ACD
【分析】由斜率与倾斜角的关系可判断A；求出直线与坐标轴的截距可判断B；由点到直线的距离公式可判断C；由点关于轴对称的特征，代入求解可判断D
【详解】对于A：因为直线：的斜率为，
所以直线的倾斜角为，故A正确；
对于B：令，则；令，则；
所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为，故B错误；
对于C：点到直线的距离为，故C正确；
对于D：设在直线关于轴对称的直线上，
则关于轴对称的点在直线上，
则有，即，
所以直线关于轴对称的直线方程为，故D正确；
故选：ACD
11．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且，则下列命题正确的是（ ）
A．B．该数列的公差d<0
C．a7=0D．S12>0
【答案】BCD
【分析】由题意可得，从而得出等差数列中前6项为正，从第8项起均为负，结合等差数列的性质和前项和的公式对选项进行判断即可.
【详解】由可得，， 可得
可得，所以等差数列的公差，故选项B正确.
所以为正，，从第8项起均为负. 故选项C正确.
所以，故选项A不正确.
,故选项D正确.
故选：BCD
12．已知圆M： ，以下四个命题表述正确的是（ ）
A．若圆与圆M恰有一条公切线，则m=-8
B．圆与圆M的公共弦所在直线为
C．直线与圆M恒有两个公共点
D．点P为x轴上一个动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与MP交于点C，若Q，则CQ的最大值为
【答案】BCD
【分析】A选项，两圆内切，根据圆心距等于半径之差的绝对值，列出方程，求出；
B选项，两圆相减即为两圆公共弦所在直线方程；
C选项，求出直线所过定点坐标，得到定点在圆内，故直线与圆M恒有两个公共点；
D选项，由题意得到四点共圆，且为直径，从而求出该圆的方程，与相减后得到直线的方程，进而求出直线MP的方程，联立求出点坐标，消参后得到点的轨迹方程为圆，从而求出CQ的最大值.
【详解】由题意得：与内切，
其中圆心为，半径为，
则，解得：，A错误；
与相减得：，且两圆相交，
故圆与圆M的公共弦所在直线为，B正确；
变形为，
令，解得：，
所以直线恒过点，
由于，点在圆M内，
故与圆M恒有两个公共点，C正确；
设，，由题意可知：四点共圆，且为直径，
故圆心为，半径为，
所以此圆的方程为，
整理得，
与相减得：，
即为直线AB的方程，
直线MP的方程为，整理得，
联立与，得到，
故，
由，解得：，
将代入中，得，故，
代入中，得到，
轨迹为以为圆心，为半径的圆（不含点M），
所以CQ的最大值为，即，D正确.
故选：BCD
【点睛】求轨迹方程常用的方法：直接法，相关点法，交轨法，定义法，本题的难点在于求出点C的坐标后下一步的处理方法，本题中用到了求轨迹方程的交轨法，属于较难一些的方法，要结合交点横纵坐标的特点，整理得到，再代入其中一个式子中，即可求解.
三、填空题
13．过点，且平行于直线的直线方程为 ．
【答案】
【分析】设直线方程为，代入所过点的坐标求得参数值即得．
【详解】由题意设直线方程为，直线过点，则，，
所以直线方程为．
故答案为：．
14．已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【分析】代入，得出.根据求出的表达式，代入检验，即可得出答案.
【详解】当时，.
当时，.
因为，
所以，.
故答案为：.
15．设，为实数，已知经过点的椭圆与双曲线有相同的焦距，则 ．
【答案】
【分析】根据点在椭圆上先求出椭圆方程及焦距，再由双曲线的概念计算即可.
【详解】将点坐标代入椭圆方程得，即椭圆的焦距为，
因为表示双曲线，则或，
当时，双曲线的焦距为；
当时，双曲线的焦距为；
综上所述：.
故答案为：
16．若曲线：与曲线：有四个不同的交点，则实数的取值范围是
【答案】
【分析】等价于或，当时， 与圆有两个不同的交点，要使两曲线有四个不同的交点，只需与圆有两个不同的交点，利用判别式大于零，列不等式求解即可.
【详解】由，得，
则曲线表示圆心为，半径为1的圆，
因为，所以或，
当时，显然与圆有两个不同的交点，
当时，表示直线，则两曲线只有两个交点，不合题意，所以，
因为直线恒过点，
所以要使两曲线有四个不同的交点，只需与圆有两个不同的交点，且，
由方程组消去，
得关于的一元二次方程，
再令，化简得，
解得，
因为，
所以，
故答案为：.
