2023-2024学年江西省南昌市第二中学高二上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江西省南昌市第二中学高二上学期期中考试数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知直线:和:互相平行,则
A．B．C．或D．或
【答案】D
【解析】根据两条平行直线的斜率相等,且截距不等,解方程即可求得的值.
【详解】因为直线:和:互相平行
当时两条直线不平行,即
则,且
化简可得
解方程可得或
经检验或都满足题意
故选:D
【点睛】本题考查了直线平行时的斜率关系,根据平行关系求参数的值,属于基础题.
2．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆的半径，则椭圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求出圆的半径，可得出的值，结合离心率可得出的值，进而可求出，结合椭圆焦点的位置可得出椭圆的标准方程.
【详解】圆的标准方程为，圆的半径为，则，即，
又因为，则，所以，，
因为椭圆的焦点在轴上，因此，该椭圆的标准方程是.
故选：A.
3．直线：与曲线相交于、两点，则直线倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】联立直线方程和双曲线方程，利用判别式和韦达定理可求斜率的范围，从而得到倾斜角的范围.
【详解】由可得，
整理得到在上有两个不同的根，
故，解得或,
故直线的倾斜角的范围为：，
故选：B
4．在三棱锥中，M是平面上一点，且，则（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【分析】结合向量的减法运算对已知关系进行变形，结合向量四点共面结论列方程求.
【详解】根据向量的减法运算可得，
又，
所以，
所以，
所以，
又M是平面上一点，所以，
所以，
所以，
所以，，，
所以，，，
故选：B.
5．已知为抛物线：的焦点，过的直线与相交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，垂足为，若，则的长为
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设直线的方程为，设，利用“设而不求法”表示出，再求出，利用两点间的距离公式求出.
【详解】由为抛物线：的焦点得.
设直线的方程为，并与联立得.
设，则，，
，又，解得.
线段的垂直平分线为，令，得，
从而.
故选：B.
6．已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则的内切圆的半径（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【分析】根据椭圆方程求出、、的值，即可得到、、的值，从而求出的面积，再利用等面积法求出内切圆的半径.
【详解】解：椭圆中，，，则，∴，，
∴．∵，，∴，
∵，∴，
解得．
故选：C．
7．已知双曲线的两个顶点为，双曲线上任意一点（与不重合）都满足，的斜率之积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先设，根据题意直接求，再由代入可得，再利用，即可得解.
【详解】设，由，
由，所以，
可得，
所以，
即，所以，所以离心率.
故选：B
8．已知M是的对称轴和准线的交点，点N是其焦点，点P在该抛物线上，且满足，则实数的最大值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】利用抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系计算即可.
【详解】
易知，如图所示，过P作于准线，垂足为点，
由抛物线定义知，则，
易知当直线与抛物线相切时最小，则取得最大值，
不妨设，与抛物线方程联立得，
此时可知.
故选：D
二、多选题
9．已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量为
【答案】BCD
【分析】利用空间向量的坐标表示及投影向量的定义一一计算即可.
【详解】易知，显然，故A错误；
易知：，
故B正确；
易知，故C正确；
在上的投影向量，故D正确.
故选：BCD
10．已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．存在使得
B．的最小值为
C．，则的面积为
D．直线与直线斜率乘积为定值
【答案】BC
【分析】由椭圆方程得，，，利用向量的数量积得最大张角的余弦符号，可判断张角的大小，对焦点三角形使用余弦定理可得的最值，利用三角形公式可求得焦点三角形面积，设椭圆上一点，通过坐标运算可以得到的值.
【详解】设椭圆短轴上下顶点分别为，，
由题知椭圆：中，，，，
所以，，，，，，
对于A选项，由于，，，
所以的最大角为锐角，故不存在使得，A错误；
对于B选项，记，，则，
由余弦定理：
，
当且仅当时等号成立，B正确；
对于C选项，由于，
由焦点三角形面积公式得到，C正确；
对于D选项，设（），，
则，，，
于是，D错误.
故选：BC.
