2023-2024学年江苏省响水县清源高级中学高二上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省响水县清源高级中学高二上学期期中考试数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据倾斜角和斜率的关系即可求得倾斜角.
【详解】由已知，故，设直线倾斜角为
所以 ，又因为
所以
故选：D
2．抛物线的焦点到原点的距离为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】根据抛物线方程得出焦点坐标后即可得．
【详解】由题意，，所以焦点为，其到原点距离为．
故选：B．
3．已知函数（是的导函数），则（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】A
【分析】先对函数求导，代入，求出的值，进而求解的值即可.
【详解】因为
所以定义域为.
所以
当时，，，则
故选：A
4．已知数列中，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意代入计算可得数列是周期为3的周期数列，即可得.
【详解】根据并利用可得，
，
，，…
所以可得数列是周期为3的周期数列，
即.
故选：D
5．若双曲线（，）的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的渐近线、离心率公式以及两直线的垂直与斜率的关系求解.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
直线的斜率为，
所以由题可知，，
所以双曲线的离心率为，
故选:C.
6．已知数列与数列，其中.它们的公共项由小到大组成新的数列，则的前项的和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先确定公共项为为等差数列，求出首项和公差后即可求和.
【详解】明显数列和数列均为等差数列
令，可得，
则，
则数列为等差数列，且，公差为，
所以的前项的和为.
故选：C.
7．已知，，动点满足，则点的轨迹与圆相交的弦长等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，根据题设整理可得点P的轨迹方程为圆，由两圆方程消去二次项可得公共弦所在直线方程，然后由点到直线的距离公式和圆的弦长公式可得.
【详解】设，则，
整理得，
联立消去二次项得公共弦所在直线方程，
圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为1，
所以公共弦长为.
故选：A
8．已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上，若离心率，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可知，结合椭圆的定义解得，再由求解.
【详解】因为，所以，
由椭圆的定义得：，解得，
因为，所以，
两边同除以a得，解得 ，
因为 ，所以，
所以该离心率的取值范围是
故选：D.
二、多选题
9．已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（ ）
A．数列为递减数列B．
C．的最大值为D．
【答案】AC
【分析】根据等差数列的性质得出，从而可判断数列的单调性，再结合等差数列的前项和公式判断各选项．
【详解】是等差数列，则，又，∴，
所以，是递减数列，
从而中最大，，
故选：AC．
10．已知圆，直线．则（ ）
A．直线恒过定点
B．直线与圆有两个交点
C．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于1
D．若，则圆与圆恰有三条公切线
【答案】BD
【分析】直线方程整理成关于的方程，由恒等式知识可得定点坐标，判断A，由定点在圆得直线与圆位置关系，判断B，求出圆心到直线的距离得距离为1的平行直线与圆的位置关系判断C，由圆心距离判断两圆位置关系后判断D．
【详解】直线的方程整理为，
由得，所以直线过定点，A错；
又，即定点在圆内，因此直线与圆相交，有两个交点，B正确；
时直线方程为，圆心到直线的距离为，圆半径为2，，
因此与直线平行且距离为1的两条直线只有一条与圆相交，另一条与圆相离，
因此只有2个点到直线的距离等于1，C错；
时，圆的标准方程为，圆心为，半径为3，
两圆圆心距为，两圆外切，因此它们有三条公切线，D正确，
故选：BD．
11．在直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点的倾斜角为的直线与相交于，两点，且点在第一象限，的面积是，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】联立直线与抛物线方程，利用根与系数的关系和焦半径公式求出弦长，由点到直线的距离公式结合的面积求解，从而利用焦半径公式求解，逐项判断即可.
【详解】抛物线的焦点为，准线为，
设过焦点的直线方程为设直线：，，，
联立直线与抛物线方程得消元得，
由韦达定理可得，，所以，
又点到直线的距离是，所以，得，所以，故选项A错误，B正确；
由知，解得，
所以，故选项C正确；
，故选项D正确；
故选：BCD.
12．已知数列满足，则（ ）
A．当且时，为等比数列
B．当时，为等比数列
C．当时，为等差数列
D．当，且时，的前n项和为
【答案】ACD
【分析】利用等差数列，等比数列的定义判断ABC，利用裂项求和来计算D.
【详解】对于A：当且时，，数列是公比为2的等比数列，A正确；
对于B：当，即时，数列不为等比数列，B错误；
对于C：当时，，等式两边同除得，数列是公差为的等差数列，C正确；
对于D：当，，得，
则数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，
所以，
的前n项和为，D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．若直线与直线平行，则 ．
【答案】
【分析】利用两直线平行，通过分类讨论即可得出的值.
【详解】由题意，
直线与直线平行，
当时，直线与直线不平行，舍去，
当时，，解得：，
综上，.
故答案为：.
14．圆在点处切线的一般式方程为 ．
【答案】2
【分析】由切线与过切点的半径垂直求得切线斜率后可得切线方程．
