2023-2024学年吉林省白城市通榆县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省白城市通榆县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.“瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用．瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列事件必然发生的是( )
A. 某人买一张彩票就中了大奖B. 李明同学下次数学考试满分
C. 三点确定一个圆D. 两点确定一条直线
3.用配方法将一元二次方程x2−4x−1=0变形为(x−2)2=m，则m的值是( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
4.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，若∠B=60°，则∠1的度数是( )
A. 15°
B. 25°
C. 10°
D. 20°
5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，若AB=OA=OB，则∠C等于( )
A. 30°
B. 40°
C. 60°
D. 80°
6.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，点P、点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为(−1,0)，则点Q的坐标为( )
A. (0,−1)
B. (2,0)
C. (4,0)
D. (3,0)
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.点A(−1,2)关于原点对称的点的坐标是______．
8.不透明的袋子中装有5个球，其中有2个红球、3个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为______ ．
9.将抛物线y=−2x2向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线对应的解析式为______ ．
10.如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P=40°，则∠ACB=______°.
11.如图，在⊙O中，直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为点E，若OE=3，则CD= ______ ．
12.某小区2014年绿化面积为2000平方米，计划2016年绿化面积达到2880平方米，如果每年绿化面积的增长率相同.设平均增长率为x，根据题意列方程得______ ．
13.若一个三角形的两边长分别是4和6，第三边的长是方程x2−17x+60=0的一个根，则该三角形的第三边长是______．
14.如图，是某公园一圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA=1.25m，A处是喷头，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，水落地后形成一个圆，圆心为O，直径为线段CB.建立如图所示的平面直角坐标系，若水流路线达到最高处时，到x轴的距离为2.25m，到y轴的距离为1m，则水落地后形成的圆的直径CB=______m.
三、计算题：本大题共2小题，共13分。
15.解方程：(x−3)2+2x(x−3)=0．
16.某种小商品的成本价为10元/kg，市场调查发现，该产品每天的销售量w(kg)与销售价x(元/kg)有如下关系w=−2x+100，设这种产品每天的销售利润为y(元)．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
四、解答题：本题共10小题，共71分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式．京剧表演中，经常用脸谱象征人物的性格，品质，甚至角色和命运．如红脸代表忠心耿直，黑脸代表强悍勇猛．现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“红脸”，另外一张卡片的正面图案为“黑脸”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．
请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率．(图案为“红脸”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“黑脸”的卡片记为B)
18.(本小题5分)
关于x的方程x2+2(m+1)x+m2−8=0有实数根，求m的取值范围．
19.(本小题5分)
如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为30cm，贴纸部分的宽BD为20cm，求贴纸部分的面积(纸扇有两面，结果精确到0.1cm2).
20.(本小题7分)
如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−6,0)、B(−2,3)、C(−1,0)．
(1)将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°.画出对应的△A′B′C′图形；
(2)若四边形A′B′C′D′为平行四边形，请直接写出第四个顶点D′的坐标．
21.(本小题7分)
如图，⊙O的直径AB=6，D为⊙O上一点，∠BAD=30°，过点D的切线交AB的延长线于点C．
(1)求∠C的度数；
(2)求阴影部分的面积．
22.(本小题7分)
如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN长25米)，现在已备足可以砌50米长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300米 ​2．
