云南省曲靖市第一中学2024届高三上学期教学质量监测（五）数学

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，且，则a的值为（ ）．
A. 1B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】解二次方程化简集合，再由集合的包含关系求得，进而利用元素的互异性即可得解.
【详解】因为且，
则集合A中必含元素0，1，所以或，得，
根据集合中元素的互异性可知：．
故选：B．
2. 已知，则虚部为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用复数运算法则化简式子求，根据求出即可知的共轭复数，求出的虚部即可.
【详解】，所以，，，
所以的虚部为13.
故选：C.
3. 已知，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】综合应用两角和与差的正弦、余弦和正切公式即可解决.
【详解】由，即，
可得，由正切的倍角公式可得．
故选：D．
4. 已知F是双曲线的左焦点，，P是双曲线右支上的一动点，则的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用双曲线定义得到，进而根据，即可求解
【详解】设双曲线的右焦点为，
由可知，，则，
因为P是双曲线右支上的一动点，根据双曲线的定义可知：
，
所以，
因为，
当且仅当，，三点共线时，达到最小值，
因为，，所以，
即的最小值为．
故选：C．
5. 根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为和，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周一去食堂一楼的概率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用贝叶斯概率公式求解即可.
【详解】记小赵同学周一去食堂一楼为事件A，周二去食堂一楼为事件B，
则本题所求．
故选：A．
6. 过点作圆的两条切线，设切点为A，B，则切点弦AB的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求以及切线长，再根据等面积法即可得结果.
【详解】圆，即，
易知，圆C的半径，所以切线长．
所以四边形的面积为．
所以根据等面积法知：，
所以．
故选：B．
7. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，成等差数列，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等差中项性质并结合正弦定理及正弦函数两角和差公式，倍角公式即可求解.
【详解】因为，所以．
又因为，，成等差数列，则．
根据正弦定理可得：，即，
展开得：，
进一步得：，
因为，可得，
又易知为锐角，所以，则，故A正确.
故选：A．
8. 已知函数及其导函数的定义域均为R，及，若，均为偶函数，则下列说法正确的是（ ）．
A. B. 的周期为2
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇函数和偶函数的定义，结合函数的周期性和对称性，即可判断.
【详解】因为是偶函数，则，即关于对称，
对两边同时求导可得：，
即，所以关于对称，
又因为是偶函数可得，即关于对称．
从而得的周期为4．所以的周期也为4．
对于选项A，因为若满足题意，则也满足题意．故的值不确定，所以A错；
对于选项B， 的周期为4，所以B错；
对于选项C， 的周期也为4，所以，所以C对；
对于选项D，关于对称，所以，所以D错．
故选：C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知，都是正数，且，则下列说法正确的是（ ）．
A. 的最大值为B. 的最小值为
C. 的最小值为D. 的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用基本不等式可对A，C、D判断；利用基本不等式“1”的应用可对B判断；
【详解】对A：可得，当且仅当，即，时成立，故A选项正确；
对B：由，得，
所以，故，
当且仅当时成立，故B选项正确；
对C：，由A知，所以，
仅当，即，时成立，故C选项错误；
对D：由A知，所以，
当且仅当，即，时成立，故D选项正确．
故选：ABD．
10. 已知抛物线，O为坐标原点，直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线C交于点A，B两点，设，，抛物线C的准线与x轴的交点为G．则下列说法正确的是（ ）
A. B. 当时，直线l的斜率为
C. GF始终平分D.
【答案】BC
【解析】
【分析】设直线l的方程为：，联立直线与抛物线的方程通过韦达定理可判断A，通过弦长公式可判断B，通过可判断C，由三角形面积公式可判断D.
【详解】显然直线l的斜率不为0，
设直线l的方程为：，
联立直线与抛物线得，则，
所以，所以A选项错误；
又因为，可得，
即，所以，所以B选项正确；
即证，
即，
所以C选项正确；
由上述知：，已知直线方程为：，
则，
所以，
当且仅当时成立，所以，所以D选项错误．
故选：BC．
11. 已知函数，如图，，是直线与曲线的两个交点，若，则下列说法正确的是（ ）．
A. ，B. 在上单调递增
C. 是的一条对称轴D. 是曲线的一条切线
【答案】AD
【解析】
【分析】由函数的图象可确定，的值，从而确定单调性和对称性，再通过求导得到切线方程.
