苏科版七年级上册6.2 角课时作业

这是一份苏科版七年级上册6.2 角课时作业，共40页。


(1)求∠AOD的度数；
(2)作射线OE，使∠BOE＝∠COE，求∠COE的度数；
(3)在（2）的条件下，作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，且∠DOF＝3∠BOH，直接写出∠AOH的度数．
2．点O是直线AB上的一点，射线OC从OA出发绕点O顺时针方向旋转，旋转到OB停止，设（），射线，作射线OE平分．
(1)如图1，若，且OD在直线AB的上方，求的度数（要求写出简单的几何推理过程）．
(2)射线OC顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线OD在直线AB的下方时，其他条件不变，请你用含的代数式表示的度数，（要求写出简单的几何推理过程）．
(3)射线OC从OA出发绕点O顺时针方向旋转到OB，在旋转过程中你发现与（）之间有怎样的数量关系？请你直接用含的代数式表示的度数．
3．如图，的方向是北偏东，的方向是西偏北．
(1)若，则的方向是________；
(2)是的反向延长线，的方向是________；
(3)可看作是绕点顺时针方向旋转度至所形成的角，作的平分线，方向是________；
(4)在（1）、（2）、（3）的条件下，是的反向延长线，求的度数．
4．已知，在下列各图中，点O为直线AB上一点，∠AOC＝60°，直角三角板的直角顶点放在点O处．
（1）如图1，三角板一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，则∠BOC的度数为 °，∠CON的度数为 °；
（2）如图2，三角板一边OM恰好在∠BOC的角平分线OE上，另一边ON在直线AB的下方，此时∠BON的度数为 °；
（3）在图2中，延长线段NO得到射线OD，如图3，则∠AOD的度数为 °；∠DOC与∠BON的数量关系是∠DOC ∠BON（填“＞”、“＝”或“＜”）；
（4）如图4，MN⊥AB，ON在∠AOC的内部，若另一边OM在直线AB的下方，则∠COM+∠AON的度数为 °；∠AOM﹣∠CON的度数为 °
5．一副直角三角板按如图1所示的方式放置在直线l上，已知AB=160，BC=80，点P以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C的路线运动；同时，三角板ADE（含45°）绕点A顺时针旋转，速度为每秒3°，当点P运动至点C时，全部停止运动，设运动时间为t秒．图2是运动过程中某时刻的图形．
(1)当点P到达点B时，△ADE转动了 °．
(2)当0＜t＜60时，若∠FAE与∠B互为余角，则t= ．
(3)在运动过程中，当t＝ 时，使得AE、AD、AB三条射线中，其中一条是另外两条射线夹角（小于180°）的角平分线．
(4)当△ACP的面积大于△ABC面积的一半，且△ADE的边所在直线与直线AB的夹角为90度时，直接写出：所有满足条件的t的取值之和为 ．
6．如图，，过点在的内部作射线，给出以下信息：①平分；②平分；③．请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩余的一条信息作为结论组成一个真命题．
(1)嘉嘉选取的条件是①②，结论是③，其说理过程如下，给下面的说理过程填写依据．
理由：因为（已知），
所以（ ）．
因为平分，平分（已知），
所以，（ ），
所以（ ），
所以（两角和的定义）．
(2)除了嘉嘉选择的以外，还有哪几种选择方式？并针对其中一个选择方式进行说理．
7．如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且．请回答下列问题：
(1)∠AOE度数是 ；∠DOE度数是 ；
(2)将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF．
①如图2，当OF平分∠BOE时，OB是否平分∠DOF？请说明其理由；
②当OA⊥OF时，请求出α的度数．
8．以直线上一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即，且直角三角板在直线的上方.
(1)如图1，若直角三角板的一边在射线上，则______；
(2)如图2，直角三角板的边在的内部.
①若恰好平分，求和的度数；
②请直接写出与之间的数量关系；
(3)若，求此时的度数.
