2023-2024学年安徽省清华附中合肥学校九年级（上）段考数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省清华附中合肥学校九年级（上）段考数学试卷（12月份）（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.抛物线的解析式y=−2x2−1，则顶点坐标是( )
A. (−2,−1)B. (2,1)C. (0,−1)D. (0,1)
2.已知ab=23，则代数式a+bb的值为( )
A. 52B. 53C. 23D. 32
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35，BC=6，则AB长是( )
A. 4B. 6C. 8D. 10
4.如果反比例函数y=a−2x(a是常数)的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是( )
A. a<0B. a>0C. a<2D. a>2
5.将抛物线y=x2−2x+1向下平移2个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的解析式是
( )
A. y=x2−2x−1B. y=x2+2x−1C. y=x2−2D. y=x2+2
6.如图，点P是▱ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有( )
A. 0对B. 1对C. 2对D. 3对
7.已知二次函数y=ax2+bx+c中y与x的部分对应值如下表，下列说法正确的是：( )
A. 抛物线开口向上
B. 其图象的对称轴为直线x=1
C. 当x<1时，y随x的增大而增大
D. 方程ax2+bx+c=0必有一个根大于4
8.如图：把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC面积的一半，若AB= 2，则此三角形移动的距离AA′是( )
A. 2−1B. 22C. 1D. 12
9.如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=6x(x>0)的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为( )
A. y=−6x
B. y=−4x
C. y=−2x
D. y=2x
10.如图，点C、A、M、N在同一条直线l上．其中，△ABC是等腰直角三角形，∠B=90°，四边形MNPQ为正方形，且AC=4，MN=2，将等腰Rt△ABC沿直线l向右平移．若起始位置为点A与点M重合，终止位置为点C与点N重合．设点A平移的距离为x，两个图形重叠部分的面积为y，则y与x的函数图象大致为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.如果α是锐角，且sinα=cs20°，那么α=______度．
12.已知△ABC∽△A′B′C′，AB=2，A′B′=6，则△ABC与△A′B′C′的周长之比为______ ．
13.如图，一个横断面为抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，拱顶离水面2m.以桥孔的最高点为原点，过原点的水平线为x轴，建立平面直角坐标系．当水面下降1m时，此时水面的宽度增加了______m(结果保留根号)．
14.在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究：
(1)∠PAQ的大小为______°；
(2)当四边形APCD是平行四边形时，ABQR的值为______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算：4sin30°+|1−tan60°|− 2cs45°．
16.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，若AB2=BD⋅BC.求证：△ABD是等腰三角形．
17.(本小题8分)
如图所示，在△ABC中，∠C=90°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，tanB=12，AC=5，求DE的长．
18.(本小题8分)
方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示，解答问题：
(1)请按要求对△OAB作变换：以点O为位似中心，位似比为2：1，将△ABC在位似中心的异侧进行放大得到△OA′B′．
(2)写出点A′的坐标______；
(3)△OA′B′的面积为______．
19.(本小题10分)
如图，某建筑物CD高96米，它的前面有一座小山，其斜坡AB的坡度为i=1：1.为了测量山顶A的高度，在建筑物顶端D处测得山顶A和坡底B的俯角分别为α、β.已知tanα=2，tanβ=4，求山顶A的高度AE(C、B、E在同一水平面上)．
20.(本小题10分)
如图，已知二次函数y=x2+mx+n的图象经过A(0,3)，且对称轴是直线x=2．
(1)求该函数解析式；
(2)在抛物线上找点P，使△PBC的面积是△ABC的面积的23，求出点P的坐标．
21.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，点D的坐标为(4,3)，设AB所在直线解析式为y=ax+b(a≠0)．
(1)求k的值，并根据图象直接写出关于x的不等式ax+b>kx的解集；
(2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位在平移中，若反比例函数图象与菱形的边AD始终有交点，求m的取值范围．
22.(本小题12分)
襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y(万件)关于售价x(元/件)的函数解析式为：y=−2x+140(40≤x<60)−x+80(60≤x≤70)．
(1)若企业销售该产品获得的年利润为W(万元)，请直接写出年利润W(万元)关于售价x(元/件)的函数解析式；
