2023-2024学年广东省汕头市澄海中学八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省汕头市澄海中学八年级（上）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值，下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如图的伸缩门，其原理是( )
A. 三角形的稳定性B. 四边形的不稳定性C. 两点之间线段最短D. 两点确定一条直线
3.如图，两个三角形是全等三角形，那么x的值是( )
A. 30°B. 45°C. 50°D. 85°
4.如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在垂直于AB的河岸上作出线段BC，并在BC延长线上取一点D，使CD=BC，再过点D作垂线段DE，使点E，C，A在一条直线上，则可判断△ABC≌△EDC的理由是( )
A. HLB. SASC. AASD. ASA
5.下列语句中，正确的是( )
A. 等腰三角形底边上的中线就是底边上的垂直平分线
B. 等腰三角形的对称轴是底边上的高
C. 一条线段可看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形
D. 等腰三角形的对称轴就是顶角平分线
6.如图，已知∠ABC=∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是
( )
A. ∠A=∠DB. ∠ACB=∠DBCC. AC=DBD. AB=DC
7.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B=60°，∠C=25°，则∠BAD为( )
A. 70°
B. 75°
C. 80°
D. 50°
8.如图所示，在△ABC中，∠A=∠B=50°，AK=BN，AM=BK，则∠MKN的度数是( )
A. 50°B. 60°C. 70°D. 100°
9.如图，已知△ABC≌△A′BC′，AA′/​/BC，∠ABC=70°，则∠CBC′的度数是( )
A. 40°B. 35°C. 55°D. 20°
10.如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，PE=2，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.如果点M是OP的中点，则DM的长是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.如果一个n边形的内角和等于它的外角和的3倍，则n=______．
12.从平面镜子中看到镜子对面电子钟示数的像如图所示
，这时的时刻应是______．
13.已知射线OM.以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，如图所示，则∠AOB=______(度)
14.已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为________．
15.如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，若∠DAE=28°，则∠BAC=______°.
16.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，BC=5，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，则DE长是______ ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
如图所示的“钻石”型网格(由边长都为1个单位长度的等边三角形组成)，其中已经涂黑了3个小三角形(阴影部分表示)，请你分别在甲、乙、丙三个图中涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形．
18.(本小题6分)
两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC.求证：
(1)△ABE≌△ACD；
(2)DC⊥BE．
19.(本小题6分)
如图，等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC于点F，且DF=EF．
(1)求证：CD=BE；
(2)若AB=12，试求BF的长．
20.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分EBAC．

(1)若∠B=70°，∠C=40°，求∠DAE的度数．
(2)若∠B−∠C=30°，则∠DAE=______．
(3)若∠B−∠C=α(∠B>∠C)，求∠DAE的度数(用含α的代数式表示)
21.(本小题10分)
“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．
(1)请你根据已经学过的知识求出下面星形图(1)中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；
(2)若对图(1)中星形截去一个角，如图(2)，请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
(3)若再对图(2)中的角进一步截去，你能由题(2)中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗？(只要写出结论，不需要写出解题过程)
22.(本小题10分)
如图△ABC为等边三角形，直线a//AB，D为直线BC上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE=60°．
(1)若D在BC上(如图1)求证CD+CE=CA；

(2)若D在CB延长线上，CD、CE、CA存在怎样数量关系，给出你的结论并证明．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】本题考查的是轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
根据轴对称图形的概念进行判断即可．
