2023-2024学年江西省南昌市第十中学高二上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江西省南昌市第十中学高二上学期期中考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．点到直线的距离等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】直接利用点到直线的距离公式求解即可.
【详解】点到直线的距离等于.
故选：C
2．抛物线的准线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】将抛物线方程写成标准式，即可求出，从而求出其准线方程.
【详解】抛物线，即，所以，解得，
则抛物线的准线为.
故选：B
3．的展开式中，项的系数是（ ）
A．56B．－56C．28D．－28
【答案】A
【分析】结合二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】依题意，
所以的系数是.
故选：A
4．“”是“直线和直线垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据两直线互相垂直求出的值，从而结合充分条件与必要条件的概念判断结论.
【详解】当直线和直线垂直时，
有，即，解得或，
所以“”是“直线和直线垂直”的充分而不必要条件，
故选：A.
二、多选题
5．已知椭圆的一个焦点和一个顶点在直线上，则该椭圆的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】求出直线的两截距，注意区分椭圆焦点在轴上和椭圆焦点在轴上即可解答.
【详解】由题直线的横截距为2，纵截距为，
当椭圆焦点在轴上时，，则，
此时椭圆的标准方程为；
当椭圆焦点在轴上时，，则，
此时椭圆的标准方程为.
故选：AD.
三、单选题
6．如图，已知两点，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出关于直线的对称点和它关于轴对称点，则就是所求的路程长.
【详解】易知直线的方程为，
设点关于直线的对称点，
则且，解得，即，
又点关于轴的对称点，
由光的反射规律可知，共线，共线，从而共线，
所以光线所经过的路程长为
.
故选：B.

7．已知直线上动点，过点向圆引切线，则切线长的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据切线长，半径以及圆心到点的距离的关系，求得圆心到直线的距离，再求切线长距离的最小值即可.
【详解】圆，其圆心为，半径，则到直线的距离；
设切线长为，则，若最小，则取得最小值，显然最小值为，
故的最小值为，即切线长的最小值为.
故选：A.
8．直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】分析:设出椭圆的方程，求出直线的方程，利用已知条件列出方程，即可求解椭圆的离心
率.
【详解】解:设椭圆的方程为:，直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，
则直线方程为: ,椭圆中心到的距离为其短轴长的，
可得:，，
，
故选:C.
四、多选题
9．下列说法中，正确的有（ ）
A．直线在轴上的截距为1
B．直线的倾斜角为
C．直线必过定点
D．过点在和轴上的截距相等的直线只有
【答案】AC
【分析】利用直线的相关知识，逐个选项分析即可.
【详解】对于A选项，当时，，故正确；
对于B选项，易知斜率为，故倾斜角为，故错误；
对于C选项，过定点需要和变量无关，令，解得即可，故正确；
对于D选项，这样的直线还有，举反例即可，故错误.
故选：AC
10．圆和圆的交点为，，则（ ）
A．公共弦所在直线的方程为
B．线段中垂线的方程为
C．公共弦的长为
D．两圆圆心距
【答案】ABD
【分析】把两圆方程相减得到公共弦所在直线的方程，即可得到选项A；再把两圆分别化成标准方程，得到圆心和半径，两圆心所在的直线即为线段中垂线，即可得到选项B；利用一个圆的圆心到直线的距离进而求出弦的长，验证选项C；两圆心的距离即可得到选项D.
【详解】①，②，用①减去②即得到公共弦所在直线的方程为，故A正确；
把圆化为标准方程得，圆心为，半径为 ，把圆化为标准方程为，圆心为，，线段中垂线即为圆心与圆心两点构成的直线为，故B正确；
圆心到公共弦所在直线的距离为，故公共弦的长为，故C错误；
圆心到圆心的距离，故D正确.
故选：ABD.
11．已知为双曲线的两个焦点，为双曲线上任意一点，则（ ）
A．B．双曲线的渐近线方程为
C．双曲线的离心率为D．
【答案】CD
【分析】对于A，用定义即可判断，对于B，根据焦点位置即可判断，对于C，直接计算即可，对于D，因为为的中点，所以，设可求出的取值范围，即可判断
【详解】双曲线：焦点在轴上，，，
对于A选项，，而点在哪支上并不确定，故A错误
对于B选项，焦点在轴上的双曲线渐近线方程为，故B错误
对于C选项，，故C正确
对于D选项，
设，则（时取等号）
因为为的中点，所以，故D正确
故选：CD
12．下列说法不正确的是（ ）
A．椭圆的离心率是.
