高中考试数学解答题——含参数的极值点偏移问题（含答案）

这是一份高中考试数学解答题——含参数的极值点偏移问题（含答案），共21页。试卷主要包含了已知是函数的两个零点，且，已知函数，若存在，使，求证等内容，欢迎下载使用。
★例1. 已知函数有两个不同的零点，求证：.
★例2. 已知函数，为常数，若函数有两个零点，证明：
[来源:学§科§网Z§X§X§K]
★例3.已知是函数的两个零点，且.
（1）求证：；
（2）求证：.
★例4.已知函数，若存在，使，求证：.
【招式演练】
★设函数的图像与轴交于两点，
（1）证明：；
（2）求证：.
★设函数，其图像在点处切线的斜率为.
当时，令，设是方程的两个根，
是的等差中项，求证：(为函数的导函数）.
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★设函数，函数为的导函数，且是的图像上不同的两点，满足，线段中点的横坐标为，证明：
★已知函数.
（1）若，求函数在上的零点个数；
（2）若有两零点（），求证：.
★已知函数 .
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设，证明：当时， ；
（Ⅲ）设是的两个零点，证明 .
★已知函数（）.
（Ⅰ）若，求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数，对于曲线上的两个不同的点，，记直线的斜率为，若，
证明：.
★已知函数，．
（Ⅰ）求过点且与曲线相切的直线方程；
（Ⅱ）设，其中为非零实数，有两个极值点，且，求的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求证：．
★已知函数.
（1）证明：当时，；
（2）若函数有两个零点， （， ），证明： .
【新题试炼】
【2019江西九江一模】已知函数
（Ⅰ）若函数存在最小值，且最小值大于，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若存在实数，使得，求证：函数在区间上单调递增。
【2019山东郓城一中月考】已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数的图象与直线交于,两点，线段中点的横坐标为，证明：为的导函数.
含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.
★例1. 已知函数有两个不同的零点，求证：.
不妨设，记，则，
因此只要证明：，
再次换元令，即证
构造新函数，
求导，得在上递增，
所以，因此原不等式获证.
★例2. 已知函数，为常数，若函数有两个零点，证明：
法二：利用参数作为媒介，换元后构造新函数：
不妨设，
∵，∴，
∴，欲证明，即证.
∵，∴即证，
∴原命题等价于证明，即证：，令，构造，此问题等价转化成为例1中思路2的解答，下略.
法三：直接换元构造新函数：
设，
则，
反解出：，
故，转化成法二，下同，略.
★例3.已知是函数的两个零点，且.
（1）求证：；
（2）求证：.
要证：，即证：，等价于，
也即，等价于，令
等价于，也等价于，等价于即证：
令，则，
又令，得，∴在单调递减，
，从而，在单调递减，∴，即证原不等式成立.
【点评】从消元的角度，消掉参数，得到一个关于的多元不等式证明，利用换元思想，将多元不等式变成了一元不等式，并通过构造函数证明相应不等式.
★例4.已知函数，若存在，使，求证：.[来源:
再证：.
∵，
而，
∴.证毕.
【招式演练】[来源:学*科*网Z*X*X*K]
★设函数的图像与轴交于两点，
（1）证明：；
（2）求证：.
（2）证明：由，易知且，
从而，令，则，
由于，下面只要证明：，
结合对数函数的图像可知，只需证：两点连线的斜率要比两点连线的斜率小即可，
又因为，即证：，
令，则，
∴在上单调递减，∴，
∴原不等式成立.
★设函数，其图像在点处切线的斜率为.
当时，令，设是方程的两个根，
是的等差中项，求证：(为函数的导函数）.
★设函数，函数为的导函数，且是的图像上不同的两点，满足，线段中点的横坐标为，证明：
【解析】∵，又依题意，
得在定义域上单调递增，所以要证，只需证，
即……
不妨设，注意到，由函数单调性知，有，
构造函数，则，
当时，，即单调递减，当时，，从而不等式式成立，故原不等式成立.
★已知函数.
（1）若，求函数在上的零点个数；
（2）若有两零点（），求证：.
【点评】1.方程的变形方向：①是函数的两个零点，1是该函数的极值点.②是函数的两个零点，是该函数的极值点.
2.难点的证明依赖利用放缩.
★已知函数 .
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设，证明：当时， ；
（Ⅲ）设是的两个零点，证明 .
【答案】（Ⅰ）在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）当时，；（Ⅲ）证明过程见解析
（Ⅱ）令，则

.
求导数，得 ，
当时，，在上是减函数.
而， ，
故当时，
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，当时，函数至多有一个零点，
故，从而的最小值为，且，
不妨设，则， ，
由（Ⅱ）得 ，
从而，于是，
由（Ⅰ）知， .
★已知函数（）.
（Ⅰ）若，求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数，对于曲线上的两个不同的点，，记直线的斜率为，若，
证明：.
【答案】（1）（2）见解析
由题设得 .
又 ，
∴
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不妨设， ，则，则
.
令 ，则，所以在上单调递增，所以，
故.
又因为，因此，即.
又由知在上单调递减，
所以，即.
★已知函数，．
（Ⅰ）求过点且与曲线相切的直线方程；
（Ⅱ）设，其中为非零实数，有两个极值点，且，求的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求证：．
【答案】（1）（2）见解析
∴，解得
∴切线的斜率为，∴切线方程为
（Ⅱ）
，
当时，即时， ， 在上单调递增；
当时，由得， ， ，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，由得， ， 在上单调递减，在上单调递增．
当时， 有两个极值点，即， ，即的范围是
点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
★已知函数.
（1）证明：当时，；
（2）若函数有两个零点， （， ），证明： .
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
试题解析：
（1）欲证证，
，
在上递增，
（2）， ，
令，易知在递减， ，
， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ，
要合题意，如图，，，右大于左，原题得证
【新题试炼】
【2019江西九江一模】已知函数
（Ⅰ）若函数存在最小值，且最小值大于，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若存在实数，使得，求证：函数在区间上单调递增。
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)详见解析
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，要存在实数x1，x2，使得f（x1）＝f（x2），则a＞0，
∵f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，
不妨设0＜x1＜x2，则0＜x1＜a，
令h（x）＝f（x）﹣f（2a﹣x），x∈（0，a），
则h′（x），
∴x∈（0，a）时，h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，a）递减，
∵x1∈（0，a），∴h（x1）＞h（a）＝f（a）﹣f（a）＝0，
即f（x1）﹣f（2a﹣x1）＞0，
∴f（x1）＞f（2a﹣x1），
∵f（x1）＝f（x2），
∴f（x2）＞f（2a﹣x1），
∵0＜x1＜a，∴2a﹣x1＞a，
∵f（x）在（a，+∞）递增，
∴x2＞2a﹣x1，∴a，
∴函数f（x）在区间[，+∞）递增，
∵x1≠x2，∴，
∴函数f（x）在区间[，+∞）上单调递增．
【2019山东郓城一中月考】已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数的图象与直线交于,两点，线段中点的横坐标为，证明：为的导函数.
【答案】（1）答案见解析；（2）见解析.
③当，即时，在上；在上；
故在和上为增函数；在上为减函数；
④当，即时，在上；在上；
故在上为增函数；在上为减函数.
即证 ，又因为在上单调递减
即证，又
故只需证
即证：当时，.
设
则
所以在单调递减，
又因为，
故得证