9．如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，
(1)若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数；
(2)若∠AOE＝α，求∠BOD的度数？（用含α的代数式表示）
(3)从（1）（2）的结果中能看出∠AOE和∠BOD的关系为__________．
10．如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOM=90°．
(1)如图1，若OC平分∠AOM，求∠AOD的度数；
(2)如图2，若∠BOC=4∠NOB，且OM平分∠NOC，求∠MON的度数．
11．已知如图，直线AB、直线CD相交于点O，OE是内的一条射线，且，．
(1)求的度数；
(2)如图2，射线OM平分，射线ON在内部，且，求的度数．
12．如图，直线CD与EF相交于点O，将一直角三角尺AOB的直角顶点与点O重合．
（1）如图1，若，试说明；
（2）如图2，若，OB平分．将三角尺以每秒5°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒．
①，当t为何值时，直线OE平分；
②当，三角尺AOB旋转到三角POQ（A、B分别对应P、Q）的位置，若OM平分，求的值．
13．平面内两条直线、相交于点，，恰好平分．
（1）如图1，若∠AOE=40°，求∠BOD的度数；
（2）在图1中，若∠AOE=x°，请求出∠BOD的度数（用含有x的式子表示），并写出∠AOE和∠BOD的数量关系；
（3）如图2，当OA，OB在直线EF的同侧时，∠AOE和∠BOD的数量关系是否会发生改变？若不变，请直接写出它们之间的数量关系；若发生变化，请说明理由．
14．如图，直线与相交于，．
（1）若，求的度数．
（2）当______度时，
（3）若平分，当为锐角时，的度数与度数有什么关系？并说明理由．
15．如图所示，是平角，分别是的平分线．
（1）猜想与的位置关系，并说明理由．
（2）求的度数．
（3）如果只改变和的度数，其他条件不变，则与
有什么样的数量关系？请直接写出结论．
16．O为直线DA上一点，OB⊥OF，EO是∠AOB的平分线．
（1）如图（1），若∠AOB=130°，求∠EOF的度数；
（2）若∠AOB=α，90°＜α＜180°，求∠EOF的度数；
（3）若∠AOB=α，0°＜α＜90°，请在图（2）中画出射线OF，使得（2）中∠EOF的结果仍然成立．
17．已知直线CD⊥AB于点O，∠EOF＝90°，射线OP平分∠COF．
（1）如图1，∠EOF在直线CD的右侧：
①若∠COE＝30°，求∠BOF和∠POE的度数；
②请判断∠POE与∠BOP之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
（2）如图2，∠EOF在直线CD的左侧，且点E在点F的下方：
①请直接写出∠POE与∠BOP之间的数量关系；
②请直接写出∠POE与∠DOP之间的数量关系．
期末难点特训二 含角平分线与垂线的压轴题
1．如图，点O为直线AB上一点，∠BOC＝40°，OD平分∠AOC．
(1)求∠AOD的度数；
(2)作射线OE，使∠BOE＝∠COE，求∠COE的度数；
(3)在（2）的条件下，作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，且∠DOF＝3∠BOH，直接写出∠AOH的度数．
【答案】(1)70°
(2)24°或120°
(3)175°或170°或140°
【分析】（1）根据平角定义和角平分线定义即可得结果；
（2）根据题意分两种情况画图：①如图1，当射线OE在AB上方时，②如图2，当射线OE在AB下方时，∠BOE＝∠COE，利用角的和差进行计算即可；
（3）根据题意分四种情况画图：①如图3，当射线OE在AB上方，OF在AB上方时，作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，∠DOF＝3∠BOH，②如图4，当射线OE在AB上方，OF在AB下方时，③如图5，当射线OE在AB下方，OF在AB上方时，④如图6，当射线OE在AB下方，OF在AB下方时，利用角的和差进行计算即可．
（1）
解：∵∠BOC＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝140°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠AOC＝70°；
（2）
解：①如图1，当射线OE在AB上方时，∠BOE＝∠COE，
∵∠BOE＋∠COE＝∠BOC，
∴∠COE＋∠COE＝40°，
∴∠COE＝24°；
②如图2，当射线OE在AB下方时，∠BOE＝∠COE，
∵∠COE﹣∠BOE＝∠BOC，
∴∠COE﹣∠COE＝40°，
∴∠COE＝120°；
综上所述：∠COE的度数为24°或120°；
（3）
解：①如图3，当射线OE在AB上方，OF在AB上方时，