(2)当该产品的售价x(元/件)为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？
(3)若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x(元/件)的取值范围．
23.(本小题14分)
如图①，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM/​/EF交AC于点M．
(1)求证：DM=DA；
(2)点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图②，求证：△DEG∽△ECF；
(3)在图②中，(2)的基础上，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：抛物线的解析式y=−2x2−1=−2x−02−1，
则顶点坐标是(0,−1)，
故选：C．
根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点坐标式，此题难度不大．
2.【答案】B
【解析】解：由ab=23得到a=23b，则
a+bb=23b+bb=53．
故选B．
用b表示出a，然后代入比例式进行计算即可得解．
本题考查比例的性质．
3.【答案】D
【解析】解：∵∠C=90°，sinA=BCAB=35，BC=6，
∴AB=53BC=53×6=10；
故选：D．
根据三角函数的定义即可得出结果．
本题主要考查了解直角三角形、正弦函数的定义；熟练掌握正弦函数的定义是解决问题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵反比例函数y=a−2x(a是常数)的图象在第一、三象限，
∴a−2>0，
∴a>2．
故选：D．
反比例函数y=kx图象在一、三象限，可得k>0．
本题运用了反比例函数y=kx图象的性质，关键要知道k的决定性作用．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意y=x2−2x+1=(x−1)2向下平移2个单位，再向左平移1个单位，得y=(x−1+1)2−2，y=x2−2．
故选：C．
抛物线y=x2−2x+1化为顶点坐标式再按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可．
此题不仅考查了对平移的理解，同时考查了学生将一般式转化顶点式的能力．
6.【答案】D
【解析】【分析】
利用相似三角形的判定方法以及平行四边形的性质得出即可．
此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/DC，AD//BC，
∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CBP，
∴△EDC∽△CBP，
故有3对相似三角形．
故选D．
7.【答案】C
【解析】解：把(−1,−3)，(0,1)，(1,3)代入y=ax2+bx+c得a−b+c=−3c=1a+b+c=3，解得a=−1b=3c=1，
∴抛物线解析式为y=−x2+3x+1，
∴ y=−(x−32)2+134，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=32，当x<32时，y随x的增大而增大，函数的最大值为134，
∴当x<1时，y随x的增大而增大，方程ax2+bx+c=0没有一个根大于4．
故选：C．
先利用待定系数法求出抛物线解析式，再配成顶点式得到y=−(x−32)2+134，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断．
本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
8.【答案】A
【解析】解：设BC与A′C′交于点E，
由平移的性质知，AC//A′C′
∴△BEA′∽△BCA
∴S△BEA′：S△BCA=A′B2：AB2=1：2
∵AB= 2，
∴A′B=1，
∴AA′=AB−A′B= 2−1，
故选A．
利用相似三角形面积的比等于相似比的平方先求出A′B，再求AA′就可以了．
本题利用了相似三角形的判定和性质及平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
9.【答案】C
【解析】解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，
∵∠BOA=90°，
∴∠BOC+∠AOD=90°，
∵∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠BOC=∠OAD，
又∵∠BCO=∠ADO=90°，
∴△BCO∽△ODA，
∴BOAO=tan30°= 33，
∴S△BCOS△AOD=13，
∵12×AD×DO=12xy=3，
∴S△BCO=12×BC×CO=13S△AOD=1，
∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，
故反比例函数解析式为：y=−2x．
故选：C．
直接利用相似三角形的判定与性质得出S△BCOS△AOD=13，进而得出S△AOD=3，即可得出答案．
此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及反比例函数数的性质，正确得出S△AOD=2是解题关键．
10.【答案】D
【解析】解：当x≤1时，重合部分是边长为x的等腰直角三角形，
面积为：y=12x2，是一个开口向上的二次函数；
当1当4故选：D．
根据动点的运动过程确定每段阴影部分与x的关系类型，根据函数的性质确定选项．
本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是确定每段阴影部分与x的关系类型，根据函数的性质确定选项．
11.【答案】70
【解析】【分析】
此题主要考查了互余两角三角函数的关系，正确把握相关性质是解题关键．
直接利用sinA=cs(90°−∠A)，进而得出答案．
【解答】
