2023-2024学年四川省成都市石室中学高二上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年四川省成都市石室中学高二上学期期中考试数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据直线的方程得出其斜率，即可根据斜率与倾斜角的关系得出答案.
【详解】直线的斜率，
设直线的倾斜角为，,
则，则，
故选：A.
2．已知是抛物线的焦点，为抛物线上一点．若，则点的横坐标为（ ）
A．B．16C．18D．
【答案】C
【分析】根据题意，利用抛物线的定义转化为点到抛物线的准线的距离等于，列出方程，即可求解.
【详解】由抛物线，可得，所以准线方程为，
如图所示，设点其中，且
过点作，垂足为，
由抛物线的定义得，点到抛物线的准线的距离等于，即，
所以，解得，即点的横坐标为.
故选：C.
3．已知双曲线的左右焦点分别是，，是双曲线上一点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义结合焦半径的范围，即可求解．
【详解】由已知，又，所以，
故选：D．
4．已知椭圆中，，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据椭圆离心率的定义和的大小关系求解离心率的取值范围即可.
【详解】由椭圆，
则椭圆的离心率，
又因为，则，
所以.
故选：B
5．已知直线，双曲线，则（ ）
A．直线与双曲线有且只有一个公共点
B．直线与双曲线的左支有两个公共点
C．直线与双曲线的右支有两个公共点
D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点
【答案】C
【分析】发现点在双曲线的右顶点的右边，联立直线与双曲线方程并画出图形即可得到答案.
【详解】在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象如图所示：
由图可知直线过点，它在双曲线的右顶点的右边，
联立直线与双曲线方程得，解得或，
则直线与双曲线的右支有两个公共点.
故选：C.
6．已知点，，直线的斜率为，直线的斜率为，若，则点的轨迹为不包含，两点的（ ）
A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【答案】D
【分析】设，根据已知条件列方程，化简后求得正确答案.
【详解】设，其中，
则，即，
所以，
所以点的轨迹为不包含，两点的抛物线.
故选：D
7．已知斜率为的两条直线都与椭圆相切，则这两条直线间的距离等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设切线方程为，联立方程根据得到，再计算平行直线的距离得到答案.
【详解】设切线方程为，则，则，
，解得，
切线方程为，故这两条直线间的距离等于.
故选：B.
8．已知，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】表示点两点间距离的平方，点P轨迹是直线，点Q轨迹是圆，求出直线与圆上点的最小距离的平方即可.
【详解】表示点两点间距离的平方；
点P轨迹是直线
点Q轨迹是圆；
圆心到直线的距离是；
所以直线和圆的最近距离是．
故的最小值是
故选：B
二、多选题
9．已知直线，，则（ ）
A．当时，直线的一个方向向量为
B．若与相互平行，则或
C．若，则
D．若不经过第二象限，则
【答案】CD
【分析】代入，根据方向向量定义即可判断A，根据直线平行和垂直与斜率的关系即可判断B,C，将直线方程化简可得，结合一次函数的性质即可判断D.
【详解】对A，当时，，斜率为，则其一个方向向量为，
，A错误；
对B，若与相互平行，则，解得或，
当时，与重合，B错误；
对C，若，则，解得，故C正确；
对D，若不经过第二象限，，即，
则，解得，D正确.
故选：CD
10．已知圆（为坐标原点），圆的圆心为点，则（ ）
A．圆与圆共有条公切线
B．在圆上，，与圆切于，，当最大时，，，共线
C．在直线上，直线与圆相切于，直线与圆相切于，则
D．圆与圆和圆均外切，则圆的圆心的轨迹为双曲线
【答案】ABC
【分析】A选项，判断出两圆外切，得到A正确；B选项，得到三角形全等，设，故，，结合正弦函数和余弦函数的单调性，得到最大，只需最大，从而得到B正确；C选项，设出，表达出；D选项，根据双曲线定义得到点的轨迹为以为焦点的双曲线的一支，D错误.
【详解】A选项，圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
则圆心距为，又，
由可知，故两圆相离，故圆与圆共有条公切线，A正确；
B选项，因为，与圆切于，，所以⊥，⊥，
由对称性可知，≌，
连接交于点，则⊥，且，
设，则，，
要想最大只需最大，而在上单调递增，故只需最大，
其中，而在上单调递减，
故只需最大，
显然当，，三点共线，如图所示时，最大，B正确；
C选项，设，
则，
，
，
，
故，C正确；
D选项，由题意得，，
故，则点的轨迹为以为焦点的双曲线的一支，D错误.
