2023-2024学年辽宁省鞍山市第一中学高二上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年辽宁省鞍山市第一中学高二上学期期中考试数学试题含答案，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知椭圆，则椭圆C离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据椭圆方程，求得的值，直接计算即可.
【详解】因为椭圆，
所以，又，
所以离心率，
故选:C.
2．抛物线的准线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】把抛物线方程化为标准式，可直接得到结果.
【详解】因为可化为，
所以准线方程为，
故选：D.
3．已知直线与圆相交于两点，则弦的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出圆心到直线的距离，根据圆的弦长公式，即可求得答案.
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
故弦的长为，
故选：B
4．已知直线，，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则两直线间距离为
D．当时，直线不过第三象限
【答案】C
【分析】利用两直线的位置关系求出实数的值，可判断AB选项；利用平行线间的距离公式可判断C选项；数形结合可判断D选项.
【详解】已知直线，，
对于A选项，若，则，解得，A错；
对于C选项，若，则，，
此时，这两条直线间的距离为，C对；
对于B选项，若，则，解得，B错；
对于D选项，当时，在直线的方程中，令，可得，
令，可得，如下图所示：
由图可知，当时，直线不过第四象限，D错.
故选：C.
5．椭圆内有一点，设某条弦过点P且以P为中点，那么这条弦所在直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用点差法得到直线斜率和中点之间的关系，即可得解.
【详解】设满足题意的直线与椭圆交于两点，
则，，
两式相减得，即.
又直线过，由此可得所求的直线方程为，
所以弦所在直线的方程为，
故选：B.
6．下列命题中正确的是（ ）
A．对空间任意一点，不共线的三点，若（其中为实数），则四点共面
B．若，则存在唯一的实数，使
C．若空间向量，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为
D．若向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为
【答案】C
【分析】选项A用向量共面的基本定理判断；选项B用向量共线的基本定理判断；选项C用投影向量计算；选项D用向量夹角的余弦判断，需注意共线反向的情况.
【详解】对于A，若平面，则不共面，由空间向量基本定理可知，为空间任意一点，所以四点不一定共面，故A错误；
对于B，当，时，找不到实数，使，故B错误；
对于C，因为空间向量，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为，故C正确；
对于D，因为向量的夹角为钝角，
则，且不反向共线，则，故，
所以实数的取值范围为，故D错误；
故选：C
7．设是椭圆与双曲线的公共焦点，曲线在第一象限内交于点，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据椭圆和双曲线的定义求出、，由勾股定理即可得到、的关系，从而解出．
【详解】由椭圆及双曲线定义得，所以，
因为，
由余弦定理得，
同时除以得，
因为，，，
所以，则，
故选：B.
8．如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列说法正确的是（ ）

A．三棱锥的体积不是定值
B．直线到平面的距离是
C．存在点，使得
D．面积的最小值是
【答案】C
【分析】根据线面平行的判定判断A；根据等体积法求得点到平面的距离判断B；建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积运算解决垂直问题判断C；求出面积的表达式，再求得面积的最小值判断D.
【详解】对于A，分别是棱的中点，则，
因为，且，所以四边形为平行四边形，所以，
所以，因为平面，平面，所以平面，
因为在上，所以点在平面的距离不变，而面积是定值，则三棱锥的体积不变，
即三棱锥的体积不变，故A错误；
对于B，因为，平面，平面，于是平面，
因此直线到平面的距离等于点到平面的距离h，
，
，，，
由，得，则，B错误；

对C，以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，,

设，则，，，，
由，得，解得，
由于，因此存在点，使得，C正确；
对于D，由选项C得在的投影点为，
则P到的距离，
面积为 ，所以当时，取得最小值为，D错误.
故选：C
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用线面平行的判定来判定A，再通过等体积法求出距离从而判断B，C,D选项通过建立合适的空间直角坐标系解决.
二、多选题
9．若椭圆的焦距为2，则（ ）
A．3B．5C．2D．1
【答案】AB
【分析】根据椭圆的性质计算，注意分类讨论．
【详解】由题意或，解得或．
故选：AB．
10．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，面，则（ ）

