2023-2024学年上海市宝山区杨行中学八年级（上）第二次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市宝山区杨行中学八年级（上）第二次月考数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式中，与 3a属同类二次根式的是( )
A. 9aB. 27a2C. 18ab2D. 27ab2
2.如果x=2是方程12x2+ax=−1的根，那么a的值是( )
A. 2B. −32C. −2D. 32
3.下列命题中，假命题是( )
A. 垂直于同一条直线的两条直线平行
B. 等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边
C. 有两角和一边对应相等的两个三角形全等
D. 有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
4.在平面直角坐标系中，反比例函数y=2−kx(k<0)图象的两支分别在( )
A. 第一、三象限B. 第一、二象限C. 第二、四象限D. 第三、四象限
5.已知某等腰三角形的周长为36，腰长为x，底边长为y，那么y关于x的函数关系式及定义域是( )
A. x=36−y2(9C. y=36−x2(06.定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”.例如x2=4和(x−2)(x+3)=0有且仅有一个相同的实数根x=2.所以这两个方程为“同伴方程”，若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的参数同时满足a+b+c=0和a−b+c=0.且该方程与(x+2)(x−n)=0互为“同伴方程”，则n的值为( )
A. 1或−1B. −1C. 1D. 2
二、填空题：本题共13小题，共30分。
7.函数y= x+3x−1的定义域是______ ．
8.方程x(x+3)=4(x+3)的解是______ ．
9.在实数范围内分解因式：2x2+3x−1= ______ ．
10.在△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于点D，BC=8，BD=5，那么D到AB的距离是______ ．
11.已知f(x)=6x，那么f( 2)= ______ ．
12.某种产品原来每件价格为800元，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，现在每件售价为578元，每次降价的百分率是______ ．
13.已知：点A(−2,y1)，B(2,y2)，C(3,y3)都在反比例函数y=kx图象上(k>0)，用“<”表示y1、y2、y3的大小关系是 ．
14.命题“等腰三角形两底角平分线相等”的逆命题是______；它是______命题(真、假)
15.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC=______度．
16.如图：某人从甲地行走到乙地的路程S(千米)与时间t(小时)的函数关系如图所示，那么此人行走5千米，所用的时间是______ 小时．
17.关于x的方程x2−k(x+1)+x=0有实数根，则k的取值范围是______ ．
18.如图，已知AD是△ACB的中线，点E是AC上的一点，BE交AD于F，AC=BF，∠DAC=24°，∠EBC=30°，则∠ACB= ______ ．
19.甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示，则：
(1)A、B两城相距______千米；
(2)乙车速度为______千米/小时；
(3)乙车出发后______小时追上甲车．
三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题5分)
计算： 18− 2+1 2−1−4 18− ( 3−2)2．
21.(本小题5分)
用配方法解方程：2x2+4x+1=0．
22.(本小题6分)
已知关于x的一元二次方程x2+(2k−1)x+k2−1=0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)方程的其中的一个根为−1，求方程的另一个根．
23.(本小题8分)
如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE=BC，过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F.求证：AB=FC．
24.(本小题8分)
某单位组织员工欣赏表演.主办方工作人员准备利用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三边，设立一个面积为300平方米的长方形等候区，如图，在两边空出两个各为1米的出入口(出入口不用隔栏绳).求围成的这个长方形的两边分别是多少米呢？
25.(本小题10分)
如图，已知正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=6x(x>0)的图象经过点B(a,3)，点D为x轴正半轴上一点，过点D作CD⊥x轴，交反比例函数的图象于点A，交正比例函数的图象于点C，且CD=6．
(1)求a、k的值；
(2)联结AB，求△ABC的面积；
(3)P为射线OC上一点，若△PAC的面积为9，求点P的坐标．
26.(本小题10分)
如图1，在△ABC中，∠A=120°，∠C=20°，BD平分∠ABC，交AC于点D．
(1)求证：BD=CD．
(2)如图2，若∠BAC的角平分线AE交BC于点E，求证：AB+BE=AC．
(3)如图3，若∠BAC的外角平分线AE交CB的延长线于点E，则(2)中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，写出正确的结论．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、原式=3 a，不符合题意；