11．已知抛物线C：，点F是抛物线C的焦点，点P是抛物线C上的一点，点，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线C的准线方程为
B．若，则△PMF的面积为2
C．|的最大值为
D．△PMF的周长的最小值为
【答案】ACD
【分析】根据抛物线的标准方程可得准线方程为，即可判断A，根据抛物线定义得到，故点可能在第一象限也可能在第三象限，分情况计算三角形面积即可判断B，利用三角形任意两边之差小于第三边结合三点一线的特殊情况即可得到，计算即可判断C，三角形的周长，再结合抛物线定义即可求出的最小值，即得到周长最小值.
【详解】，，，准线方程为，故A正确；
根据抛物线定义得，，,
轴，当时，，
若点在第一象限时，此时,
故，的高为1，故，
若点在第四象限，此时，故，
的高为1，故，故B错误；
，,故C正确；
（连接，并延长交于抛物线于点，此时即为最大值的情况，
图对应如下）
过点作准线，垂足为点，
的周长，
若周长最小，则长度和最小，显然当点位于同一条直线上时，的和最小，
此时,
故周长最小值为，故D正确.
故选：ACD.
12．已知、分别为双曲线的左、右焦点，且，点P为双曲线右支一点，I为的内心，若成立，则下列结论正确的有（ ）
A．当轴时，B．离心率
C．D．点I的横坐标为定值a
【答案】BCD
【分析】当轴时，由，得；由可得求出离心率；设的内切圆半径为，由，，用的边长和表示出等式中的三角形的面积，解此等式求出；由切线的性质面积和双曲线的定义可得I的横坐标．
【详解】当轴时，，
此时，所以A错误；
∵，∴，
整理得（为双曲线的离心率），
∵，∴，所以B正确.
设的内切圆半径为r，
由双曲线的定义得，，
，，，
∵，
∴，
故，所以C正确.
设内切圆与、、的切点分别为M、N、T，
可得，.
由，
，
可得，可得T的坐标为，
即Ⅰ的横坐标为a，故D正确；
故选BCD.
【点睛】本题考查双曲线的定义和简单性质，利用待定系数法求出参数的值，考查圆的切线的性质，化简运算能力和推理能力，属于中档题．
三、填空题
13．拋物线的焦点为F，点为C上一点，若，则 .
【答案】
【分析】根据抛物线的定义，利用代入法进行求解即可.
【详解】拋物线的准线方程为：，因为，
所以，把 代入抛物线方程中，得
，
故答案为：
14．经过点，且被圆：所截得的弦最短时的直线的方程为 ．
【答案】
【分析】当是弦中点，她能时，弦长最短．由此可得直线斜率，得直线方程.
【详解】根据题意，圆心为，当与直线垂直时，直线被圆所截得的弦最短，
此时，则直线的斜率，则直线的方程为，
变形可得.
故答案为：
15．已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，.以线段为直径的圆与双曲线在第一象限交于点A，双曲线C的一条渐近线的倾斜角为，则直线的斜率为 .
【答案】
【分析】根据条件求出双曲线方程再结合圆的方程，联立可解出点坐标，进一步计算即可.
【详解】,,
又一条渐近线的倾斜角为，所以，结合，
可解的
所以双曲线的方程为①，
又线段为直径的圆的方程为②，
联立①②，结合点在第一象限，可得,
又,则
故答案为：.
16．已知椭圆和双曲线有相同的焦点，P为椭圆与双曲线的一个公共点，椭圆与双曲线的离心率分别为，且，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据题意得到等量关系，结合余弦定理得到，，利用求出，进而得到.
【详解】由题意得：，，，，解得：，，由余弦定理得：，解得：，因为，解得：，，因为，即，解得：，故
故答案为：
四、解答题
17．已知空间三点，，，设 ， .
(1)求 与 的夹角的余弦值；
(2)若向量 与互相垂直，求的值.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据空间向量夹角公式求解即可.
（2）根据题意得到，再解方程即可.
【详解】（1），.
.
（2），.