故选：ABC
【点睛】求轨迹方程常用的方法：直接法，相关点法，交轨法，定义法，其中定义法往往考察椭圆，双曲线和抛物线的定义，利用三者的定义求出轨迹或轨迹方程，注意舍去或添加一些点.
11．设双曲线的左右顶点分别为，，左右焦点分别为，，为双曲线的一条渐近线，过作，垂足为，为双曲线在第一象限内一点，则（ ）
A．
B．
C．若，则的面积为
D．若平行于轴，则
【答案】BCD
【分析】根据点到直线的距离，直线斜率、三角形的面积、双曲线上的点等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】双曲线，即，
所以，不妨设，
而，
到的距离为，
所以，所以A选项错误.
B选项，设，其中，则，
所以，
则，
，
由图可知为钝角，为锐角，
所以，则，B选项正确.
C选项，若，，
两式相减得，
所以的面积为，C选项正确.
D选项，直线的方程为，
由解得，则，所以，
由，所以，
，
所以D选项正确.
故选：BCD
12．已知正方体中，为正方形的中心．为平面上的一个动点，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则的轨迹是圆
B．若，则的轨迹是椭圆
C．若到直线，距离相等，则的轨迹是抛物线
D．若到直线，距离相等，则的轨迹是双曲线
【答案】BCD
【分析】根据题意，分别表示四个选项，利用定义进行判断.
【详解】
建立如图空间直角坐标系，设正方体边长为，
对于A，，，，
，则，即
即，所以的轨迹是点，故A错误；
对于B， ，所以可以看成为以为高线圆锥的母线，
以平面去斜截圆锥，截面为椭圆，故B正确；
对于C，若到直线，距离相等，面， 面，
所以，所以到直线的距离为到点的距离，
则到直线，点距离相等，由抛物线定义可得，的轨迹是抛物线，故C正确；
对于D，过向作垂线，垂足为，过向作垂线，垂足为，
过向作垂线，垂足为，此时，
若到直线，距离相等，即，则，
即，则的轨迹是双曲线，故D正确，
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：本题重点考察立体几何中的轨迹问题，关键在于对于对圆锥曲线定义的理解.
三、填空题
13．已知直线与交于点，则 ．
【答案】
【分析】求出两直线交点坐标后可得．
【详解】由得，所以，
，
故答案为：3.
14．如图，弓形中，弦，为的中点，且到的距离为，则所在的圆的半径为 ．
【答案】
【分析】利用圆的性质，借助勾股定理列式求解即得.
【详解】令线段的中点为，由圆的性质知，，且所在圆的圆心在直线上，
设所在圆的半径为r，则有，解得，
所以所在圆的半径为5.
故答案为：5
15．设点，在轴上，在直线上，则的周长的最小值为 ．
【答案】
【分析】作出关于轴和直线的对称点，数形结合求出最小值.
【详解】设关于的对称点为，关于轴的对称点为，
则，解得，故，
连接交轴于点，交直线于点，连接，
则，
此时的周长最小，最小值为.

故答案为：
16．已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆短轴的一个顶点，直线与椭圆的另一个交点为．若，则椭圆的离心率为 ．
【答案】/
【分析】设，根据勾股定理得到，确定，中，根据余弦定理得到，得到离心率.
【详解】不妨取为上顶点，如图所示：
则，设，则，则，
整理得到，，
中，根据余弦定理：，
整理得到，即.
故答案为：.
四、解答题
17．已知圆的一条直径的两个端点为和．
(1)求圆的标准方程；
(2)过点的直线与圆交于，两点，求的最小值，并求出当最小时直线的方程．
【答案】(1)
(2)最小值为，的方程为
【分析】（1）先求得线段AB的中点即圆心，从而求得半径，写出方程；
（2）由时最小，再利用弦长公式求解.