B．双曲线与椭圆的焦点相同.
C．、为椭圆的左右焦点，在该椭圆上存在点满足
D．顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线有且仅有一个.
【答案】CD
【分析】对于A，根据椭圆方程求出离心率直接判断即可；对于B，根据双曲方程和椭圆方程求出对应的焦点坐标即可判断；对于C，求出使得的点应满足的条件，结合椭圆的几何性质判断即可；对于D，分焦点位置不同，设抛物线的方程，代点求解即可判断.
【详解】对于A，椭圆，即，则，，
所以，则椭圆离心率为，故A错误；
对于B，双曲线，即，则其焦点为，，
而椭圆的焦点为，，故B正确；
对于C，椭圆，则，，即，
所以，，则，
要使，则，即，即点的纵坐标为2或即可，
而椭圆上的点纵坐标取值范围为，则不存在点满足，故C错误；
对于D，由题意，当抛物线焦点在轴上时，设抛物线方程为，
由，解得，则抛物线方程为.
当抛物线焦点在轴上时，设抛物线方程为，
则，解得，则抛物线方程为，
所以满足条件的抛物线有两条，故D错误.
故选：CD.
五、填空题
13．若抛物线上的点到其焦点的距离为3，则 .
【答案】2
【分析】根据抛物线方程及抛物线定义有，求参数即可.
【详解】由题设及抛物线定义知：且.
故答案为：
14．已知直线与椭圆交于两点，则 .
【答案】/
【分析】联立直线和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，利用弦长公式求出答案.
【详解】联立与，得，
设，
则，
故.
故答案为：
15．现有5种不同颜色的染料，要对如图中的四个不同区域进行着色，要求有公共边的两块区域不能使用同一种颜色，则不同的着色方法的种数是 （用数字作答）．
【答案】260
【详解】试题分析：可分步研究涂色的种数，从A处开始，再涂B处，C处时进行分类，分A，C相同，与不同两类，由计数原理计算出不同的着色结果数选出正确选项．解：由题意，先涂A处，有5种涂法，再涂B处4种涂法，第三步涂C，若C与A同，则D有四种涂法，若C与A不同，则D有三种涂法，由此得不同的着色方案有5×4×（1×4+3×3）=260种，故填写260
【解析】计数原理的应用
点评：本题考查计数原理的应用，解题的关键是理解“公共边的两块区域不能使用同一种颜色，”根据情况对C处涂色进行分类，这是正确计数，不重不漏的保证
16．已知平面上两点和，若直线上存在点使，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中是“单曲型直线”的是 （填序号）.
①；②；③；④.
【答案】①②
【分析】根据双曲线定义，可得点的轨迹是以M、N为焦点，的双曲线的右支，由此计算双曲线的方程为，再分别判断双曲线与四条直线的位置关系，可得只有①②表示的直线上存在点，满足“单曲型直线”的条件.
【详解】因为，点满足，
所以点轨迹是以M、N为焦点，的双曲线的右支，
可得，
双曲线的方程为，
双曲线的渐近线方程为，
所以直线与双曲线没有公共点；
直线经过点斜率，与双曲线也没有公共点；
而直线与直线与双曲线有交点，
因此与直线上存在点使，
满足“单曲型直线”的条件，只有①②正确.
故答案为：①②
六、解答题
17．（1）计算：；
（2）求值：.
【答案】（1）；（2）或
【分析】（1）根据排列数公式计算可得；
（2）根据组合数的定义求出的值，再代入计算可得.
【详解】（1）；
（2）由组合数的定义知：，解得，又，
或.
当时；
当时.
所以的值为或.
18．6位同学报名参加2022年杭州亚运会4个不同的项目（记为）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目.
(1)6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种？
(2)若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式？
(3)若每个项目只招一名志愿者，且同学甲不参加项目，同学乙不参加项目，求一共有多少种不同录用方式？
【答案】(1)144
(2)1560
(3)252
【分析】（1）利用捆绑法和插空法进行排列计算即可得共有144种；
（2）先将6位同学分成4组，再根据题意进行排列计算即可得出结果；
（3）先计算出所有的录用方式，再减去不符合题意的方式即可得出答案.