解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
2.【答案】B
【解析】[分析]
根据四边形的不稳定性，可得答案．本题考查了三角形的稳定性及四边形的不稳定性，注意其中关联之处．
[详解]
解：如图的伸缩门，其原理是四边形的不稳定性，
故选B．
3.【答案】C
【解析】解：180°−85°−45°=50°，
∵两个三角形是全等三角形，
∴x=50°，
故选：C．
根据三角形内角和定理、全等三角形的性质解答．
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵AB⊥BC，ED⊥CD，
∴∠ABC=90°=∠EDC．
在△ABC与△EDC中，
∠ABC=∠EDC=90°BC=DC∠ACB=∠ECD，
∴△ABC≌△EDC(ASA)．
故选：D．
根据AB⊥BC、ED⊥CD，即可得出∠ABC=∠EDC，再结合DC=BC以及相等的对顶角∠ECD=∠ACB，即可利用全等三角形的判定定理ASA证出△EDC≌△ABC，由此即可得出结论．
本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是如何将实际问题与数学知识有机的结合在一起．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了三角形的基本性质，在三角形中，高、中线对应的都是一条线段，而角平分线对应的是一条射线．这些都属于基本的概念问题，要能够吃透概念、定义．在三角形中，高、中线对应的都是一条线段，而角平分线对应的是一条射线．垂直平分线对应的是直线、对称轴对应的同样为一条直线，根据各种线之间的对应关系即可得出答案．
【解答】解：A.三角形中，中线是连接一个顶点和它所对边的中点的线段，而线段的垂直平分线是直线，故A错误；
B.三角形的高对应的是线段，而对称轴对应的是直线，故B错误；
C.线段是轴对称图形，对称轴为垂直平分线，故C正确；
D.角平分线对应的是射线，而对称轴对应的是直线，故D错误．
故选C．
6.【答案】C
【解析】本题考查了全等三角形的判定，能正确根据全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS.根据定理逐个判断即可．
解：A、∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合AAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项不合题意；
B、∠ABC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC，符合ASA，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项不合题意；
C、∠ABC=∠DCB，AC=BD，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故本选项符合题意；
D、AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项不合题意．
故选：C．
7.【答案】A
【解析】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C=25°，
∵∠B=60°，∠C=25°，
∴∠BAC=95°，
∴∠BAD=∠BAC−∠DAC=70°，
故选：A．
根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC=∠C，根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，计算出结果．
本题考查的是线段垂直平分线的性质的知识，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查全等三角形的判定和性质及三角形内角和定理的运用，利用条件判定△AMK≌△BKN是解题的关键．利用“SAS”证△AMK≌△BKN得∠AMK=∠BKN，根据∠A=50°知∠AMK+∠AKM=130°，从而得∠BKN+∠AKM=130°，据此可得答案．
【解答】
解：在△AMK和△BKN中，
∵AM=BK∠A=∠BAK=BN,
∴△AMK≌△BKN(SAS)，
∴∠AMK=∠BKN，
∵∠A=∠B=50°，
∴∠AMK+∠AKM=130°，
∴∠BKN+∠AKM=130°，
∴∠MKN=50°，
故选A．
9.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
根据平行线的性质得到∠BAA′=∠ABC=70°，根据全等三角形的性质、等腰三角形的性质计算即可．
【解答】
解：∵AA′/​/BC，
∴∠BAA′=∠ABC=70°，
∵△ABC≌△A′BC′，
∴BA=BA′，∠A′BC′=∠ABC=70°，
∴∠BAA′=∠BA′A=70°，
∴∠A′BA=40°，
∴∠ABC′=30°，
∴∠CBC′=40°，
故选：A．
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是角平分线的性质、直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
根据角平分线的性质得到PD=PE=2，根据直角三角形中，30°的直角边是斜边的一半、直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到DM=DP，得到答案．
【解答】
解：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE=2，
∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，
∴∠POD=30°，
∵PD⊥OA，
∴PD=12OP，
∵PD⊥OA，点M是OP的中点，
∴DM=12OP，
∴DM=DP=2，
故选B．
11.【答案】8
【解析】解：由题意得：180(n−2)=360×3，
解得：n=8，
故答案为：8．
根据多边形内角和公式180°(n−2)和外角和为360°可得方程180(n−2)=360×3，再解方程即可．
此题主要考查了多边形内角和与外角和，要结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程即可求解．