作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，∠DOF＝3∠BOH，
设∠BOH＝x°，则∠DOF＝3x°，∠FOC＝∠COD﹣∠DOF＝70°﹣3x°，
∵∠AOH＝∠AOD＋∠DOF＋∠FOH＝70°＋3x°＋90°＝160°＋3x°，
∠EOH＝∠BOC﹣∠COE﹣∠BOH＝40°﹣24°﹣x°＝16°﹣x°，
∴∠FOH＝∠FOC＋∠COE＋∠EOH＝70°﹣3x°＋24°＋16°﹣x°＝90°，
∴x°＝5°，
∴∠AOH＝160°＋3x°＝175°；
②如图4，当射线OE在AB上方，OF在AB下方时，
∵∠AOF＝∠DOF﹣∠AOD＝3x°﹣70°，
∠BOF＝∠FOH﹣∠BOH＝90°﹣x°，
∠AOF＋∠BOF＝180°，
∴3x°﹣70°＋90°﹣x°＝180°，
解得x°＝80°，
∵∠COB＝40°，
∵80°＞40°，
∴x°＝80°不符合题意舍去；
③如图5，当射线OE在AB下方，OF在AB上方时，
∵∠AOF＝∠DOF＋∠AOD＝3x°＋70°，
∠BOF＝∠FOH﹣∠BOH＝90°﹣x°，
∠AOF＋∠BOF＝180°，
∴3x°＋70°＋90°﹣x°＝180°，
解得x°＝10°，
∴∠AOH＝180°﹣∠BOH＝180°﹣x°＝170°；
④如图6，当射线OE在AB下方，OF在AB下方时，
∵∠AOF＝∠DOF﹣∠AOD＝3x°﹣70°，
∠BOF＝∠FOH＋∠BOH＝90°＋x°，
∠AOF＋∠BOF＝180°，
∴3x°﹣70°＋90°＋x°＝180°，
解得x°＝40°，
∴∠AOH＝∠AOF＋∠FOH＝50°＋90°＝140°，
综上所述：∠AOH的度数为175°或170°或140°．
【点睛】本题考查了角的计算，解决本题的关键是分情况画图讨论．
2．点O是直线AB上的一点，射线OC从OA出发绕点O顺时针方向旋转，旋转到OB停止，设（），射线，作射线OE平分．
(1)如图1，若，且OD在直线AB的上方，求的度数（要求写出简单的几何推理过程）．
(2)射线OC顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线OD在直线AB的下方时，其他条件不变，请你用含的代数式表示的度数，（要求写出简单的几何推理过程）．
(3)射线OC从OA出发绕点O顺时针方向旋转到OB，在旋转过程中你发现与（）之间有怎样的数量关系？请你直接用含的代数式表示的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)即或即或即或即
【分析】（1）根据，∠COD=90°，求出∠BOD=50°，根据OE平分∠BOD，即可得出结果；
（2）先用表示出∠BOC，再根据∠COD=90°表示出∠BOD，根据OE平分∠BOD，即可得出结果；
（3）分四种情况进行讨论，分别求出∠DOE与∠AOC的关系，用含α的代数式表示∠DOE的度数即可．
（1）
解：∵OD⊥OC，
∴∠COD=90°，
∵，即，
∴，
∵OE平分∠BOD，
∴．
（2）
，
，
∵OD⊥OC，
∴∠COD=90°，
∴
∵OE平分∠BOD，
∴．
（3）
①当，OD在直线AB的上方时，如图所示：
，
∵OE平分∠BOD，
∴，
即．
②当，OD在直线AB的下方时，如图所示：
∵，
∴，
∵OE平分∠BOD，
∴，
即．
③当，OD在直线AB的上方时，如图所示：
，
，
∵OE平分∠BOD，
∴，
即．
④当，OD在直线AB的下方时，如图所示：
∵，
，
∵OE平分∠BOD，
∴，
即．
综上分析可知，即或即或即或即．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，根据的大小和OD的位置分类讨论，是解决本题的关键．
3．如图，的方向是北偏东，的方向是西偏北．
(1)若，则的方向是________；
(2)是的反向延长线，的方向是________；
(3)可看作是绕点顺时针方向旋转度至所形成的角，作的平分线，方向是________；
(4)在（1）、（2）、（3）的条件下，是的反向延长线，求的度数．
【答案】(1)北偏东70°；
(2)南偏东40°；
(3)北偏东50°．
(4)
【分析】（1）根据余角的性质，可得∠AOB，可得答案；
（2）根据对顶角的性质，可得答案；
（3）根据垂线的性质，求解，可得方向角；
（4）根据角的和差求解 可得答案．
（1）
解：如图， 的方向是北偏东，的方向是西偏北．


∠AOC=∠AOB，

则OC的方向是北偏东70°；
（2）
OD是OB的反向延长线，

所以OD的方向是南偏东40°；
（3）
如图，∠BOD可看作是OB绕点O顺时针方向旋转180度至OD所形成的角，作∠BOD的平分线OE，


所以OE方向是北偏东50°．
（4）
如图，是的反向延长线，



【点睛】本题考查了方向角，角平分线的定义，垂直的含义，角的和差运算，掌握了角的和差，方向角的表示方法是解本题的关键．
4．已知，在下列各图中，点O为直线AB上一点，∠AOC＝60°，直角三角板的直角顶点放在点O处．