【详解】（1）根据题意先把甲乙看成整体，与除了甲、乙、丙、丁之外的两人进行排列，再把丙丁插空进行排列，
所以共有.
（2）先分为4组，则按人数可分为1，1，1，3和1，1，2，2两种分组方式，共有种；
再分到4个项目，即可得共有；
（3）先考虑全部，则共有种排列方式，
其中甲参加项目共有种，同学乙参加项目共有种；
甲参加项目同时乙参加项目共有种，
根据题意減去不满足题意的情况共有种.
19．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线，求：
(1)求圆心为的圆的标准方程：
(2)设点在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为和，求四边形的面积
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据圆上的点和圆心所在的直线求圆的方程；
（2）根据最长的弦为直径，最短的弦与最长的弦垂直求解.
【详解】（1）圆心在直线上，则，则有
，解得，
故圆心为，半径，
故圆心为的圆的标准方程为
（2）由圆的性质，过点的最长弦过圆心，即为直径，.
最短弦垂直于，由垂径定理得
，
故四边形的面积为.
20．双曲线：的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求的方程；
(2)是否存在直线，经过点且与双曲线于A，两点，为线段的中点，若存在，求的方程；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，.
【分析】（1）利用双曲线的性质及点到直线距离公式计算即可；
（2）利用点差法计算即可.
【详解】（1）令，所以，
又由题意可知双曲线的焦点到渐近线的距离，
所以双曲线的标准方程为：；
（2）假设存在，
由题意知：该直线的斜率存在，设，，直线的斜率为，
则，，
又有，，
两式相减得，即
即，所以，解得，
所以直线的方程为，即，
联立直线与双曲线方程得：
，
即直线与双曲线有两个交点，满足条件，
所以存在直线，其方程为.
21．已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆过，直线与椭圆交于、.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线、的斜率分别为、，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分析可得，可得出，则椭圆的方程可表示为，将点的坐标代入椭圆的方程，求出的值，即可得出椭圆的标准方程；
（2）设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可证得结论成立.
【详解】（1）解：因为椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，
则这个直角三角形为等腰直角三角形，腰长为，斜边长为，则，可得，
所以，，所以，椭圆的方程可表示为，
将点的坐标代入椭圆的方程可得，解得，
故椭圆的标准方程为.
（2）解：设点、，联立可得，
，解得，显然，否则直线过点，

由韦达定理可得，，
所以，
，
因此，.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
22．已知抛物线：的焦点为；
(1)求抛物线的方程；
(2)若动点在抛物线上，线段的中点为，求点的轨迹方程；
(3)过点作两条互相垂直的直线，；直线交抛物线于两点，直线交抛物线于，两点，且点，分别为线段，的中点，求的面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)4
【分析】（1）根据题意，得到，进而得到抛物线的方程；
（2）设，根据题意，结合中点公式，求得，代入抛物线的方程，即可求得点的轨迹方程；
（3）不妨设，得到，联立方程组，求得和，得出，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）解：抛物线：的焦点为，
可得，解得，所以抛物线的方程为.
（2）解：设，
因为线段的中点为，可得，即，
又因为动点在抛物线上，可得，
化简得，即点的轨迹方程为.
（3）解：由题意知，直线的斜率均存在，
不妨设，，，，，
则，
联立方程组，整理得，
则，即，且，，
所以，所以，
同理可得：
所以，，
所以
，当且仅当，即时，等号成立，
所以面积的最小值为.
【点睛】方法技巧：直线与圆锥曲线中的最值与范围问题的求解方法：
1、注意题目中的几何特征，充分考虑图形的性质，以及圆锥曲线的几何性质，进行求解；
2、运用函数思想，建立目标函数，求解最值，在利用代数法求解最值和范围问题时，常从以下几个方面考虑：
①利用判别式来构造不等关系式，从而确定参数的取值范围；
②利用已知参数的范围，求解新参数的取值范围，解这类问题的核心是两个参数之间建立等量关系式，进而作出求解；
③利用隐含的不等关建立不等式，从而求出参数的取值范围；
④利用已知的不等关系构造不等式，从而求出蹿升的取值范围；
⑤利用函数的性质，利用导数、基本不等式，单调性等手段，求得函数的值域，从而得到参数的取值范围.