因为向量 与互相垂直，所以，
即，解得或.
18．已知直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直．
(1)求直线的一般式方程；
(2)若圆的圆心为点，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意求出两直线的交点，再求出所求直线的斜率，用点斜式写出直线的方程；
（2）根据题意求出圆的半径，由圆心写出圆的标准方程．
【详解】（1）解：由题意知，解得，
直线和的交点为；
设直线的斜率为，与直线垂直，；
直线的方程为，化为一般形式为；
（2）解：设圆的半径为，则圆心为到直线的距离为
，由垂径定理得，
解得，
圆的标准方程为．
19．已知椭圆过点．其左、右两个焦点分别为、，短轴的一个端点为B，且．
(1)求椭圆的标准方程：
(2)设直线：与椭圆交于不同的两点M，N，且O为坐标原点，若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用椭圆的性质结合待定系数法计算即可
（2）利用平面向量的夹角公式结合韦达定理计算即可.
【详解】（1）由题意可知，
所以椭圆的标准方程为：；
（2）设，
联立，
所以,
又，则，
即，
所以.
20．已知双曲线的离心率为.
（1）求双曲线的方程.
（2）直线与该双曲线交于不同的两点、，且、两点都在以点为圆心的同一圆上，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）或
【分析】（1）根据离心率为，结合性质 ，列出关于 、的方程组，求出 的值，即可得结果；（2）由，消去得：，由，可得，由判别式大于零可得，综合两式即可得结果.
【详解】（1）依题意解得：.
所以双曲线的方程为：.
（2）由，消去得：，
由已知：，且①
设、，的中点，
则，，因为，
所以，
整理得：②
联立①②得：，所以或，又，
所以，因此或.
【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程以及直线与双曲线的位置关系，属于难题. 求双曲线标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出双曲线的标准方程．解决直线与双曲线的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与双曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．
21．已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．
【答案】(1) 取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）
(2)证明过程见解析
【详解】分析：（1）先确定p,再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线l的斜率的取值范围，最后根据PA，PB与y轴相交，舍去k=3，（2）先设A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线联立，根据韦达定理可得，．再由，得，．利用直线PA，PB的方程分别得点M，N的纵坐标，代入化简可得结论.
详解：解：（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），
所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．
由题意可知直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．
由得．
依题意，解得k<0或0又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，-2）．从而k≠-3．
所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由（I）知，．
直线PA的方程为．
令x=0，得点M的纵坐标为．
同理得点N的纵坐标为．
由，得，．
所以．
所以为定值．
点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
22．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且垂直于轴的直线与交于两点，且的坐标为.
（1）求椭圆的方程；
（1）过作与直线不重合的直线与相交于两点，若直线和直线相交于点，求证：点在定直线上.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）已知椭圆上一点及焦点坐标，利用椭圆定义待定系数即可；
（2）先设直线斜率k及直线与椭圆交点坐标，联立方程消元整理，由韦达定理得到交点坐标与k关系式.再由椭圆对称性可知，定直线垂直于x轴.只需先求解直线和直线的方程，再联立消y，用表示出交点的横坐标.最后将韦达定理关系式代入，从而证明横坐标为定值.
【详解】（1）解：由题意，得，，且，
则，即，
所以，
故椭圆的方程为.
（2）证明：由（1）及的对称性，得点的坐标为，
设直线的方程为，点、的坐标分别为，，
联立方程，消去后整理为，
所以，.
直线的斜率为，
直线的方程为，
直线的斜率为，
直线的方程为，
将直线和直线方程作差消去后整理为，
可得，
而由，
可得，解得，
即直线和的交点的横坐标恒为4，
所以点在定直线上.
【点睛】圆锥曲线中定值问题的特点及两种常见解法：
(1)特点：待证几何相关量不受动点或动线的影响而有固定的值；
(2)两种常见解法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②引进变量法：先选择适当的动点坐标或动线中系数为变量，再把要证明为定值的量表示成上述变量的数学表达式，最后把得到的数学表达式化简，利用已知关系消去变量得到定值.