高中数学讲义——含参数函数的单调区间

这是一份高中数学讲义——含参数函数的单调区间，共11页。学案主要包含了基础知识，典型例题等内容，欢迎下载使用。

一、基础知识：
1、导数解单调区间的步骤：利用导数求函数单调区间的方法，大致步骤可应用到解含参函数的单调区间。即确定定义域→求出导函数→令解不等式→得到递增区间后取定义域的补集（减区间）→单调性列出表格
2、求含参函数单调区间的实质——解含参不等式，而定义域对的限制有时会简化含参不等式的求解
3、求单调区间首先确定定义域，并根据定义域将导数不等式中恒正恒负的项处理掉，以简化讨论的不等式
4、关于分类讨论的时机与分界点的确定
（1）分类时机：并不是所有含参问题均需要分类讨论，例如解不等式：，其解集为，中间并没有进行分类讨论。思考：为什么？因为无论参数为何值，均是将移到不等号右侧出结果。所以不需要分类讨论，再例如解不等式，第一步移项得：（同样无论为何值，均是这样变形），但是第二步不等式两边开方时发现的不同取值会导致不同结果，显然是负数时，不等式恒成立，而是正数时，需要开方进一步求解集，分类讨论由此开始。体会：什么时候开始分类讨论？简而言之，当参数的不同取值对下一步的影响不相同时，就是分类讨论开始的时机。所以一道题是否进行分类讨论不是一开始就决定的，而是在做的过程中遇到不同值导致不同步骤和结果，就自然的进行分类讨论。（2）分界点的确定：分类讨论一定是按参数的符号分类么？不一定。要想找好分界点，首先要明确参数在问题中所扮演的角色。例如上面的不等式，所扮演的角色是被开方数，故能否开方是进行下一步的关键，那自然想到按的符号进行分类讨论。
（3）当参数取值为一个特定值时，可将其代入条件进行求解
（4）当参数扮演多个角色时，则以其中一个为目标进行分类，在每一大类下再考虑其他角色的情况以及是否要进行进一步的分类。
例如：解不等式：，可得：此时扮演两个角色，一个是的系数，将决定解集是小大根之外还是小大根之间，另一个角色是决定的大小，进而要和来角逐大小根。那么在处理时可先以其中一个为主要目标，例如以系数的正负，进行分类。
①当时，此时不等式的解集为小大根之间，而由于，以此为前提，故小大根不存在问题，解集为
②当时，不等式变为
③当时，不等式解集为小大根之外，而，的大小由的取值决定，所以自然考虑再结合小大根进行进一步讨论了。（重视①③的对比）
时，不等式解集为
时，不等式化为
时，不等式解集为
希望通过此例能够体会分类讨论的时机与分界，若能领悟，其分类讨论不再是一个难点，而是有线索可循了。
二、典型例题：
例1：已知函数，求的单调区间
解：定义域

令，所解不等式为
当时，即解不等式
的单调区间为：
当时， 恒成立
为增函数:
例2：已知函数
（1）若的图像在处的切线与直线垂直，求实数的值
（2）求函数的单调区间
解：（1）由切线与垂直可得：

（2）思路：导函数，令解单调增区间，得到含参不等式。分类讨论时注意扮演两个角色：一个是影响最高次项的符号，一个是影响方程的根
解： 令即

① （将的范围分类后，要善于把每一类的范围作为已知条使用件，在本题中使用的条件使得大小能够确定下来，避免了进一步的分类）
的单调区间为：
② 的单调区间为：
例3：已知函数，求的单调区间
解：定义域：
，令，可得：
即
当时，
的单调区间为：
当时，为增函数
当时，恒成立 为增函数
例4：讨论函数的单调区间
解： 令
即 （注意定义域为，所以导函数分母恒正，去掉后简化所解不等式）
① 时 （求解需要除以后开方，进而两个地方均需要分类讨论，先从的符号入手）
恒成立，在单调递增
② 函数 为增函数
③ 时 （下一步为开方出解集，按的符号进行再分类）
当即时，恒成立，在单调递减
当即时，解得：
的单调区间为：
小炼有话说：本题定义域为，故对单调区间既有促进作用又有制约作用：促进作用体现在对所解不等式的简化，请大家养成一个良好习惯，当已知变量范围时，一边关注范围一边解不等式。制约作用体现在单调区间应该是定义域的子集，所以在时，表格中自变量的区间是从处开始分析的
例5：已知函数，讨论的单调性
解：定义域为
令即
考虑 （左边无法直接因式分解，考虑二次函数是否与轴有交点）
① 时 恒成立，故在单调递增
② 时 的解
的解集为
的单调区间为：
③ 时
在单调递增
小炼有话说：本题亮点在于②③的讨论，判断极值点是否在定义域中。进而确定单调性。除了解出根来判断符号之外，本题还可以利用韦达定理进行判断。，说明两根同号，而，说明的符号决定的正负，从而在的情况下进行再次分类讨论
例6：已知函数，其中.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间．
解：（1）
切线方程为：，即
（2），
令，即解不等式：
① 当时，解得：，故的单调区间为：
② 当时 ，所以解得：
故的单调区间为：
③ ，则，常值函数不具备单调性
④ 时，解得：或 故的单调区间为：
例7：已知函数.求函数的单调区间.
解：
令，即，
（参数角色：① 的大小，② 是否在定义域内，以①为目标分类）
① 即 （此时一定在定义域中，故不再分类）
不等式的解集为或 的单调区间为：
② 在单调递增
③ ，要根据是否在进行进一步分类
当时， 不等式的解集为或
的单调区间为：
当时，则，不等式的解集为 ，的单调区间为：
小炼有话说：
（1）在求单调区间时面临一个的根是否在定义域中的问题，由此也可体会到定义域对单调区间“双刃剑”的作用，一方面缩小自变量的范围从而有利于不等式的化简，另一方面也圈住了单调区间，极值点所在的范围。
（2）体会参数起到多重作用时，是如何进行分类讨论的，以及在某个大前提下，参数讨论也可进行些简化。
例8：已知函数，求的单调区间
解：定义域
令，即解不等式
（1）当时，可得，则不等式的解为
的单调区间为：
（2）当时，
① 时，即，解得或
的单调区间为：
② ，代入到恒成立 为增函数
③ ，解得：或
的单调区间为：
例9：设函数，求的单调区间；
解：，令即
（1） 则恒成立 在上单调递增
（2）或
① 当时，解得 ，单调区间为：
② 当时，解得：或
单调区间为：
例10：已知函数，其中，试讨论的单调性
思路：，可令，则需解不等式，由于的奇偶不同会导致解集不同，所以可对分奇偶讨论
解：
令解得
当为奇数时，为偶数，可解得：
的单调区间为：
当为偶数时，为奇数，可解得：
的单调区间为：
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