（1）如图1，三角板一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，则∠BOC的度数为 °，∠CON的度数为 °；
（2）如图2，三角板一边OM恰好在∠BOC的角平分线OE上，另一边ON在直线AB的下方，此时∠BON的度数为 °；
（3）在图2中，延长线段NO得到射线OD，如图3，则∠AOD的度数为 °；∠DOC与∠BON的数量关系是∠DOC ∠BON（填“＞”、“＝”或“＜”）；
（4）如图4，MN⊥AB，ON在∠AOC的内部，若另一边OM在直线AB的下方，则∠COM+∠AON的度数为 °；∠AOM﹣∠CON的度数为 °
【答案】（1）120；150；（2）30°；（3）30，=；（4）150；30．
【分析】（1）根据∠AOC=60°，利用两角互补可得∠BOC=180°﹣60°=120°，根据∠AON=90°，利用两角和∠CON=∠AOC+∠AON即可得出结论；
（2）根据OM平分∠BOC，可得出∠BOM=60°，由∠BOM+∠BON=∠MON=90°可求得∠BON的度数；
（3）根据对顶角求出∠AOD=30°，根据∠AOC=60°，可得∠DOC=∠AOC﹣∠AOD=60°﹣30°=30°=∠BON．
（4）根据垂直可得∠AON与∠MNO互余，根据∠MNO=60°（三角板里面的60°角），可求∠AON=90°﹣60°=30°，根据∠AOC=60°，求出∠CON=∠AOC﹣∠AON=60°﹣30°=30°即可．
【详解】解：（1）∵∠AOC=60°，∠BOC与∠AOC互补，∠AON=90°，
∴∠BOC=180°﹣60°=120°，∠CON=∠AOC+∠AON=60°+90°=150°．
故答案为120；150；
（2）∵三角板一边OM恰好在∠BOC的角平分线OE上，
由（1）得∠BOC=120°，
∴∠BOM=∠BOC=60°，
又∵∠MON=∠BOM+∠BON=90°，
∴∠BON=90°﹣60°=30°．
故答案为30°；
（3）∵∠AOD=∠BON（对顶角），∠BON=30°，
∴∠AOD=30°，
又∵∠AOC=60°，
∴∠DOC=∠AOC﹣∠AOD=60°﹣30°=30°=∠BON．
故答案为30，=；
（4）∵MN⊥AB，
∴∠AON与∠MNO互余，
∵∠MNO=60°（三角板里面的60°角），
∴∠AON=90°﹣60°=30°，
∵∠AOC=60°，
∴∠CON=∠AOC﹣∠AON=60°﹣30°=30°，
∴∠COM+∠AON=∠MON+2∠CON=90°+2×30°=150°，
∴∠AOM﹣∠CON=∠MON﹣2∠CON=90°﹣2×30°=30°．
故答案为150；30．
【点睛】本题考查图中角度的计算，角平分线的定义，对顶角性质，互为余角，补角，掌握角度的和差计算，角平分线的定义，对顶角性质，互为余角，补角是解题关键．
5．一副直角三角板按如图1所示的方式放置在直线l上，已知AB=160，BC=80，点P以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C的路线运动；同时，三角板ADE（含45°）绕点A顺时针旋转，速度为每秒3°，当点P运动至点C时，全部停止运动，设运动时间为t秒．图2是运动过程中某时刻的图形．
(1)当点P到达点B时，△ADE转动了 °．
(2)当0＜t＜60时，若∠FAE与∠B互为余角，则t= ．
(3)在运动过程中，当t＝ 时，使得AE、AD、AB三条射线中，其中一条是另外两条射线夹角（小于180°）的角平分线．
(4)当△ACP的面积大于△ABC面积的一半，且△ADE的边所在直线与直线AB的夹角为90度时，直接写出：所有满足条件的t的取值之和为 ．
【答案】(1)240
(2)10
(3)20或42.5或65
(4)195
【分析】（1）根据点P的运动可求出运动时间，再根据路程=速度×时间可求解；
（2）若∠FAE与∠B互余，则∠FAE=30°，由此可直接得出时间；
（3）分三种情况分类讨论，画出图形列出方程求解即可；
（4）由于三角形有三条边，分三种情况讨论，分别求出t的值，再求和即可．
（1）
解：当点P到达点B时，所用时间t=160÷2=80（s），
此时∠FAE=3°×80=240°，
故答案为：240；
（2）
解：当0＜t＜60时，点P在AB上，
由题意可知∠BAC=30°，∠B=60°，
若∠FAE与∠B互为余角，则∠FAE=30°，
∴t=30°÷3°=10（s），
故答案为：10；
（3）
解：根据题意可知，∠EAD=45°，
若AE、AD、AB三条射线中，其中一条是另外两条射线夹角（小于180°）的角平分线，需要分三种情况：
①当射线AD是∠BAE的平分线时，如图1，
此时∠EAD=∠BAD=45°，
∴∠EAF=180°-∠BAC-∠EAD-∠BAD=60°，
此时t=60°÷3°=20（s）；
②当射线AB是∠DAE的平分线时，如图2，
此时∠EAB=∠DAB=22.5°，
∴∠EAF=180°-∠BAC-∠BAE=137.5°，
∴t=137.5°÷3°=42.5（s）；
③当射线AE是∠BAD的平分线时，如图3，
此时∠DAE=∠BAE=45°，
∴∠EAC=∠BAE-∠BAC=15°，