【详解】设，，则．
因为，,
所以，，，
所以，即，即．
又因为，且为下降零点，
所以，，
即，，
故取．故．所以A选项正确；
当，，显然不是单调增区间，所以B选项错误；
将代入方程得，显然不是对称轴，
所以C选项错误；
令得或，
取点得其中一条切线为，所以D选项正确．
故选:AD．
12. 远看曲靖一中文昌校区紫光楼主楼，一顶巨大的“博士帽”屹立在爨园之中．其基础主体结构可以看做是一个倒扣的正四棱台．如图所示，过作底面的垂线，垂足为G．记，，，面与面所成角为，面与面所成角为x，，，，则（ ）
A. 正四棱台体积为
B.
C.
D
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据正四棱台的体积计算公式即可判断A选项；作出面与面的二面角，分别写出的表达式，即可判断B选项；根据，，，均为直角三角形．得到，即可判断C选项；作出面与面的二面角，通过余弦定理即可判断D选项.
【详解】对于A，根据正四棱台体积计算公式：
，所以A正确；
对于B，过G点作BC边的垂线交BC于H点，
因为，面，面，所以，
又面，
所以面，所以就为面与面所成角的二面角，
则，，则．所以B错误；
对于C，因为面，面，
所以，，，均为直角三角形．
所以,即．所以C正确；
对于D，过H点作的垂线，交于I，再在平面内过I作的垂线交BG于J．
易知此时面与面所成角的二面角就为．
设，则，．，
，
由余弦定理可知：，
，
，
，所以D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量，，则__________．
【答案】8
【解析】
【分析】利用向量数量积及平方差公式可得答案.
【详解】．
故答案为：8.
14. 已知等差数列中，，．记，则数列中的最小项为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出数列的通项公式，求出，观察可得答案.
【详解】因为等差数列，所以公差，即．
由于，，，，
所以，，，，
所以．
故答案为：
15. 若函数的图象在内恰好有两条对称轴，则实数的值可以是__________（写出一个满足题意的即可）．
【答案】或（只写一个即可）
【解析】
【分析】根据求得，结合已知条件图象在内恰好有两条对称轴，求得关于的不等式解出范围，因确定的值.
【详解】因为，则，
因为需要包含两条相邻的对称轴，因为在区间内，则有，
即，所以或4．
故答案为：或（只写一个即可）
16. 已知函数，其中且．若存在两个极值点，，则实数a的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数存在两个极值点，得出导函数存在两个不同的变号零点，研究导函数的零点，即，令，，分和两种情况讨论，根据与有两个交点，求出过原点的切线，比较过原点的切线的斜率与斜率，得出关于两斜率的不等式求解即可.
【详解】对函数求导得：，
因为存在两个极值点，所以有两个不同的变号零点．
令，有 ，令，，
所以与有两个交点；
当时，，，
设过原点的直线与的切点坐标为，
切线斜率为，
所以切线方程为：，
将原点坐标带入切线方程得．
此时切线的斜率为：，现在需要有两个交点，
即，因为，有，所以，所以；
同理知当时，， ， 即，所以．
综上知：的取值范围为．
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知在中，，，．
（1）求的外接圆半径R；
（2）求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据内角和求出，由正弦定理即可得结果；
（2）通过两角和与差的正弦公式可得，即得，，最后根据即可得结果.
【小问1详解】
因为，，所以．
又因为，所以根据正弦定理得：，
所以．
【小问2详解】
因为，
展开可得：，即，
所以，，
因为，
所以．
18. 如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，且，，，为边上的一点，满足．
（1）求证：直线面；
（2）为线段的中点，求直线与平面所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接交于，再连接，证明出，可得出，可证明出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的余弦值.
【小问1详解】
证明：连接交于，再连接．

因为，则，，则，
所以，，
又因为，则，所以，，所以，，
因为平面，平面，因此，平面.
【小问2详解】
解：由题可得：平面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系．

则，，，，
因为为线段的中点，则，所以，，．
设面的法向量为，则，
取，可得，
又因为，设直线与平面所成角为，
则，
则，
因此，直线与平面所成角的余弦值为.
19. 某兴趣小组利用所学统计与概率知识解决实际问题．
（1）现有甲池塘，已知小池塘里有10条鲤鱼，其中红鲤鱼有4条．若兴趣小组捉取3次，每次从甲池塘中有放回地捉取一条鱼记录相关数据．用X表示其中捉取到红鲤鱼的条数，请写出X的分布列，并求出X的数学期望．
（2）现有乙池塘，已知池塘中有形状大小相同的红鲤鱼与黑鲤鱼共10条，其中红鲤鱼有条，身为兴趣小组队长的骆同学每次从池塘中捉了1条鱼，做好记录后放回池塘，设事件A为“从池塘中捉取鱼3次，其中恰有2次捉到红鲤鱼”．当时，事件A发生的概率最大，求的值．
【答案】19. 分布列见解析，
20.