解：∵sinα=cs20°，
∴α=90°−20°=70°．
故答案为：70．
12.【答案】1：3
【解析】解：∵△ABC∽△A′B′C，AB=2，A′B′=6，
∴△ABC与△A′B′C的周长之比为：2：6=1：3．
故答案为：1：3．
直接利用相似三角形的性质周长比等于相似比，进而得出答案．
此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出相似比是解题关键．
13.【答案】2 6−4
【解析】解：设抛物线的解析式为：y=ax2，
∵水面宽4m时，拱顶离水面2m，
∴点(2,−2)在此抛物线上，
∴−2=a⋅22，
∴a=−12，
∴抛物线的解析式为：y=−12x2，
当水面下降1m时，
即y=−3时，−3=−12x2，
∴x=± 6，
∴此时水面的宽度为：2 6，
即此时水面的宽度增加了(2 6−4)m．
故答案为：2 6−4．
根据已知给出的直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=−3代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
此题主要考查了二次函数的应用，根据已知给出的直角坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
14.【答案】(1)30 ；
(2) 3
【解析】【分析】
本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
(1)由折叠的性质可得∠B=∠AQP，∠DAQ=∠QAP=∠PAB，∠DQA=∠AQR，∠CQP=∠PQR，∠D=∠ARQ，∠C=∠QRP，由平角的性质可得∠D+∠C=180°，∠AQP=90°，可证AD//BC，由平行线的性质可得∠DAB=90°，即可求解；
(2)由平行四边形和折叠的性质可得AR=PR，由直角三角形的性质可得AP=2PB=2QR，AB= 3PB，即可求解．
【解答】
解：(1)由折叠的性质可得：∠B=∠AQP，∠DAQ=∠QAP=∠PAB，
∠DQA=∠AQR，∠CQP=∠PQR，∠D=∠ARQ，∠C=∠QRP，
∵∠QRA+∠QRP=180°，
∴∠D+∠C=180°，
∴AD//BC，
∴∠B+∠DAB=180°，
∵∠DQR+∠CQR=180°，
∴∠DQA+∠CQP=90°，
∴∠AQP=90°，
∴∠B=∠AQP=90°，
∴∠DAB=90°，
∴∠DAQ=∠QAP=∠PAB=30°，
故答案为：30；
(2)由折叠的性质可得：AD=AR，CP=PR，
∵四边形APCD是平行四边形，
∴AD=PC，
∴AR=PR，
又∵∠AQP=90°，
∴QR=12AP，
∵∠PAB=30°，∠B=90°，
∴AP=2PB，AB= 3PB，
∴PB=QR，
∴ABQR= 3，
故答案为： 3．
15.【答案】解：∵sin30°=12，tan60°= 3，cs45°= 22，
∴原式=2+ 3−1−1= 3．
【解析】将sin30°=12，tan60°= 3，cs45°= 22代入求解即可得出答案．
此题考查了特殊角的三角函数值，及绝对值的知识，解答本题的关键是掌握一些特殊角度的三角函数值，难度一般．
16.【答案】解：∵AB2=BD⋅BC，
∴ABCB=BDBA，
∵∠B=∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∴∠BAD=∠C，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠BAD，
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰三角形．
【解析】由两边对应成比例夹角相等的两个三角形相似，证明△BAD∽△BCA，得∠BAD=∠C，进而由等腰三角形的性质得∠B=∠BAD，再由等腰三角形的判定得结论．
本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，关键在于证明三角形相似．
17.【答案】解：∵tanB=12=ACBC，AC=5，
∴BC=10，
∵D是BC的中点，
∴BD=BC2=5，
∴AB= BC2+AC2=5 5，
∵∠B=∠B，∠C=∠BED，
∴△BDE∽△BAC，
∴DEAC=BDAB，
∴DE5=55 5，
∴DE= 5．
【解析】根据tanB=12即可解题．利用△BDE∽△BAC，即可得答案．
本题考查了直角三角形中三角函数的计算，考查了三角函数值在直角三角形中的运用，本题中求得BD的长是解题的关键．
18.【答案】(1)如图所示，△OA′B′即为所求．
(2)(−6,−2)；(3) 10 ．
【解析】解：(1)见答案；
(2)由图知，点A′的坐标为(−6,−2)，
故答案为：(−6,−2)．
(3)△OA′B′的面积为6×4−12×2×4−12×2×4−12×2×6=10，
故答案为：10．
(1)根据位似中心的位置以及位似比的大小作出△OA′B′；
(2)根据三角形的位置得出点A′的坐标即可；
(3)根据△OA′B′的位置，运用割补法求得△OA′B′的面积即可．
本题考查了利用位似变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
19.【答案】解：如图，作AF⊥CD于F.设AE=x米．
∵斜坡AB的坡度为i=1：1，
∴BE=AE=x米．
在Rt△BDC中，∵∠C=90°，CD=96米，∠DBC=∠β，
∴BC=CDtanβ=964=24(米)，
∴EC=EB+BC=(x+24)米，
∴AF=EC=(x+24)米．
在Rt△ADF中，∵∠AFD=90°，∠DAF=∠α，
∴DF=AF⋅tanα=2(x+24)米，
∵DF=DC−CF=DC−AE=(96−x)米，
∴2(x+24)=96−x，解得x=16．
故山顶A的高度AE为16米．
【解析】作AF⊥CD于F.设AE=x米．由斜坡AB的坡度为i=1：1，得出BE=AE=x米．解Rt△BDC，求得BC=CDtanβ=24米，则AF=EC=(x+24)米．解Rt△ADF，得出DF=AF⋅tanα=2(x+24)米，又DF=DC−CF=DC−AE=(96−x)米，列出方程2(x+24)=96−x，求出x即可．