∴t=（180°+15°）÷3°=65（s），
故答案为：20或42.5或65．
（4）
解：当△ACP的面积大于△ABC面积的一半时，点P在与AC平行的△ABC的中位线上方即可，此时t的取值范围为：160÷2÷2＜t＜（160+80÷2）÷2，
即40＜t＜100，
∴120°＜∠FAE＜300°，
根据题意可知，若△ADE的边所在直线与直线AB的夹角为90度，需要分以下三种情况：
①边DE⊥AB时，如图4，
此时∠EAF=150°，
∴t=150°÷3°=50（s）；
②边AD⊥AB时，如图5，
此时，射线AE旋转的角度为：150°+90°-45°=195°，
∴t=195°÷3°=65（s）；
③边AE⊥AB时，如图6，
此时，旋转角度为：150°+90°=240°，
∴t=240°÷3°=80（s），
∴50+65+80=195（s），
故答案为：195．
【点睛】本题角度的计算，包括垂直的定义，角平分线的定义等，涉及考查几何直观能力，分类讨论的数学思想，进行正确的分类及对t的限制是解题关键．
6．如图，，过点在的内部作射线，给出以下信息：①平分；②平分；③．请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩余的一条信息作为结论组成一个真命题．
(1)嘉嘉选取的条件是①②，结论是③，其说理过程如下，给下面的说理过程填写依据．
理由：因为（已知），
所以（ ）．
因为平分，平分（已知），
所以，（ ），
所以（ ），
所以（两角和的定义）．
(2)除了嘉嘉选择的以外，还有哪几种选择方式？并针对其中一个选择方式进行说理．
【答案】(1)垂线的定义，角平分线的定义，等式的性质；
(2)条件是①③，结论是②或者条件是②③，结论是①，说理见解析．
【分析】（1）根据各步骤的推理依据填写；
（2）根据垂直的定义及角平分线的计算进行证明即可．
（1）
解：由题意可得：
因为（已知），
所以（ 垂线的定义 ）．
因为平分，平分（已知），
所以，（ 角平分线的定义 ），
所以（ 等式的性质 ），
所以（两角和的定义），
故答案为：垂线的定义，角平分线的定义，等式的性质；
（2）
解：还可以有两种选择方式：
条件是①③，结论是②或者条件是②③，结论是①，
条件是①③，结论是②说理如下：
因为（已知），
所以（ 垂线的定义 ）．
因为（已知），
所以，
因为平分（已知），
所以（ 角平分线的定义 ），
所以（ 等式的性质 ），
即
所以平分（ 角平分线的定义 ）．
条件是②③，结论是①说理如下：
因为（已知），
所以（ 垂线的定义 ）．
因为（已知），
所以，
因为平分（已知），
所以（ 角平分线的定义 ），
所以（ 等式的性质 ），
即
所以平分（ 角平分线的定义 ）．
【点睛】本题考查角平分线的应用，熟练掌握角平分线的定义是解题关键 ．
7．如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且．请回答下列问题：
(1)∠AOE度数是 ；∠DOE度数是 ；
(2)将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF．
①如图2，当OF平分∠BOE时，OB是否平分∠DOF？请说明其理由；
②当OA⊥OF时，请求出α的度数．
【答案】(1)75°；135°
(2)①平分，理由见解析；②60°或者240°
【分析】（1）对于求解∠AOE与∠DOE的度数，首先从∠BOD=75°分析，它们之间有什么关系．根据对顶角相等，以及给出的角关系比例即可求出2个角的度数；
（2）要想得出OB是否平分∠DOF的结论，需要求出∠BOD与∠BOF的度数，进行比较即可得出结论；
②考虑到有两种情况即可，即为OF在如图所示位置与OF在上方位置．
（1）
∵直线AB、CD相交于点O，
∴∠BOD＝∠AOC＝75°
∵∠AOE＝∠COE，
∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝∠COE＝75°，
∴∠COE＝45°，
∴∠AOE＝30°，
∵∠AOD＝180°﹣∠BOD＝105°，
∠DOE＝∠AOE+∠AOD＝30°+105°＝135°，
故答案为：75°，135°；
（2）
①当OF平分∠BOE时
∵∠BOF＝∠BOE＝（∠COE+∠BOC）＝×150°＝75°，
∴∠BOF＝∠BOD＝75°，
∴当OF平分∠BOE时，OB是平分∠DOF．
②当OA⊥OF时，且OF在下方时，
∵∠COF＝90°﹣∠AOC＝90°﹣75°＝15°，
∴α＝∠COE+∠COF＝45°+15°＝60°，
当OA⊥OF时，且OF在上方时，OF相当于比在下方时多旋转了180°，
∴α＝60°+180°＝240°．
综上所述：当OA⊥OF时，α的度数为60°或者240°．
【点睛】本题考查了几何图形中角的计算，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．
8．以直线上一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即，且直角三角板在直线的上方.