12.【答案】21：05
【解析】解：方法一：将显示的像数字依次左右互换并将每一个数字左右反转，得到时间为21：05；
方法二：将显示的像后面正常读数为21：05就是此时的时间．
故答案为：21：05
平面镜成像的特点：像与物关于平面镜对称，根据这一特点可解答出电子钟示数的像对应的时间．
此题考查镜面对称，平面镜成像的特点之一就是左右上下互换，数字时钟的像对应的时间一般从后面读数即为像对应的时间，也可将数字左右互换，并将每一个数字左右反转，即为像对应的时间．
13.【答案】60
【解析】解：连接AB，
根据题意得：OB=OA=AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°．
故答案为：60．
首先连接AB，由题意易证得△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得∠AOB的度数．
此题考查了等边三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是能根据题意得到OB=OA=AB．
14.【答案】50°或80°
【解析】解：∵等腰三角形的一个外角为130°，
∴与此外角相邻的内角为50°，
当50°为顶角时，其他两角都为65°、65°，
当50°为底角时，其他两角为50°、80°，
所以等腰三角形的顶角为50°或80°．
故答案为：50°或80°．
等腰三角形的一个外角等于130°，则等腰三角形的一个内角为50°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．
15.【答案】104
【解析】解：∵AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，
∴DA=DB，EA=EC，
∴∠B=∠DAB，∠C=∠EACM
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠DAE=28°，
∴2∠B+2∠C+∠DAE=180°，
∴∠B+∠C=76°，
∴∠BAC=180°−76°=104°．
故答案为104．
想办法求出∠B+∠C的度数即可解决问题；
本题考查线段的垂直平分线的性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
16.【答案】127
【解析】解：作 DH⊥AC 于 H，
∵AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于点 E，
∴DH=DE，
∵△ABC 为直角三角形，AB=4，AC=3，BC=5，
∴12DE⋅AB+12DH⋅AC=12AB⋅AC，
∴DH=DE=127．
故答案为：127．
作 DH⊥AC于H，利用角平分线的性质证得DH=DE，由△ABC的三边长，根据三角形的面积公式得12×DE⋅AB+12×DH⋅AC=12AB⋅AC，代入数值计算即可求得DE的值．
本题考查了三角形的角平分线，解题的关键是掌握角平分线的性质定理．
17.【答案】解：如图所示：
．
【解析】根据轴对称的性质进行作图即可．
本题主要考查了利用轴对称设计图案以及等边三角形的性质，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
18.【答案】证明：(1)∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°．
∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE．
即∠BAE=∠CAD，
在△ABE与△ACD中，
∵AB=AC∠BAE=∠CADAE=AD，
∴△ABE≌△ACD．
(2)∵△ABE≌△ACD，
∴∠ACD=∠ABE=45°．
又∵∠ACB=45°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°．
∴DC⊥BE．
【解析】(1)此题根据△ABC与△AED均为等腰直角三角形，容易得到全等条件证明△ABE≌△ACD；
(2)根据(1)的结论和已知条件可以证明DC⊥BE．
此题是一个实际应用问题，利用全等三角形的性质与判定来解决实际问题，关键是理解题意，得到所需要的已知条件．
19.【答案】解：(1)如图，作DM/​/AB，交CF于M，则∠MDF=∠E，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°=∠CDM=∠CMD，
∴△CDM是等边三角形，
∴CD=DM，
在△DMF和△EBF中，
{∠MDF=∠EF=EF∠DFM=∠EFB,
∴△DMF≌△EBF(ASA)，
∴DM=BE，
∴CD=BE；
(2)∵ED⊥AC，∠A=60°=∠ABC，
∴∠E=∠BFE=∠DFM=∠FDM=30°，
∴BE=BF，DM=FM，
又∵△DMF≌△EBF，
∴MF=BF，
∴CM=MF=BF，
又∵AB=BC=12，
∴BF=4．
【解析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作平行线，构造等边三角形和全等三角形，根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质进行求解．
(1)先作DM/​/AB，交CF于M，可得△CDM为等边三角形，再判定△DMF≌△EBF，最后根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，得出结论；
(2)根据ED⊥AC，∠A=60°=∠ABC，可得∠E=∠BFE=∠DFM=∠FDM=30°，由此得出CM=MF=BF=13BC，最后根据AB=12即可求得BF的长．
20.【答案】解：∵AD⊥BC于D，
∴∠ADC=90°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=12∠BAC，而∠BAC=180°−∠B−∠C，
∴∠EAC=90°−12∠B−12∠C，
∵∠DAC=90°−∠C，
∴∠DAE=∠DAC−∠EAC=90°−∠C−[90°−12∠B−12∠C]
=12(∠B−∠C)，
(1)若∠B=70°，∠C=40°，则∠DAE=12(70°−40°)=15°；
(2)15°；
(3)若∠B−∠C=α(∠B>∠C)，则∠DAE=12α.