本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解直角三角形的应用−坡度坡角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．解此题的关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用．
20.【答案】(1)由题意得n=3，−m2=2
∴m=−4
∴函数解析式为y=x2−4x+3；
(2)由已知可得|yP|=|23×3|=2，由函数的最小值−1
得|yP|=2，
代入得x2−4x+3=2
解得 x=2± 3，
∴点P的坐标是(2± 3,2)．
【解析】(1)将A点坐标代入二次函数的解析式中求得n=3；然后由对称轴方程求得m=−4，把n、m的值代入函数解析式即可；
(2)由(1)知，函数解析式为y=x2−4x+3=(x−1)(x−3)，易求BC=2.所以S△ABC=12OA⋅BC，S△PBC=23S△ABC=12|yP|⋅BC，易求|yP|=2，将其代入函数解析式可以求得相应的x的值．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点．解答(2)题时，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
21.【答案】解：(1)延长AD交x轴于F，由题意得AF⊥x轴，
∵点D的坐标为(4,3)，
∴OF=4，DF=3，
∴OD=5，
∴AD=5，
∴点A坐标为(4,8)，
∴k=xy=4×8=32，
由图象得解集：x>4；
(2)将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，
使得点D落在函数y=32x(x>0)的图象D′点处，
∴点D′的坐标为(4+m,3)，
∵点D′在y=32x的图像上，
∴3=324+m，
解得：m=203，
∴0≤m≤203．
【解析】(1)根据菱形的性质和D的坐标即可求出A的坐标，代入求出即可；
(2)A和D可能落在反比例函数的图象上，根据平移求出即可．
本题考查了反比例函数综合题，需要掌握菱形的性质，反比例函数图形上点的坐标特点，坐标与图形性质和平移等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键．
22.【答案】解：(1)当40≤x<60时，W=(x−30)(−2x+140)=−2x2+200x−4200，
当60≤x≤70时，W=(x−30)(−x+80)=−x2+110x−2400；
(2)当40≤x<60时，W=−2x2+200x−4200=−2(x−50)2+800，
∴当x=50时，W取得最大值，最大值为800万元；
当60≤x≤70时，W=−x2+110x−2400=−(x−55)2+625，
∴当x>55时，W随x的增大而减小，
∴当x=60时，W取得最大值，最大值为：−(60−55)2+625=600，
∵800>600，
∴当x=50时，W取得最大值800，
答：该产品的售价x为50元/件时，企业销售该产品获得的年利润最大，最大年利润是800万元；
(3)当40≤x<60时，由W≥750得：−2(x−50)2+800≥750，
解得：45≤x≤55，
当60≤x≤70时，W的最大值为600<750，
∴要使企业销售该产品的年利润不少于750万元，该产品的售价x(元/件)的取值范围为45≤x≤55．
【解析】【试题解析】
本题主要考查二次函数的实际应用，梳理题目中的数量关系，得出相等关系后分情况列出函数解析式，熟练运用二次函数性质求最值是解题的关键．
(1)根据：年利润=(售价−成本)×年销售量，结合x的取值范围可列函数关系式；
(2)将(1)中两个二次函数配方后依据二次函数的性质可得其最值情况，比较后可得答案；
(3)根据题意知W≥750，可列关于x的不等式，求解可得x的范围．
23.【答案】(1)证明：如图1所示，
∵DM/​/EF，
∴∠AMD=∠AFE，
∵∠AFE=∠A，
∴∠AMD=∠A，
∴DM=DA；
(2)证明：如图2所示，
∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE/​/AC，
∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，
∵∠AFE=∠A，
∴∠BDE=∠AFE，
∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，
∵∠BDG=∠C，
∴∠GDE=∠FEC，
∴△DEG∽△ECF；
(3)解：如图3所示，
∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，
∴△BDG∽△BED，
∴BDBE=BGBD，
∴BD2=BG⋅BE，
∵∠AFE=∠A，∠CFH=∠B，
∴∠C=180°−∠A−∠B=180°−∠AFE−∠CFH=∠EFH，
又∵∠FEH=∠CEF，
∴△EFH∽△ECF，
∴EHEF=EFEC，
∴EF2=EH⋅EC，
∵DE/​/AC，DM/​/EF，
∴四边形DEFM是平行四边形，
∴EF=DM=DA=BD，
∴BG⋅BE=EH⋅EC，
∵BE=EC，
∴EH=BG=1．
【解析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质以及三角形相似的判定与性质，第三小题是难点，运用两对三角形相似得到比例中项问题，发现等线段是解决问题的关键．
(1)证明∠A=∠DMA，用等角对等边即可证明结论；
(2)由D、E分别是AB、BC的中点，可知DE/​/AC，于是∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，又∠A=∠AFE，∠AFE=∠C+∠FEC，根据等式性质得∠FEC=∠GDE，根据有两对对应角相等的两三角形相似可证；
(3)通过证明△BDG∽△BED和△EFH∽△ECF，可得BG⋅BE=EH⋅EC，又BE=EC，所以EH=BG=1．x
−1
0
1
3
y
−3
1
3
1