【详解】（1）解：由题意可知圆的圆心为，半径为．
所以圆的方程为．
（2）易知当时最小，此时的斜率为，
所以直线的方程为，即，
所以．
18．已知过点的直线与抛物线（）交于，两点，且当的斜率为时，恰为中点．
(1)求的值；
(2)当经过抛物线的焦点时，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出直线方程后设出交点坐标，代入抛物线方程即可求解；
（2）给出直线方程后和抛物线方程联立，韦达定理结合面积公式即可求解.
【详解】（1）当斜率为时，由得，恰好经过坐标原点，
不妨设，则为抛物线上的点．
代入抛物线的方程得，解得．
（2）由（1）可知抛物线的焦点．当经过时，其方程为．
将其与抛物线的方程联立得．
设，，则，．
因此的面积．
19．抛掷一枚均匀的骰子次，将第次掷出的点数记为，第次掷出的点数记为．
(1)求的概率；
(2)记事件为“”，事件为“”，若且事件和事件为相互独立事件，求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）列举出两次掷出的点数的所有结果，再利用古典概率概率公式结合对立事件概率公式计算即得.
（2）求出，并确定事件的结果数，利用相互独立事件的概率公式求出，再逐一验证即得.
【详解】（1）将次掷出的点数记为，则所有的样本点为：
，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，
共个，且每个样本点出现的可能性相同，
使得的样本点有，，，，，，，，，共个，
因此，显然与为对立事件，
所以．
（2）由（1）知，，由和相互独立，即知，
此时等价于事件“且”，因此中仅有一个样本点，即，则，
而，，，，，
因此当且仅当时，且，所以所求的值为.
20．如图，长方体中，底面是边长为的正方形，侧棱，为棱的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)求直线与平面所成的角．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据长方体性质得出，再根据勾股定理得出，即可根据线面垂直的判定得出平面，即可根据面面垂直的判定得出答案；
（2）以点为原点，以、、分别为轴，建立空间直角坐标系，写出相关点坐标，得出相关向量，即可求出平面的法向量，即可根据线面角的向量求法，得出答案.
【详解】（1）是长方体，
平面,
平面,
,
是边长为的正方形，侧棱，且为棱的中点，
,,,
,
,
平面，平面，且，
平面，
平面，
平面平面.
（2）以点为原点，以、、分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则,,,,，
则,,,
设平面的法向量为，
则，解得：，
取，则，
设直线与平面所成角为，
则，
线面角范围为，
，即直线与平面所成角为.
21．已知双曲线经过点，直线和为双曲线的两条渐近线．
(1)求双曲线的方程；
(2)设直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线交于，两点，若与的斜率互为相反数，求直线的斜率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设双曲线的方程为，将点的坐标代入可得答案；
（2）解法一：设直线的方程为，与双曲线联立消去，设，
则与的横坐标为此方程的两个根，可得、，设，的斜率为，类似的可得、，再由可得答案．
解法二：设直线的方程为，与双曲线的方程联立消去，设，，由直线的斜率与的斜率和为0、韦达定理可得答案.
【详解】（1）由题意，可设双曲线的方程为，
将点的坐标代入得，
因此双曲线的方程为；
（2）解法一：设直线的斜率为，则直线的方程为，
即，与双曲线联立消去，
得．设，
则与的横坐标为此方程的两个根，即，
因此，
从而，
设，由题意，的斜率为，
类似的可得，，
因此直线的斜率，即直线的斜率为．
解法二：设直线的方程为，与双曲线的方程联立消去得．设，，则，．由于直线的斜率为，
的斜率为，因此，整理得，
所以，整理得，
即．由于当时，直线经过点不符合题意，
所以．综上所述，直线的斜率为．

【点睛】方法点睛：（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；（2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.
22．已知点，点分别是直线，上的动点，且，的中点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点作两条相互垂直的直线与，若与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，，，根据可得关系即得点的轨迹方程.
（2）化简，先计算当与一条与轴垂直时值，再设直线、方程联立，计算，换元转化为二次函数求值域即可.
【详解】（1）设，，，
则，．
由得，
从而，即曲线的方程为．
（2）由于，所以．
当与一条与轴垂直，另一条与轴垂直时，
不妨设，
可得
．
当与都不与坐标轴垂直时，不妨设，，其中．
将的方程与曲线的方程联立消去得，
显然对都有．设，，
则，，
因此．
同理可得．
所以．
令，有．
由于，因此，
从而．
综上所述，的取值范围是．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.