【解析】【分析】
本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义的知识，解题关键点是熟练掌握这些性质．
根据垂直定义由AD⊥BC得∠ADC=90°，再利用角平分线定义得∠EAC=12∠BAC，然后根据三角形内角和定理得∠BAC=180°−∠B−∠C，∠DAC=90°−∠C，则∠DAE=12(∠B−∠C)．
(1)把∠B=70°，∠C=40°代入∠DAE=12(∠B−∠B)中计算即可；
(2)把∠B−∠C=30°代入∠DAE=12(∠B−∠C)中计算即可；
(3)把∠B−∠C=α(∠B>∠C)代入∠DAE=12(∠B−∠C)中计算即可．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)若∠B−∠C=30°，则∠DAE=12×30°=15°，
故答案为15°；
(3)见答案．
21.【答案】解：(1)∵∠1=∠2+∠D=∠B+∠E+∠D，∠1+∠A+∠C=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°；
(2)∵∠1=∠2+∠F=∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°；
(3)能.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N=1080°．
【解析】(1)根据三角形外角的性质和三角形内角和定理可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；
(2)根据三角形外角的性质和四边形内角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
(3)根据图中可找出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，并且每截去一个角则会增加180度，由此即可求出答案．
本题主要考查了多边形的内角与外角之间的关系．有关五角星的角度问题是常见的问题，其5个角的和是180度．解此题的关键是找到规律利用规律求解．
(1)见答案;
(2)见答案;
(3)解：根据图(2)可得出规律，在图(1)的基础(∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°)上，每截去一个角则会增加180度，所以当截去5个角时增加了(180×5)度，
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N=180°×5+180°=1080°．
22.【答案】(1)证明：在AC上取点F，使CF=CD，连接DF．
∵∠ACB=60°，
∴△DCF为等边三角形．
∴∠3+∠4=∠4+∠5=60°．
∴∠3=∠5．
∵∠1+∠ADE=∠2+∠ACE，
∴∠1=∠2．
在△ADF和△EDC中，
∠1=∠2∠3=∠5DF=DC，
∴△ADF≌△EDC(AAS)．
∴CE=AF．
∴CD+CE=CF+AF=CA．
(2)解：CD、CE、CA满足CE+CA=CD；
证明：
在CA延长线上取CF=CD，连接DF．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∵CF=CD，
∴△FCD为等边三角形．
∵∠1+∠2=60°，
∵∠ADE=∠2+∠3=60°，
∴∠1=∠3．
在△DFA和△DCE中
∠F=∠DCEDF=CD∠1=∠3，
∴△DFA≌△DCE(ASA)．
∴AF=CE．
∴CE+CA=FA+CA=CF=CD．
注：证法(二)以CD为边向下作等边三角形，可证．
证法(三)过点D分别向CA、CE作垂线，也可证．
【解析】(1)实际上也就是求两条线段相等，在AC上取一点F，使CF=CD，然后求证△ADF≌△EDC即可．
(2)归根究底仍是求两条线段的问题，通过求证全等，最终得出几条边之间的关系．
本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；可围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定线段相等，证得三角形全等是正确解答本题的关键．