B、原式=3 3|a|，不符合题意；
C、原式=3|b| 2a，不符合题意；
D、原式=3|b| 3a，符合题意．
故选：D．
各式化简为最简二次根式，找出被开方数相同的即为同类二次根式．
此题考查了同类二次根式，以及二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：把x=2代入方程12x2+ax=−1得2+2a=−1，
解得a=−32．
故选：B．
把x=2代入原方程得到关于a的方程，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3.【答案】A
【解析】解：A、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故本选项命题是假命题，符合题意；
B、等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边，是真命题，不符合题意；
C、有两角和一边对应相等的两个三角形全等，是真命题，不符合题意；
D、有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，是真命题，不符合题意；
故选：A．
根据平行线的判定、等腰三角形的性质、三角形全等的判定定理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
4.【答案】A
【解析】解：在反比例函数y=2−kx中，
∵k<0，
∴2−k>0，
∴y=2−kx图象的两支分别在第一、三象限．
故选：A．
根据反比例函数的性质作答．
本题考查反比例函数的性质，反比例函数y=kx(k≠0)的图象是双曲线．
(1)k>0时，图象是位于一、三象限，在每个象限的双曲线内，y随x的增大而减小．
(2)k<0时，图象是位于二、四象限，在每个象限的双曲线内，y随x的增大而增大．
5.【答案】D
【解析】解：∵2x+y=36，
∴y=36−2x，即x<18，
∵两边之和大于第三边，
∴x>9．
故选：D．
根据已知列方程，再根据三角形三边的关系确定定义域即可．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；根据三角形三边关系求得x的取值范围是解答本题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的参数同时满足a+b+c=0和a−b+c=0，
∴关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)两个实数根为x=1或x=−1，
∵(x+2)(x−n)=0，
∴x+2=0或x−n=0，
∴(x+2)(x−n)=0的根为x=−2或 x=n，
∵ax2+bx+c=0(a≠0)与(x+2)(x−n)=0互为“同伴方程”，
∴n=1或n=−1，
故选：A．
根据题意易得：关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)两个实数根为x=1或x=−1，然后利用解一元二次方程−因式分解法可得(x+2)(x−n)=0的根为x=−2或 x=n，再根据互为“同伴方程”的定义可得n=1或n=−1，即可解答．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法，一元二次方程的解，理解互为“同伴方程”的定义是解题的关键．
7.【答案】x≥−3且x≠1
【解析】解：由题意得，x+3≥0且x−1≠0，
解得x≥−3且x≠1．
故答案为：x≥−3且x≠1．
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
8.【答案】−3或4
【解析】解：x(x+3)=4(x+3)，
移项得：x(x+3)−4(x+3)=0，
分解因式得：(x+3)(x−4)=0，
∴x+3=0，x−4=0，
解方程得：x1=−3，x2=4．
故答案为：−3或4．
移项后分解因式得到(x+3)(x−4)=0，推出方程x+3=0，x−4=0，求出方程的解即可．
本题主要考查对解一元二次方程，解一元一次方程，等式的性质等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
9.【答案】2(x−−3+ 174)(x−−3− 174)
【解析】解：令2x2+3x−1=0，则
x1=−3+ 174，x2=−3− 174，
∴2x2+3x−1=2(x−−3+ 174)(x−−3− 174).
故答案是：2(x−−3+ 174)(x−−3− 174).
利用公式法分解因式．
本题考查对一个多项式进行因式分解的能力，当要求在实数范围内进行分解时，分解的结果一般要分到出现无理数为止．
10.【答案】3
【解析】解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C=90°，AD是△ABC中∠CAB的角平分线，DE⊥AB于E，
∴DE=CD，
∴BC=8，BD=5，
∴CD=BC−BD=8−5=3，
∴DE=3．
故答案为：3．
过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质可得，DE=DC，根据BC=5，BD=3，求得CD即可求解．
此题主要考查角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
11.【答案】3 2
【解析】解：由题意将x= 2代入函数表达式，
则有：f( 2)=6 2=3 2．
故答案为：3 2．
将x= 2代入函数表达式，化简即可．
本题考查函数求值问题，只需将自变量的取值代入函数表达式．
12.【答案】15%
【解析】解：依题意，得800(1−x)2=578．
(1−x)2=289400．
1−x=1720=0.85，
