高中数学讲义——函数的对称性与周期性

这是一份高中数学讲义——函数的对称性与周期性，共12页。学案主要包含了基础知识，典型例题，近年模拟题题目精选等内容，欢迎下载使用。

（一）函数的对称性
1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称
2、轴对称的等价描述：
（1）关于轴对称（当时，恰好就是偶函数）
（2）关于轴对称
在已知对称轴的情况下，构造形如的等式只需注意两点，一是等式两侧前面的符号相同，且括号内前面的符号相反；二是的取值保证为所给对称轴即可。例如：关于轴对称，或得到均可，只是在求函数值方面，一侧是更为方便
（3）是偶函数，则，进而可得到：关于轴对称。
① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在中，仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的取相反数时，函数值相等，即，要与以下的命题区分：
若是偶函数，则：是偶函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有
② 本结论也可通过图像变换来理解，是偶函数，则关于轴对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称。
3、中心对称的等价描述：
（1）关于轴对称（当时，恰好就是奇函数）
（2）关于轴对称
在已知对称中心的情况下，构造形如的等式同样需注意两点，一是等式两侧和前面的符号均相反；二是的取值保证为所给对称中心即可。例如：关于中心对称，或得到均可，同样在求函数值方面，一侧是更为方便
（3）是奇函数，则，进而可得到：关于轴对称。
① 要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在中，仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的取相反数时，函数值相反，即，要与以下的命题区分：
若是奇函数，则：是奇函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有
② 本结论也可通过图像变换来理解，是奇函数，则关于中心对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称。
4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：
（1）可利用对称性求得某些点的函数值
（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像
（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称
（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同
（二）函数的周期性
1、定义：设的定义域为，若对，存在一个非零常数，有，则称函数是一个周期函数，称为的一个周期
2、周期性的理解：可理解为间隔为的自变量函数值相等
3、若是一个周期函数，则，那么，即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期
4、最小正周期：正由第3条所说，也是的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期。然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数
5、函数周期性的判定：
（1）：可得为周期函数，其周期
（2）的周期
分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：
所以有：，即周期
注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期
（3）的周期
分析：
（4）（为常数）的周期
分析：，两式相减可得：
（5）（为常数）的周期
（6）双对称出周期：若一个函数存在两个对称关系，则是一个周期函数，具体情况如下：（假设）
① 若的图像关于轴对称，则是周期函数，周期
分析：关于轴对称
关于轴对称
的周期为
② 若的图像关于中心对称，则是周期函数，周期
③ 若的图像关于轴对称，且关于中心对称，则是周期函数，周期
7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质。
（1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值
（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”
（3）单调区间：由于间隔的函数图象相同，所以若在上单调增（减），则在上单调增（减）
（4）对称性：如果一个周期为的函数存在一条对称轴 （或对称中心），则 存在无数条对称轴，其通式为
证明：关于轴对称
函数的周期为
关于轴对称
注：其中（3）（4）在三角函数中应用广泛，可作为检验答案的方法
二、典型例题：
例1：设为定义在上的奇函数，，当时，，则__________
思路：由可得：的周期，考虑将用中的函数值进行表示：，此时周期性已经无法再进行调整，考虑利用奇偶性进行微调： ，所以