A．
B．与平面所成角为
C．二面角的余弦值为
D．直线与所成角的余弦值为
【答案】ABD
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法逐项计算ABCD后可判断它们的正误.
【详解】如图，连接，设，则，
因为，故，故，
故，故，
而平面，平面，故，
故可建立如图所示的空间直角坐标系，
其中，
故，而，故，故A正确.
，而平面的法向量为，
设与平面所成的角为，则，
因为，故，故B正确.
又，设平面的法向量为，
则即，取，则，
设平面的法向量为，
则即，取，则，
故，但二面角的平面角为钝角，
故其余弦值为，故C错误.
又，故，
故直线与所成角的余弦值为，故D正确.
故选：ABD.
11．下列四个命题表述正确的是（ ）
A．倾斜角相等的两条直线，斜率也相等
B．圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1
C．曲线与曲线恰有三条公切线，则
D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，为切点，则弦长度的最小值为
【答案】BCD
【分析】对于A，当倾斜角为时，直线无斜率，故A错误；对于B,利用圆心到直线的距离为1即可判定；对于C，根据条件知，两圆外切，利用圆心距等于半径和即可求解；对于D，根据条件求得，则当取最小值时，，即可判定.
【详解】对于A，当倾斜角为时，直线无斜率，故A错误；
对于B，圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，
所以圆上一共有3个点到直线的距离等于1，故B正确；
对于C，曲线的方程化为，
圆心为，半径为；
曲线的方程化为，
圆心为，半径为，
当曲线与曲线恰有三条公切线，
则两圆外切，则，
解得，故C正确；
对于D，圆心到直线的距离，
因为直线垂直平分线段,
则,
当取最小值时，，故D正确，
故选：BCD.
12．已知为坐标原点，分别为双曲线，的下、上焦点，的实轴长为6，且到双曲线渐近线的距离为为在第一象限上的一点，点的坐标为为的平分线，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．双曲线的离心率为
C．
D．点到轴的距离为
【答案】AD
【分析】对于A选项，根据的实轴长和到双曲线渐近线的距离即可求出双曲线的渐近线方程；对于B选项，求出即可求出双曲线的离心率；对于C选项，根据角平分线定理即可计算；对于D选项，利用等面积法即可计算.
【详解】对于A选项，因为的实轴长为6，所以，因为到双曲线渐近线的距离为，所以，
所以双曲线的渐近线方程为，故A选项正确；
对于B选项，因为，
所以双曲线的离心率为，故B选项错误；
对于C选项，因为为的平分线，所以，
因为，，，所以，
所以，故C选项错误；
对于D选项，由双曲线定义可知，所以，，
在中，，，
设点到轴的距离为，则，
解得，故D选项正确.
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于等面积法的使用.
三、填空题
13．如图，二面角等于是棱上两点，分别在半平面内，，且，则 .
【答案】
【分析】根据二面角的定义，结合空间向量的线性运算，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可.
【详解】因为分别在半平面内，，二面角等于，
所以，
因为，
所以
，
所以，
故答案为：
14．已知抛物线C的方程为，若倾斜角为锐角的直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，且，则直线l的倾斜角为 ．
【答案】
【分析】结合抛物线的定义，结合几何性质，即可求直线的倾斜角.
【详解】如图，直线为抛物线的准线，过点分别作垂直于，作，
因为，，且，所以,
则，，
所以，则，即直线的倾斜角为.

故答案为：
15．若点在圆上，则的最小值为 .
【答案】
【分析】利用表示点与点的距离的平方，求出圆心与点的距离为，可求得最小距离，继而可求得所求.
【详解】因为，化为，
圆心为，半径为，
又表示点与点的距离的平方，
圆心与点的距离为，
所以点与点的距离的最小值为，
故的最小值为，
故答案为：.
16．已知点在上运动，点在圆上运动，且最小值为，则实数的值为 .
【答案】5
【分析】结合图形，先判断得，再将问题转化为求的最小值，利用换元法与二次函数在闭区间上的最值求法即可得解.
【详解】因为可化为，又，
所以表示焦点在轴上，实半轴长为的双曲线上支的一部分，
而圆的圆心为，半径为，如图，