【详解】圆心坐标为，圆心与切点连线斜率为，所以切线的斜率为2，
切线方程为，即．
故答案为：．
15．两个等比数列，的前n项和分别为和，已知，则 ．
【答案】/
【分析】设数列，的公比分别为，在已知式中令得，再令,得的关系，进而联立方程组解得，进而求解即可．
【详解】设数列，的公比分别为，
则时，，即，
当时，，即，
当时，，即，
联立，解得或，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意.
所以.
故答案为：.
16．已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号，及，当且仅当三点共线时取等号，再结合双曲线的定义可得．
【详解】由已知，是双曲线的左焦点，它也是圆的圆心，，
圆半径为，
，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号，
，当且仅当三点共线时取等号，
所以，又由双曲线的定义，，
所以，即的最小值为，
故答案为：．
四、解答题
17．已知圆经过，两点，且圆的圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)若直线过点与圆相交截得的弦为，且，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）设圆的方程为，利用待定系数法求出即可；
（2）根据圆的弦长公式求出圆心到直线的距离，再分直线斜率是否存在两种情况讨论即可.
【详解】（1）设圆的方程为，
则，解得，
所以圆的方程为；
（2）圆的标准方程为，
圆心，半径，
设圆心到直线的距离为，
则，解得，
当直线的斜率不存在时，方程为，
圆心到直线的距离为，符合题意，
当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，
则，解得，
所以直线的方程为，
综上所述，直线的方程为或.
18．已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式
(2)若，求的前项和.
【答案】(1).
(2).
【分析】（1）利用与的关系式进行通项公式的求解；
（2）由通项公式可知，当时，其和为负数，则当求绝对值之和时，可直接添加负号即可，当时，可通过前8项的变号来进行计算即可.
【详解】（1）由，
当时，可得，
当时，，适合上式，
所以数列的通项公式为.
（2）由，可得，则，
令，可得，
当时，可得，
当时，可得
，
因为，所以，
所以.
注意：分类标准和，都可以.
19．已知椭圆，左右焦点分别为，，直线与椭圆交于A，两点，弦被点平分．
(1)求直线的一般式方程；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，代入双曲线方程相减，利用弦中点坐标可得直线斜率，从而得直线方程，检验直线与双曲线是否相交．
（2）由韦达定理得，代入的坐标表示中计算即得．
【详解】（1）因为弦被点平分，所以
设交点坐标，
则，
两式相减得：），
所以直线的斜率，
故直线的一般式方程为
联立椭圆与直线方程得，直线与双曲线相交，满足题意．
所以直线方程为，
（2）由（1）知：，
由（1）得，
，
所以．
20．记为数列的前项和，为数列的前项和，若且.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若成立，求的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)5
【分析】（1）利用得出关于的递推关系，从而根据等比数列的定义得证；
（2）由分组求和法求得后，解不等式得结论．
【详解】（1）由可得，即，
即，而，
所以是以3为首项，3为公比的等比数列.
（2）由（1）知，即
，
由可得，整理可得，解得，
因为，所以的最小值为5．
21．已知椭圆焦距为，离心率为.
(1)求曲线的方程；
(2)过点作直线交曲线于、两个不同的点，记的面积为，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知条件可得出关于、、的方程组，求出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；
（2）分析可知，直线直线与轴不重合，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用基本不等式可求出的最大值.
【详解】（1）解：由题意可得，解得，
所以，椭圆的方程为.
（2）解：当直线与轴重合时，、、三点重合，不符合题意，
易知点，设直线的方程为，设点、，
联立可得，
则，

由韦达定理可得，，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最大值为.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
22．从双曲线上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，点分别是双曲线的左、右顶点，点，且，.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作直线分别交双曲线左右两支于两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由可得，再由可得，解方程即可求出，即可得出答案.
（2）设，，直线，联立直线与双曲线的方程可求出的范围，再根据根与系数的关系可得③，设直线方程结合③求解，即可证明点在定直线上.
【详解】（1）令，代入双曲线方程可得，所以设，，
因为，所以，即，所以.
因为，所以，
所以，，，
所以双曲线的方程为.

（2）设，，直线，
联立可得，，
由可得或，
所以，，
直线 ①
直线 ②
③
由①÷②可得
把③代入上式化简可得，
解得，所以点在定直线上.

【点睛】思路点睛：本题考查直线与双曲线综合应用中的定直线问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与双曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量之间的关系，同时得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知的等量关系，化简整理得到所求定直线.