(1)如图1，若直角三角板的一边在射线上，则______；
(2)如图2，直角三角板的边在的内部.
①若恰好平分，求和的度数；
②请直接写出与之间的数量关系；
(3)若，求此时的度数.
【答案】(1)
(2)①，；②
(3)的度数为或
【分析】(1)根据两个角互为余角，求出∠COD的度数；
(2)①根据平角定义先求出∠AOC，根据角平分线的定义得∠COE=∠AOE=∠AOC=65°进而求出∠BOD；②根据角的和差关系求出∠COE与∠BOD之间的数量关系；
(3)分两种情况分别论述：第一种情况， 如图1，当∠COD在∠BOC的内部时，第二种情
况，如图2，当∠COD在∠BOC的外部时，分别计算即可．
（1）
∵∠DOE= 90°，
∴∠DOB=90°，
∵∠BOC=50°
∴∠COD = 40°
故答案为：；
（2）
①∵，
∴．
∵恰好平分，
∴，
∴；
②与之间的数量关系为；
∵∠COD=∠BOC -∠BOD，
而∠COD+∠COE= 90°
∴∠BOC-∠BOD+∠COE=90°
∴∠COE-∠BOD= 90°-∠BOC．
∵∠BOC= 50°
∴∠COE-∠BOD = 40°；
（3）
第一种情况，如图1，当在的内部时，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴；
②如图2，当在的外部时，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
综上所述，的度数为或．
【点睛】本题考查了余角，角平分线的定义，熟练掌握余角，角平分线的定义的应用，分情况讨论是解题关键．
9．如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，
(1)若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数；
(2)若∠AOE＝α，求∠BOD的度数？（用含α的代数式表示）
(3)从（1）（2）的结果中能看出∠AOE和∠BOD的关系为__________．
【答案】(1)20°
(2)
(3)∠AOE=2∠BOD
【分析】（1）先求出∠AOF，根据角平分线定义求出∠FOC，根据对顶角相等求出∠EOD=∠FOC．再求出∠BOE，即可得出答案；
（2）同理（1）即可得出答案；
（3）由（1）（2）即可得出答案．
(1)
∵∠AOE+∠AOF=180°，∠AOE=40°，
∴∠AOF=140°；
又∵OC平分∠AOF，
∴∠FOC=∠AOF=70°，
∴∠EOD=∠FOC=70°．
∵∠BOE=∠AOB-∠AOE=50°，
∴∠BOD=∠EOD-∠BOE=20°；
(2)
∵∠AOE+∠AOF=180°，∠AOE=α，
∴∠AOF=180°-α；
又∵OC平分∠AOF，
∴∠FOC=∠AOF=90°-α，
∴∠EOD=∠FOC=90°-α．
∵∠BOE=∠AOB-∠AOE=90°-α，
∴∠BOD=∠EOD-∠BOE=α；
(3)
从（1）（2）的结果中能看出∠AOE=2∠BOD．
故答案为：∠AOE=2∠BOD．
【点睛】本题考查了邻补角、对顶角、角平分线定义等知识点，求出∠BOE和∠EOD的度数是解答此题的关键．
10．如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOM=90°．
(1)如图1，若OC平分∠AOM，求∠AOD的度数；
(2)如图2，若∠BOC=4∠NOB，且OM平分∠NOC，求∠MON的度数．
【答案】(1)135°
(2)54°
【分析】（1）由∠AOM=90°及角平分线的定义可得∠AOC的度数，再互补关系即可求得结果；
（2）由已知设∠NOB=x°，则∠BOC=4x°，∠CON=3x°，由角平分线的定义及垂直的条件可得关于x的方程，解方程即可求得结果．
（1）
∵∠AOM=90°，OC平分∠AOM
∴∠AOC=∠AOM=×90°=45°
∵∠AOC+∠AOD=180°
∴∠AOD=180°﹣∠AOC=180°﹣45°=135°
即∠AOD的度数为135°
（2）
∵∠BOC=4∠NOB
∴设∠NOB=x°，∠BOC=4x°
∴∠CON=∠COB﹣∠BON=4x°﹣x°=3x°
∵OM平分∠CON
∴∠COM=∠MON=∠CON=x°
∵∠BOM=x°+x°=90°
∴x=36
∴∠MON=x°=×36°=54°
即∠MON的度数为54°
【点睛】本题考查了角平分线的定义、垂直定义、互余与互补的定义等知识，运用了方程思想，熟练运用这些知识是关键．
11．已知如图，直线AB、直线CD相交于点O，OE是内的一条射线，且，．