x1=1−0.85=0.15=15%，x2=1+15%=115%(舍去)，
故答案为：15%．
根据该产品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13.【答案】y1【解析】解：∵反比例函数y=kx(k>0)中k>0，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵−1<0，
∴点A(−2,y1)位于第三象限，
∴y1<0，
∵0<2<3，
∴点B(2,y2)，C(3,y3)位于第一象限，
∴y2>y3>0．
∴y1故答案为：y1先根据反比例函数中k>0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
14.【答案】在三角形中，若两个角的角平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形 真
【解析】解：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．故命题“等腰三角形两底角平分线相等”的逆命题是“在三角形中，若两个角的角平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形”．
它是真命题．
找出原命题中的题设和结论，进行互换即可得到其逆命题．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
15.【答案】30
【解析】解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=12(180°−∠A)=12×(180°−40°)=70°，
∵MN垂直平分线AB，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=40°，
∴∠DBC=∠ABC−∠ABD=70°−40°=30°．
故答案为：30．
根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相可得AD=BD，根据等边对等角的性质可得∠ABD=∠A，然后求解即可．
本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形两底角相等的性质，等边对等角的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
16.【答案】1.25
【解析】解：由图可知，速度=12÷3=4千米/时，
所以，行走5千米所用的时间=5÷4=1.25小时．
故答案为：1.25．
根据速度=路程÷时间求出行驶的速度，再根据时间=路程÷速度进行计算即可得解．
本题考查了函数图象，准确识图，确定出路程和时间然后求出此人的速度是解题的关键．
17.【答案】一切实数
【解析】解：方程x2−k(x+1)+x=0整理得x2+(1−k)x−k=0，
∵关于x的方程x2−k(x+1)+x=0有实数根，
∴Δ=(1−k)2+4k=(k+1)2≥0，
解得k是一切实数．
故答案为：一切实数．
根据根的判别式的意义得到Δ=(1−k)2+4k=(k+1)2≥0，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根，
18.【答案】102°
【解析】解：如图，延长AD到M，使得DM=AD，连接BM，
在△BDM和△CDA 中，
DM=DA∠BDM=∠CDABD=CD，
∴△BDM≌△CDA(SAS)，
∴BM=AC=BF，∠M=∠DAC=24°，
∵BF=AC，
∴BF=BM，
∴∠M=∠BFM=24°，
∴∠MBF=180°−∠M−∠BFM=132°，
∵∠EBC=30°，
∴∠DBM=∠MBF−∠EBC=102°，
∴∠ACB=∠DBM=102°，
故答案为：102°．
由“SAS”可证△BDM≌△CDA，可得BM=AC=BF，∠M=∠DAC=24°，由等腰三角形的性质可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
19.【答案】(1)300；
(2)100；
(3)1.5
【解析】【分析】
本题考查一次函数和一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
(1)根据函数图象中的数据，可以解答本题；
(2)根据函数图象中的数据，可以求得乙的速度；
(3)先求出甲车速度，再根据甲、乙两车行驶的路程相等列方程求解即可．
【详解】
解：(1)由图象可得，A，B两城相距300千米，
故答案为：300；
(2)由图象可得，
乙车的速度为300÷(4−1)=100(千米/时)，
故答案为：100；
(3)甲的速度为300÷5=60(千米/小时)，
设乙车出发a小时追上甲车，
则60(a+1)=100a，
解得a=1.5，
即乙车出发1.5小时追上甲车．
故答案为：1.5．
20.【答案】解： 18− 2+1 2−1−4 18− ( 3−2)2
=3 2−( 2+1)2− 2−| 3−2|
=3 2−(3+2 2)− 2−(2− 3)
=3 2−3−2 2− 2−2+ 3
= 3−5．
【解析】先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
本题考查二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21.【答案】解：原方程化为x2+2x=−12，
配方得x2+2x+1=1−12，
即(x+1)2=12，
开方得x+1=± 22，
x=−1± 22=−2± 22，
∴x1=−2+ 22,x2=−2− 22．
【解析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
22.【答案】解：(1)由题意得：b2−4ac>0，即：(2k−1)2−4(k2−1)>0，
解得：k<54．
(2)将x=−1代入x2+(2k−1)x+k2−1=0中，