23.(本小题7分)
已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB=AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
(1)求证：DC=BD；
(2)求证：DE为⊙O的切线．
24.(本小题8分)
有这样一个问题：
如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD=m，BD=n，
求△ABC的面积(用含m，n的式子表示)．
小冬根据学习几何的经验，先从特殊情况开始探究：
解：如图，令AD=3，BD=4，
设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x．
根据切线长定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x．
根据勾股定理得，(x+3)2+(x+4)2=(3+4)2．
整理，得x2+7x=12
所以S△ABC=12AC⋅BC=12(x+3)(x+4)=12(x2+7x+12)=12×(12+12)=12
请你参考小冬的做法．
解决以下问题：(1)当AD=5，BD=7时，求△ABC的面积；
(2)当AD=m，BD=n时，直接写出求△ABC的面积(用含m，n的式子表示)为______．
25.(本小题10分)
已知△ABC为等边三角形．点D为直线BC上的一动点(点D不与B、C重合)，以AD为边作菱形ADEF(A、D、E、F按逆时针排列)，使∠DAF=60°，连接CF．
(1)如图1，当点D在线投BC上时，求证：AC=CF+CD；
(2)如图2，当点D在线投BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由，
26.(本小题10分)
如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+(2k−1)x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
根据轴对称图形与中心对称图形的定义解答．
【解答】
解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项错误；
B、既是轴对称图形又是对称图形，故选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项错误．
故选：B．
2.【答案】D
【解析】解：A、某人买一张彩票就中了大奖是随机事件，不符合题意；
B、李明同学下次数学考试满分是随机事件，不符合题意；
C、三点确定一个圆是随机事件，不符合题意；
D、两点确定一条直线是必然事件，符合题意；
故选：D．
根据随机事件的定义，必然事件的定义、不可能事件的定义进行逐项判断即可．
本题考查了随机事件，掌握必然事件的定义是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解： x2−4x−1=0，
移项得：x2−4x=1，
配方得：x2−4x+4=5，即(x−2)2=5，
所以m=5．
故选：B．
将方程的常数项移到右边，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
此题考查了用配方法解一元二次方程，解题关键是掌握配方法解一元二次方程的方法．
4.【答案】A
【解析】解：∵∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=90°−∠B=30°，
∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，
∴∠ACA′=90°，CA=CA′，∠CA′B′=∠CAB=30°，
∴△ACA′为等腰直角三角形，
∴∠CA′A=45°，
∴∠1=∠CA′A−∠CA′B′=45°−30°=15°．
故选A．
先利用互余计算出∠BAC=90°−∠B=30°，再根据旋转的性质得∠ACA′=90°，CA=CA′，∠CA′B′=∠CAB=30°，则可判断△ACA′为等腰直角三角形，则∠CA′A=45°，然后利用∠1=∠CA′A−∠CA′B′进行计算即可．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．
5.【答案】A
【解析】解：∵AB=OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠C=12∠AOB=30°．
故选：A．
先根据AB=OA=OB得出△OAB是等边三角形，故∠AOB=60°，再由圆周角定理即可得出结论．
本题考查的是圆周角定理及垂径定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：抛物线的对称轴为直线x=1，点P(−1,0)，
∵点P、Q关于抛物线的对称轴对称，
故点Q(3,1)，
故选：D．
抛物线的对称轴为直线x=1，点P(−1,0)，由点P、Q关于抛物线的对称轴对称，即可求解．
本题考查的是抛物线和x轴的交点，熟悉函数的对称性是解题的关键．
7.【答案】(1,−2)
【解析】解：∵点A的坐标是(−1,2)，
∴点A关于原点对称的点的坐标是(1,−2)．
故答案为：(1,−2)．
根据平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，即关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数．
本题考查点的对称，解决的关键是对知识点的正确记忆，同时能够根据点的坐标符号确定点所在的象限．
8.【答案】25
【解析】解：从袋子中随机取出1个球，共有5种等可能结果，其中摸到的是红球的有2种结果，
所以从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率为25．
故答案为：25．
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