(1)求的度数；
(2)如图2，射线OM平分，射线ON在内部，且，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据OE⊥CD，得∠COE=90°，由∠AOE:∠AOC=1:2，求出∠AOC，即可得答案；
（2）先求出∠AOD的度数，然后根据OM平分∠AOD，得出∠AOM的度数，求出∠BOM
的度数，即可得答案．
（1）
解：∵OE⊥CD，
∴∠COE=90°，
∵∠AOE:∠AOC=1:2，
∴∠AOC=90°× =60°，
∴∠BOD=∠AOC=60°；
（2）
由（1）可知：∠BOD=60°，
∴∠AOD=180°-∠BOD=180°-60°=120°，
∵OM平分∠AOD，
∴∠AOM= ×120°=60°，
∴∠BOM=180°-∠AOM=180°-60°=120°，
∴∠BON= ∠BOM=×120°=80°，
∴∠DON=∠BON-∠BOD=80°-60°=20°．
【点睛】本题考查了垂直定义、对顶角相等、角平分线的性质，做题的关键是角平分线的性质的运用．
12．如图，直线CD与EF相交于点O，将一直角三角尺AOB的直角顶点与点O重合．
（1）如图1，若，试说明；
（2）如图2，若，OB平分．将三角尺以每秒5°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒．
①，当t为何值时，直线OE平分；
②当，三角尺AOB旋转到三角POQ（A、B分别对应P、Q）的位置，若OM平分，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）①或；②
【分析】（1）根据垂直的性质即可求解；
（2）①分当OE平分时，和OF平分时根据旋转的特点求出旋转的角度即可求解；
②根据，可知OP在内部，根据题意作图，分别表示出， ，故可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴．
（2）①∵OB平分，，
∴．
情况1：当OE平分时，
则旋转之后，
∴OB旋转的角度为，
∴，．
情况2：当OF平分时，同理可得，OB旋转的角度为，
∴，．
综上所述，或．
②∵，
∴OP在内部，如图所示，
由题意知，，
∴，∵OM平分，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查角度的综合判断与求解，解题的关键是根熟知垂直的性质、角平分线的性质及角度的和差关系．
13．平面内两条直线、相交于点，，恰好平分．
（1）如图1，若∠AOE=40°，求∠BOD的度数；
（2）在图1中，若∠AOE=x°，请求出∠BOD的度数（用含有x的式子表示），并写出∠AOE和∠BOD的数量关系；
（3）如图2，当OA，OB在直线EF的同侧时，∠AOE和∠BOD的数量关系是否会发生改变？若不变，请直接写出它们之间的数量关系；若发生变化，请说明理由．
【答案】（1）；（2），；（3）不变，
【分析】（1）根据邻补角的定义和角平分线的定义解答即可；
（2）根据垂线的定义、邻补角的定义和角平分线的定义解答即可；
（3）根据（1）（2）解答即可．
【详解】（1），
，
平分，
，
，
，
；
（2），
，
平分，
，
，
，
；
；
（3）不变，．
【点睛】考查了垂线，角平分线的定义，邻补角的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
14．如图，直线与相交于，．
（1）若，求的度数．
（2）当______度时，
（3）若平分，当为锐角时，的度数与度数有什么关系？并说明理由．
【答案】（1）55°；（2）50°；（3）
【分析】（1）根据EF⊥CD，可以得到∠FEC=90°，由∠DEB=∠AEC即可求解；
（2）根据EF⊥CD，可以得到∠FED=90°，再根据∠AEF+∠FED+∠BED=180°即可求解；
（3）根据EG平分∠AEC，得到，再根据=180°，=90°，求解即可得到答案.
【详解】解：（1）∵∠DEB与∠AEC是对顶角，∠DEB=35°，
∴∠DEB=∠AEC=35°，
∵EF⊥CD，
∴∠FEC=90°，
∴∠AEF=∠CEF-∠CEA=55°；
（2）∵EF⊥CD，
∴∠FED=90°，
又∵∠AEF+∠FED+∠DEB=180°，
∴∠DEB=180°-∠AEF-∠FED=90°-∠AEF，
∴当∠DEB=50°的时候，∠AEF=40°；
（3）∵EG平分∠AEC，
∴，
∵=180°，
∴=180°①，
∵EF⊥CD，
∴∠FEC=90°，
∴=90°，
∴=90°②，
联立① ② 可得.