1−2k+1+k2−1=0，解得：k=1．
∴方程为x2+x=0，
解得x=0或x=−1，
∴如果方程有一个根为−1，则方程的另一个根为0．
【解析】(1)根据方程有两个不相等的实数根，得到Δ>0，进行求解即可；
(2)将x=−1代入原方程，即可得出关于k的一元一次方程，解之得出k=1，即可得到方程为x2+x=0，解方程即可求得另一个根．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是：(1)牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”；(2)将x=−1代入原方程求出k值．
23.【答案】证明：∵FE⊥AC于点E，∠ACB=90°，
∴∠FEC=∠ACB=90°．
∴∠F+∠ECF=90°．
又∵CD⊥AB于点D，
∴∠A+∠ECF=90°．
∴∠A=∠F．
在△ABC和△FCE中，
∠A=∠F∠ACB=∠FECBC=CE，
∴△ABC≌△FCE(AAS)，
∴AB=FC．
【解析】由已知说明∠A=∠F，∠FEC=∠ACB，再结合EC=BC证明△FEC≌△ACB，利用全等三角形的性质即可证明．
本题考查了全等三角形的判定和性质，要注意利用此题中的图形条件，同角的余角相等．
24.【答案】解：如图，设围成的这个长方形的边AB为x米，则BC为(48−2x+2)米，

由题意得：x(48−2x+2)=300，
整理得：x2−25x+150=0，
解得：x1=10，x2=15，
当x=10时，BC=30>26，不符合题意，舍去；
当x=15时，BC=20<26，符合题意；
答：围成的这个长方形的边AB为15米，BC为20米．
【解析】设围成的这个长方形的边AB为x米，则BC为(48−2x+2)米，根据设立一个面积为300平方米的长方形等候区，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵反比例函数y=6x(x>0)的图象经过点B(a,3)，
∴3a=6，
解得：a=2，
∴点B(2,3)，
又∵正比例函数y=kx的图象经过点B，
∴3=2k，
解得：k=1.5，
∴a=2，k=1.5；
(2)过点B作BH⊥CD于H，如图1所示：

由(1)可知：正比例函数的表达式为：y=1.5x，
∵点C在正比例函数y=1.5x的图象上，且CD⊥x轴，CD=6，
∴点C的纵坐标为6，
对于y=1.5x，当y=6时，得6=1.5x，
解得：x=4，
∴点C的坐标为(4,6)，
∴OD=4，点A的横坐标为4，
∵点A在反比例函数y=6x(x>0)的图象上，
∴对于y=6x，当x=4时，y=1.5，
∴点A的坐标为(4,1.5)，
∴AD=1.5，
∴AC=CD−AD=6−1.5=4.5，BH=4−2=2，
∴S△ABC=12AC⋅BH=12×4.5×2=4.5；
(3)过点P作PM⊥DC交DC的延长线于M，如图2所示：

由(2)可知：AC=4.5，
∵△PAC的面积为9，
∴12AC⋅PM=9，
即12×4.5×PM=9，
解得：PM=4，
∴OD+PM=4+4=8，
∴点P的横坐标为8，
∵点P为射线OC上一点，
∴对于y=1.5x，当x=8时，y=12，
∴点P的坐标为(8,12)．
另一方面，当点P在坐标原点时，△PAC的面积为9，
故得点P的坐标为(8,12)或(0,0)．
【解析】(1)将B(a,3)代入y=6x可求出a的值，进而得点B(2,3)，再将点B代入y=kx可求出k的值；
(2)过点B作BH⊥CD于H，先求出C(4,6)，点A(4,1.5)，进而得AC=4.5，BH=2，然后利用三角形的面积公式可求出△ABC的面积；
(3)过点P作PM⊥DC交DC的延长线于M，如图2所示由(2)可知AC=4.5，根据△PAC的面积为9求出PM=4，进而得点P的横坐标为8，再将y=8代入正比例函数求出x即可得点P的坐标．
此题主要考查了正比例函数与反比例函数的交点，三角形的面积，熟练掌握待定系数法求函数的解析式，准确地用点的坐标表示出相关线段是解决问题的关键．
26.【答案】(1)证明：∵∠A=120°，∠C=20°，
∴∠ABC=180°−120°−20°=40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=20°，
∴∠DBC=∠C=20°，
∴BD=CD；
(2)证明：如图2，过点E作EF//BD交AC于点F，
∴∠FEC=∠DBC=20°，
∴∠FEC=∠C=20°，
∴∠AFE=40°，FE=FC，
∴∠AFE=∠ABC，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=∠FAE，
在△ABE和△AFE中，
∠ BAE=∠FAE∠ABE=∠AFEAE=AE，
∴△ABE≌△AFE(AAS)，
∴BE=EF，
∴BE=EF=FC，
∴AB+BE=AF+FC=AC；
(3)(2)中的结论不成立，正确的结论是BE−AB=AC．
证明：
如图3，过点A作AF/​/BD交BE于点F，
∴∠AFC=∠DBC=20°，
∴∠AFC=∠C=20°，
∴AF=AC，
∵AE是∠BAC的外角平分线，
∴∠EAB=12(180°−∠ABC)=30°，
∵∠ABC=40°，
∴∠E=∠ABC−∠EAB=10°，
∴∠E=∠FAE=10°，
∴FE=AF，∠FAB=20°，
∴FE=AF=AC，AB=BF，
∴BE−AB=BE−BF=EF=AC．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
(1)根据∠A=120°，∠C=20°，可得∠ABC的度数，再根据BD平分∠ABC，可得∠DBC=∠C=20°，进而可得结论；
(2)如图2，过点E作EF//BD交AC于点F，证明△ABE≌△AFE，可得BE=EF=FC，进而可得AB+BE=AC；
(3)如图3，过点A作AF/​/BD交BE于点F，结合(1)和AE是∠BAC的外角平分线，可得FE=AF=AC，进而可得结论BE−AB=AC．