9.【答案】y=−2(x−3)2+1
【解析】解：将抛物线y=−2x2向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线对应的解析式为：y=−2(x−3)2+1，
故答案为：y=−2(x−3)2+1．
根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
10.【答案】70
【解析】解：连接OA、OB，如图，
∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=180°−∠P=180°−40°=140°，
∴∠ACB=12∠AOB=12×140°=70°．
故答案为70．
连接OA、OB，如图，根据切线的性质得∠OAP=∠OBP=90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理计算∠ACB的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
11.【答案】8
【解析】解：连接OC，
∵直径AB=10，
∴OC=12AB=5，
∵CD⊥AB，OE=3，
∴CD=2CE，
在Rt△OCE中，CE2+OE2=OC2，即CE2+32=52，解得CE=4，
∴CD=2CE=2×4=8．
故答案为：8．
连接OC，先根据直径AB=10求出OC的长，再根据勾股定理求出CE的长，由垂径定理即可得出结论．
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
12.【答案】2000(1+x)2=2880
【解析】解：设平均增长率为x，根据题意可列出方程为：2000(1+x)2=2880．
故答案为：2000(1+x)2=2880．
一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，如果设人均年收入的平均增长率为x，根据题意即可列出方程．
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，即一元二次方程解答有关平均增长率问题．对于平均增长率问题，在理解的基础上，可归结为a(1+x)2=b(ab)．
13.【答案】5
【解析】解：∵x2−17x+60=0，
∴(x−5)(x−12)=0，
解得：x1=5，x2=12，
∵三角形的两边长分别是4和6，
当x=12时，6+4<12，不能组成三角形．
∴这个三角形的第三边长是5．
故答案为：5．
首先利用因式分解法求得一元二次方程x2−17x+60=0的两个根，又由三角形的两边长分别是4和6，利用三角形的三边关系，即可确定这个三角形的第三边长．
此题考查了因式分解法解一元二次方程与三角形三边关系的知识．此题难度不大，解题的关键是注意准确应用因式分解法解一元二次方程，注意分类讨论思想的应用．
14.【答案】5
【解析】解：设y轴右侧的抛物线解析式为：y=a(x−1)2+2.25
∵点A(0,1.25)在抛物线上
∴1.25=a(0−1)2+2.25
解得：a=−1
∴抛物线的解析式为：y=−(x−1)2+2.25
令y=0得：0=−(x−1)2+2.25
解得：x=2.5或x=−0.5(舍去)
∴点B坐标为(−2.5,0)
∴OB=OC=2.5
∴CB=5
故答案为：5．
设y轴右侧的抛物线解析式为：y=a(x−1)2+2.25，将A(0,1.25)代入，求得a，从而可得抛物线的解析式，再令函数值为0，解方程可得点B坐标，从而可得CB的长．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的相关性质及正确地解方程，是解题的关键．
15.【答案】解：(x−3)2+2x(x−3)=0
(x−3)(x−3+2x)=0
(x−3)(3x−3)=0
解得：x1=3，x2=1．
【解析】原方程的左边含有公因式(x−3)，可先提取公因式，然后再分解因式求解．
只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．
16.【答案】解：(1)根据题意得y=w(x−10)
=(−2x+100)(x−10)
=−2x2+120x−1000；
(2)∵y=−2x2+120x−1000=−2(x−30)2+800，
∴当x=30时，y取得最大值，最大值为800，
答：当售价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是800元．
【解析】(1)根据“总利润=每千克利润×销售量”可得函数解析式；
(2)将以上所得函数解析式配方成顶点式后即可得．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握销售问题中关于总利润的相等关系，并据此列出函数解析式和二次函数的性质．
17.【答案】解：画树状图为：
由树状图可知，所有等可能出现的结果共有9种，其中两次抽取的卡片上都是“红脸”的结果有4种，
所以P(两张都是“红脸”)=49，
答：抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率是49．
【解析】根据题意画出树状图，求出所有等可能的情况数和两次抽取的卡片上都是“红脸”的情况数，再根据概率公式计算即可．
此题主要考查了用树状图求概率的求法．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，关键是根据题意画出树状图．
18.【答案】解：方程x2+2(m+1)x+m2−8=0有实数根，
∴Δ=b2−4ac=4(m+1)2−4(m2−8)=8m+36≥0，
解得m≥−92，
∴m的取值范围为m≥−92．
【解析】根据“有两个实数根”列出关于m的不等式，即可解得答案．
本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程有两个实数根的条件：Δ≥0．
19.【答案】解：S=120π⋅302360−120π⋅102360=800π3≈837.3(cm2).
837.3×2=1674.6(cm2).