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求出每次捉到红鲤鱼的概率，，根据二项分布的公式可以求出分布列期望.
（2）根据已知条件求出的表达式，求导判断函数的单调性，求出函数最值，结合且，比较，大小确定值.
【小问1详解】
由题可得：，，，，
可得：每次捉到红鲤鱼的概率为．
易知，；；
；．
分布列如表所示：
所以．
【小问2详解】
每次捉鱼，捉到红鲤鱼的概率为，则捉到黑鲤鱼的概率为．
所以，其中且，
令，则，解得或，
故在上，为增函数，在上，为减函数，
所以．
又因为且，所以验证，，
所以，所以，
综上所述：事件A发生的概率最大时.
20. 已知数列是公差为的等差数列，是的前n项和，．
（1）若，且，求数列的通项公式；
（2）若，数列的首项为，满足，记数列的前n项和为，求．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列通项列式，求出公差即可求出通项公式.
（2）利用等差数列通项列式，求出的关系，利用构造法求出数列的通项，再借助分组求和即得.
【小问1详解】
由数列是等差数列，，得，则，
所以数列的通项公式为：．
【小问2详解】
因为数列是等差数列，且满足，
则，
又，则化简得：，于是，
由，得，因此数列是以3为首项，3为公比的等比数列，
则，即，所以.
21. 已知抛物线，其顶点在坐标原点，直线与抛物线交于M，N两点，且．
（1）求抛物线O的方程．
（2）已知，，，是抛物线O上的三个点，且任意两点连线斜率都存在．其中，均与相切，请判断此时圆心到直线的距离是否为定值，如果是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．
【答案】（1）
（2）是定值，定值为
【解析】
【分析】（1）先由题意求得的坐标，从而利用向量数量积的坐标表示求得，由此得解；
（2）充分利用，得到直线与的方程，利用与圆相切的性质同构出直线的方程，从而得解.
【小问1详解】
因为与抛物线相交，
联立，解得，则，．
因为，所以，
所以，则抛物线的方程为．
【小问2详解】
由题易知直线，，斜率一定存在，
设，，，则，
则直线的方程为：，
即，即，
因为的圆心为，半径为，
因为直线与圆相切得：，
平方化简得：，
看成关于，为变量的式子得：，
同理得直线与圆相切，化简式子后得：，
所以可以同构出直线的方程为：，
则所以圆心到直线的距离为：
，
此时圆心到直线的距离为定值，定值为.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是同构出直线的方程，从而得解.
22. 已知函数和有相同的最大值.
（1）求a；
（2）证明：存在直线y=b，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由导数确定函数的单调性，得最大值，由最大值相等得参数值 ；
（2）设，由（1）确定，结合（1）中所得单调性，利用零点存在定理证明函数存在两个零点，得与的图象有两个交点，同理得与也有两个交点，于是为满足题意有两个交点重合，结合可得出三个交战的横坐标之间的关系，从而证得结论成立.
【小问1详解】
定义域是，的定义域是，
因为，
当时，,,
,,
则在上单调递减，在单调递增，不存在最大值，
在上单调递减，在单调递增，也不存在最大值；
同理知当时，在上单调递增，在单调递减，
在上单调递增，在单调递减，
所以有极大值，即的最大值，
有极大值，即最大值，
所以，即；
【小问2详解】
由（1）知，
由于时，，时，，因此只有才可能满足题意，
记，且，
由（1）得在上单调递增，在单调递减，
且，
所以存在，使得，
设，则，
设，则，
时，，递减，时，，递增，
所以，
所以，是增函数，时，，
，
又，所以存在，使得，
即此时与有两个交点，
其中一个交点在内，另一个交点在内，
同理与也有两个交点，
其中一个交点在内，另一个交点在内，
若与和共有三个不同的交点，
则其中一个交点为两条曲线和的公共点，记其横坐标为，
令，则，
记与的三个交点的横坐标从左到右依次为，
且满足，
且，即，
又，且，
且在和上分别单调，所以，即，
所以为的等比中项，
所以从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
【点睛】本题考查用导数求函数最值，用导数研究方程的根的问题，属于难题.对于方程的根的问题，难点在于寻找两个方程的根之间的关系，首先第一步由零点存在定理证明存在两个零点（方程有两个根），其次通过函数式关系找到两个方程的根之间的关系，再根据等比数列的性质证明结论成立.
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