【点睛】本题主要考查了垂直的性质，角平分线的性质，对顶角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
15．如图所示，是平角，分别是的平分线．
（1）猜想与的位置关系，并说明理由．
（2）求的度数．
（3）如果只改变和的度数，其他条件不变，则与
有什么样的数量关系？请直接写出结论．
【答案】（1）与垂直，理由见解析；（2）的度数为；（3）．
【分析】（1）先根据平角的定义求出的度数，再跟垂直的定义即可得；
（2）先根据角平分线的定义求出的度数，再根据角的和差即可得；
（3）根据角平分线的定义、角的和差即可得．
【详解】（1）与垂直，理由如下：
是平角，
则与垂直；
（2）分别是的平分线
，
即的度数为；
（3）分别是的平分线
，
即．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、垂直的定义、角的和差，掌握并灵活运用角平分线的定义是解题关键．
16．O为直线DA上一点，OB⊥OF，EO是∠AOB的平分线．
（1）如图（1），若∠AOB=130°，求∠EOF的度数；
（2）若∠AOB=α，90°＜α＜180°，求∠EOF的度数；
（3）若∠AOB=α，0°＜α＜90°，请在图（2）中画出射线OF，使得（2）中∠EOF的结果仍然成立．
【答案】（1）25°；（2）90°；（3）见解析．
【分析】（1）首先利用角平分线的定义可得∠AOE的度数，由垂直的定义得∠BOF=90°，易得∠AOF，可得∠EOF；
（2）首先利用角平分线的定义可得∠AOE=，由垂直的定义得∠BOF=90°，易得∠AOF=α﹣90°，可得∠EOF；
（3）根据题意OB⊥OF，使得（2）中∠EOF的结果仍然成立，画出射线OF即可，再结合图形同理（2）可得结果．
【详解】解：（1）∵∠AOB=130°，EO是∠AOB的平分线，
∴=65°，
∵OB⊥OF，
∴∠BOF=90°，
∴∠AOF=∠AOB﹣∠BOF=130°﹣90°=40°，
∴∠EOF=∠AOE﹣∠AOF=65°﹣40°=25°；
（2）∵∠AOB=α，90°＜α＜180°，EO是∠AOB的平分线，
∴∠AOE=，
∵∠BOF=90°，
∴∠AOF=α﹣90°，
∴∠EOF=∠AOE﹣∠AOF=﹣（α﹣90°）=90°；
（3）如图，∵∠AOB=α，0°＜α＜90°，
∴∠BOE=∠AOE=，
∵∠BOF=90°，
∴∠EOF=∠BOF﹣∠BOE=90°．
17．已知直线CD⊥AB于点O，∠EOF＝90°，射线OP平分∠COF．
（1）如图1，∠EOF在直线CD的右侧：
①若∠COE＝30°，求∠BOF和∠POE的度数；
②请判断∠POE与∠BOP之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
（2）如图2，∠EOF在直线CD的左侧，且点E在点F的下方：
①请直接写出∠POE与∠BOP之间的数量关系；
②请直接写出∠POE与∠DOP之间的数量关系．
【答案】（1）①∠BOF= 30°，∠POE=30°，②∠POE＝∠BOP（2）①∠POE＝∠BOP②∠POE+∠DOP＝270°
【分析】（1）①根据余角的性质得到∠BOF＝∠COE＝30°，求得∠COF＝90°+30°＝120°，根据角平分线的定义即可得到结论；
②根据垂线的性质和角平分线的定义即可得到结论；
（2）①根据角平分线的定义得到∠COP＝∠POF，求得∠POE＝90°+∠POF，∠BOP＝90°+∠COP，于是得到∠POE＝∠BOP；
②根据周角的定义即可得到结论．
【详解】（1）①∵CD⊥AB，
∴∠COB＝90°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠COE+∠BOE＝∠BOE+∠BOF＝90°，
∴∠BOF＝∠COE＝30°，
∴∠COF＝90°+30°＝120°，
∵OP平分∠COF，
∴∠COP＝∠COF＝60°，
∴∠POE＝∠COP﹣∠COE＝30°；
②CD⊥AB，
∴∠COB＝90°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠COE+∠BOE＝∠BOE+∠BOF＝90°，
∴∠BOF＝∠COE，
∵OP平分∠COF，
∴∠COP＝∠POF，
∴∠POE＝∠COP﹣∠COE，∠BOP＝∠POF﹣∠BOF，
∴∠POE＝∠BOP；
（2）①∵∠EOF＝∠BOC＝90°，
∵PO平分∠COF，
∴∠COP＝∠POF，
∴∠POE＝90°+∠POF，∠BOP＝90°+∠COP，
∴∠POE＝∠BOP；
②∵∠POE＝∠BOP，∠DOP+∠BOP＝270°，
∴∠POE+∠DOP＝270°．
【点睛】本题考查了垂线，角平分线定义，角的和差，正确的识别图形是解题的关键．