答：贴纸部分的面积为1674.6cm2．
【解析】扇形面积公式S=nπr2360可计算出两个扇形的面积，然后相减即可得．
主要考查了扇环的面积求法．一般情况下是让大扇形的面积减去小扇形的面积求扇环面积．
20.【答案】解：(1)如图所示：△A′B′C′即为所求；
(2)如图所示：D′(3,−5)．
【解析】(1)利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；
(2)利用平行四边形的性质得出D′点位置即可．
此题主要考查了旋转变换以及平行四边形的性质，根据题意得出对应点位置是解题关键．
21.【答案】解：(1)∵OA=OD，
∴∠ADO=∠BAD=30°，
∴∠COD=∠ADO+∠BAD=60°，
∵CD切⊙O于D，
∴OD⊥CD，
即∠ODC=90°，
∴∠C=90°−60°=30°；
(2)∵AB=6，
∴OD=3，
在Rt△ODC中，OC=2OD=6，
∴DC= 62−32=3 3，
∴S△COD=12OD⋅OC=12×3×3 3=9 32，S扇形DOB=60π×32360=32π，
∴阴影部分的面积=S△COD−S扇形DOB=9 32−32π．
【解析】(1)由切线的性质可得出答案；
(2)由勾股定理求出DC=3 3，由三角形的面积公式及扇形的面积公式可得出答案．
本题考查了切线的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
22.【答案】解：设AB为xm，则BC为(50−2x)m，
根据题意得方程：x(50−2x)=300，
2x2−50x+300=0，
解得；x1=10，x2=15，
当x1=10时50−2x=30>25(不合题意，舍去)，
当x2=15时50−2x=20<25(符合题意)．
答：当砌墙宽为15米，长为20米时，花园面积为300平方米．
【解析】设AB为xm，则BC为(50−2x)m，根据题意可得等量关系：矩形的长×宽=300，根据等量关系列出方程，再解即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．
23.【答案】证明：(1)连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵AB=AC，
∴DC=BD；
(2)连接半径OD，
∵OA=OB，CD=BD，
∴OD/​/AC，
∴∠ODE=∠CED，
又∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，
∴∠ODE=90°，即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
【解析】(1)连接AD，根据中垂线定理不难求得AB=AC；
(2)要证DE为⊙O的切线，只要证明∠ODE=90°即可．
此题主要考查了切线的判定，关键是利用等腰三角形的性质及圆周角的性质解答．
24.【答案】解：(1)如题图，令AD=5，BD=7，
设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x．
根据切线长定理，得AE=AD=5，BF=BD=7，CF=CE=x，
据勾股定理得，(x+5)2+(x+7)2=(5+7)2，
整理，得x2+12x=35，
所以S△ABC=12AC·BC=12x+5x+7=12(x2+12x+35)=12×(35+35)=35．
(2)mn．
【解析】【分析】
本题考查三角形的面积，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
(1)模仿例题求解即可解决问题．
(2)探究规律，利用规律即可解决问题．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)由(1)可知：
设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x．
根据切线长定理，得AE=AD=m，BF=BD=n，CF=CE=x，
据勾股定理得，(x+m)2+(x+n)2=(m+n)2，
整理，得x2+(m+n)x=mn，
所以S△ABC=12AC·BC=12x+mx+n
=12x2+m+nx+mn=12×(mn+mn)=mn．
故答案为：mn．
25.【答案】(1)证明：∵菱形AFED，
∴AF=AD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAF−∠DAC，
即∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，
AB=AC∠BAD=∠CAFAD=AF，
∴△BAD≌△CAF(SAS)，
∴CF=BD，
∴CF+CD=BD+CD=BC=AC，
即AC=CF+CD．
(2)解：AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CF−CD，
理由是：由(1)知：AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，
即∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，
AC=AB∠BAD=∠CAFAD=AF，
∴△BAD≌△CAF(SAS)，
∴BD=CF，
∴CF−CD=BD−CD=BC=AC，
即AC=CF−CD．
【解析】(1)根据已知得出AF=AD，AB=BC=AC，∠BAC=∠DAF=60°，得出∠BAD=CAF，证明△BAD≌△CAF(SAS)，推出CF=BD即可得出结论；
(2)求出∠BAD=∠CAF，根据SAS证△BAD≌△CAF，推出BD=CF即可得出AC=CF−CD．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，菱形的性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
26.【答案】解：(1)把(0,0)代入得k+1=0，解得k=−1，
所以二次函数解析式为y=x2−3x；
(2)当y=0时，x2−3x=0，解得x1=0，x2=3，则A(3,0)，
抛物线的对称轴为直线x=32，
设B(x,x2−3x)，
因为△AOB的面积等于6，
所以12⋅3⋅|x2−3x|=6，
当x2−3x=4时，解得x1=−1，x2=4，则B点坐标为(4,4)；
当x2−3x=−4时，方程无实数解．
所以点B的坐标为(4,4)．
【解析】(1)直接把原点坐标代入y=x2+(2k−1)x+k+1求出k的值即可得到二次函数解析式；
(2)先确定A(3,0)和抛物线的对称轴，设B(x,x2−3x)，再根据三角形面积公式得到12⋅3⋅|x2−3x|=6，则x2−3x=4或x2−3x=−4，然后分别解方程求出x即可确定满足条件的B点坐标．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．