因为最小值为，即，
又，即，
所以，即，
则，又，所以，
因为点在上运动，故设,，
所以，
令，，则，，
所以，
令，则其对称轴为，
因为，所以，则在上单调递减，
则，
即，则，解得或（舍去），
所以.
故答案为：5.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将问题转化为二次函数的最值问题，从而得解.
四、解答题
17．已知椭圆的左焦点为，直线与椭圆C交于A，B两点.
(1)求线段的长；
(2)若为椭圆左顶点，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接联立直线与椭圆的方程解出两点的坐标，然后由两点之间的距离公式即可求解.
（2）由（1）可知线段的长，只需求出点到直线的长度即可求解.
【详解】（1）联立或，
当时，，
当时，，不妨设，
.
（2）由得，
点到直线的距离为，
所以的面积为.
18．已知直线和圆
(1)若直线过点，且在两坐标轴的截距互为相反数，求直线的方程；
(2)求过点且与圆相切的直线方程.
【答案】(1)或；
(2)或.
【分析】（1）讨论所求直线是否过原点，分别求出对应方程即可；
（2）讨论所求直线斜率的存在性，设直线方程，结合圆心和半径，应用点线距离公式求直线方程.
【详解】（1）当直线过原点时，直线的方程是，即.
当直线不过原点时，设直线的方程为，
把点代入方程得，则直线的方程是.
综上，所求直线的方程为或
（2）若过点的直线斜率不存在，则方程为，
此时圆心到直线的距离为，满足题意；
若过点且与圆相切的直线斜率存在，
则设切线方程为，即
则圆心到直线的距离为，解得，
所以切线方程为，即，
综上，过点且与圆相切的直线方程为或.
19．如图，四棱台中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，分别为的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）（2）连接、，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）连接、，因为平面，
以点为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系.
因为侧棱所在的直线与上下底面中心的连线所成的角为，又，，
所以，解得，
则，， ，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以，所以，
又因为平面，所以平面；
（2）因为，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
20．已知抛物线的焦点为，且经过点.
(1)求抛物线C方程及其准线方程；
(2)过作斜率不为0的直线交抛物线于两点，直线分别交于两点，求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点.
【答案】(1)，准线方程为
(2)证明见解析
【分析】（1）直接将点代入求得参数即可得解.
（2）设直线的方程为，将其与抛物线方程联立，利用韦达定理有，将两点的坐标也用含的式子表示，再利用即可得解.
【详解】（1）因为点在上，
所以，解得，
所以的方程为，准线方程为.
（2）易知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立，得，
设点，则.
直线的方程为，令，
得，所以，同理得，
设以线段为直径的圆与轴的交点为，
则，
因为，则，
即，
所以，解得或.
故以线段为直径的圆经过轴上的两个定点和.
21．已知四棱锥的底面为菱形，且.

(1)证明：；
(2)若，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）根据菱形的性质，结合线面垂直的判定定理、等腰三角形的性质进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】（1）取中点，连接，如图，

因为底面为菱形，且，
所以为等边三角形，故，
因为，所以.
又因为平面，
所以平面，
平面，所以.
因为是的中点，所以.
（2）因为，以分别为轴，轴，过作轴，
建立如图空间直角坐标系，

过作于点，由（1）得平面，，
平面，
所以平面，由
得：，
，
因为为正四面体，为的中心，有，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，则，
设平面的一个法向量为，
则，即，
同理可得平面的一个法向量为，
则.
所以二面角的余弦值为.
22．已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两个不同的点.
(1)求曲线的方程；
(2)求实数的取值范围；
(3)设点在直线上，过的两条不同的直线分别交曲线于和两点，且，求直线与直线的斜率之和.
【答案】(1)；
(2)
(3)0
【分析】（1）由双曲线的定义即可求双曲线方程，注意题干所提到的只是双曲线的右支；
（2）直线与双曲线相交两点，则联立方程后得到的关于的一元二次方程有两个不同的实数根，且直线与双曲线右支交于两点，则还需满足两根均为正数，即需满足，求解不等式组即可；
（3）由知，设出直线的方程，与双曲线方程联立后，根据弦长公式求出，和，表示出，同理表示出，即可得到，求解即可.
【详解】（1）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的右支，且，得，故曲线的方程为；
（2）设，由题意建立方程组，消去，得，
直线与双曲线右支交于两点，
则，
解得，所以的取值范围是.
（3）设且，
由题知，直线与直线的斜率都存在且不相等，
如图所示：
设直线的方程为.
联立消去并整理得.
又直线与曲线必有两个不同的交点，
所以，
所以.
由得
所以
.
设直线的方程为，
同理可得.
因为，即，
即，
整理得：，所以或（舍去），
所以，即直线的斜率与直线的斜率之和为0.