四、解答题
17．已知椭圆的焦点为，该椭圆经过点P（5,2）
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆上的点满足，求y0的值.
【答案】（1）（2）
【详解】试题分析：（1）根据椭圆定义得a，再根据c求b（2）由得,再与椭圆方程联立解得y0的值.
试题解析：（1）依题意，设所求椭圆方程为
其半焦距c=6.
因为点P（5,2）在椭圆上，
所以
所以
故所求椭圆的标准方程是
（2）由得

即代入椭圆方程得：
故
五、证明题
18．设是等差数列的前项和，
(1)证明：数列是等差数列；
(2)当 ， 时，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由等差数列的定义证明即可；
（2）由已知条件求出和，然后求的前项和即可.
【详解】（1）证明：设等差数列的公差为，
，
，
为常数.
所以数列是等差数列 .
（2），
，
，
，
.
六、解答题
19．已知两直线，
(1)求直线和的交点的坐标；
(2)若过点作圆的切线有两条，求的取值范围；
(3)若直线与，不能构成三角形，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）联立直线方程，解方程组，即得答案；
（2）根据点在圆外可得不等式，即求得答案；
（3）讨论直线与，不能构成三角形的情况即为或或过点P，由此可求得a的值.
【详解】（1）联立方程组，
即直线和的交点的坐标；
（2）由题意知点在圆外，，；
（3）若直线与，不能构成三角形，
则或或过点P，
当时，则，满足题意；
当时，，满足题意；
当过点P时，，
故实数的值为.
20．已知圆的圆心在直线上，且圆过点.
(1)求圆的标准方程；
(2)过点的直线与圆相交于A，两点，当时，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）由圆过点，可得圆心在这两点连线中垂线上，结合圆心在直线上可得圆心坐标与圆的半径；
（2）由结合垂径定理可得直线到圆心距离.注意到直线的斜率不存在时，满足题意；当直线的斜率存在时， 设过点的直线为：，后由点到直线距离公式可得k.
【详解】（1）点中点坐标为：，两点连线斜率为.
则两点连线中垂线斜率为，故这两点中垂线方程为：.
将中垂线方程与联立，，
即圆心坐标为，则半径，
故圆的标准方程为：.
（2）设直线到圆心距离为d，由垂径定理，.则.
当直线斜率不存在时，方程为，到圆心距离为2，满足题意；
当直线斜率存在时，设，由其到圆心距离为2，结合点到直线距离公式，可得.
则此时，直线方程为.
故直线方程为：或
21．在平面直角坐标系中，圆的方程，设直线的方程为
(1)若过点的直线与圆相切，求切线的方程；
(2)已知直线l与圆C相交于A，B两点．若是的中点，求直线l的方程；
(3)当时，点在直线上，过作圆的切线，切点为，问经过的圆是否过定点？如果过定点，求出所有定点的坐标.
【答案】(1)或
(2)
(3)恒过定点，，
【分析】（1）讨论切线斜率是否存在，存在时，设出切线方程，利用圆心到直线距离等于半径，即可求得斜率，可得答案；
（2）设，可得B点坐标，代入圆的方程，求得A点坐标，即可得答案；
（3）由题意可表示出经过的圆，分离参数，结合解方程组，即可求得答案.
【详解】（1）当直线l斜率不存在时，直线方程为，符合题意；
当直线l斜率存在时，设为，即，
由于直线l与圆相切，故圆心到直线的距离为，
，即，
，则直线l的方程为，
综上，符合条件的直线有2条，分别为或.
（2）设，则，
，解得或 ，
即或
即的斜率，
则直线l的方程为.
（3）当时，，设，
由于过作圆的切线，切点为，故,
过P，M，C的圆即为以CP为直径的圆，其方程为：，
即
由于，故令，解得或，
故经过的圆恒过定点，.
七、证明题
22．在平面直角坐标系xOy中，已知动点M到点的距离是到直线的距离的．
(1)求点M的轨迹方程；
(2)设，直线与M的轨迹方程相交于两点，若直线与M的轨迹方程交于另一个点，证明：直线过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设点，根据题意，由化简求解；
（2）设直线的方程为，，，，与双曲线方程联立，表示直线的方程为，令，结合韦达定理求解.
【详解】（1）设点，由题意得：
，
化简得：
所以点M的轨迹方程是；
（2）由题意；直线的斜率不为零，设直线的方程为，，，，
联立，消去整理得，
则，，解得，
，
直线的方程为，
令，得，
，
，
所以直线过定点