答案：
例2：定义域为的函数满足，当时，，则（ ）
A. B. C. D.
思路：由，可类比函数的周期性，所以考虑将向进行转化：
答案：D
小炼有话说：虽然不是周期函数，但函数值关系与周期性类似，可理解为：间隔2个单位的自变量，函数值呈2倍关系。所以在思路上仍可沿用周期性的想法，将自变量向已知范围进行靠拢。
例3：定义在上的函数对任意，都有，则等于（ ）
A. B. C. D.
思路：由及所求可联想到周期性，所以考虑，所以是周期为4的周期函数，故，而由已知可得，所以
答案：D
例4（2009山东）：定义在上的函数满足，则的值为（ ）
A. B. C. D.
思路：所给的特点为才有解析式能够求值，而只能通过减少自变量的取值，由所求可联想到判断是否具有周期性，时，，则有，两式相加可得：，则，即在时周期是6，故
，而
答案：C
小炼有话说：（1）本题的思路依然是将无解析式的自变量通过函数性质向含解析式的自变量靠拢，而数较大，所以考虑判断函数周期性。
（2）如何快速将较大自变量缩至已知范围中？可利用带余除法除以周期，观察余数。则被除数的函数值与余数的函数值相同，而商即为被除数利用周期缩了多少次达到余数。例如本题中，从而
（3）本题推导过程中也有其用处，其含义是间隔为3的自变量函数值互为相反数，相比周期，它的间隔更小，所以适用于利用周期缩小自变量范围后，进行“微调”从而将自变量放置已知区间内
例5：函数是周期为的偶函数，当时，，则不等式在上的解集为___________
思路：从已知出发可知时，为增函数，且，所以时，，时，，由偶函数可得：时，，时，。从而可作出草图。由所解不等式可将分为两部分，当时，，所以，当时，，所以，综上解集为：
答案：
例6：已知是定义在上的函数，满足，当时，，则函数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
思路：由可得是周期为2的周期函数，所以只需要求出一个周期内的最值即可。由可得为奇函数，所以考虑区间，在时，，所以，而由于为奇函数，所以在时，，所以即为在的最小值，从而也是在上的最小值
答案：B
例7：已知定义域为的函数满足，且函数在区间上单调递增，如果，且，则的值（ ）
A. 可正可负 B. 恒大于0 C. 可能为0 D. 恒小于0
思路一：题目中给了单调区间，与自变量不等关系，所求为函数值的关系，从而想到单调性，而可得，因为，所以，进而将装入了中，所以由可得，下一步需要转化，由可得关于中心对称，所以有。代入 可得，从而
思路二：本题运用数形结合更便于求解。先从分析出关于中心对称，令代入到可得。中心对称的函数对称区间单调性相同，从而可作出草图。而，即的中点位于的左侧，所以比距离更远，结合图象便可分析出恒小于0
答案：D
小炼有话说：（1）本题是单调性与对称性的一个结合，入手点在于发现条件的自变量关系，与所求函数值关系，而连接它们大小关系的“桥梁”是函数的单调性，所以需要将自变量装入同一单调区间内。而对称性起到一个将函数值等价转化的作用，进而与所求产生联系
（2）数形结合的关键点有三个：第一个是中心对称图像的特点，不仅仅是单调性相同，而且是呈“对称”的关系，从而在图像上才能看出的符号；第二个是，进而可知；第三个是，既然是数形结合，则题中条件也要尽可能转为图像特点，而表现出中点的位置，从而能够判断出距离中心对称点的远近。
例8：函数的定义域为，若与都是奇函数，则（ ）
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. D. 是奇函数
思路：从已知条件入手可先看的性质，由为奇函数分别可得到：
，所以关于中心对称，双对称出周期可求得，所以不正确，且由已知条件无法推出一定符合。对于选项，因为，所以，进而可推出关于中心对称，所以为图像向左平移个单位，即关于对称，所以为奇函数，正确
答案：D
例9：已知定义域为的函数在上只有和两个零点，且与 都是偶函数，则函数在上的零点个数为（ ）
A. B. C. D.
思路：已知区间仅是，而所求区间为，跨度如此之大，需要函数性质。从条件入手为偶函数可得关于轴对称，从而判断出是周期函数，且，故可以考虑将以10为周期分组，先判断出一个周期内零点的个数，再乘以组数，加上剩余部分的零点即可
解：为偶函数
关于轴对称
为周期函数，且
将划分为
关于轴对称

在中只含有四个零点
而共组
所以
在中，含有零点共两个
所以一共有806个零点
答案：C
小炼有话说：（1）周期函数处理零点个数时，可以考虑先统计一个周期的零点个数，再看所求区间包含几个周期，相乘即可。如果有不满一个周期的区间可单独统计
（2）在为周期函数分段时有一个细节：“一开一闭”，分段的要求时“不重不漏”，所以在给周期函数分段时，一端为闭区间，另一端为开区间，不仅达到分段要求，而且每段之间保持队型，结构整齐，便于分析。
（3）当一个周期内含有对称轴（或对称中心）时，零点的统计不能仅限于已知条件，而要看是否由于对称产生新的零点。其方法一是可以通过特殊值的代入，二是可以通过图像，将零点和对称轴标在数轴上，看是否有由对称生成的零点（这个方法更直观，不易丢解）
例10：设函数是定义在上以1为周期的函数，若在区间上的值域为，则函数在上的值域为（ ）
A. B. C. D.
思路：设，则，因为为周期函数，故以为突破口，，考虑在中，所以，在中，所以，所以在的值域为
答案：B
三、近年模拟题题目精选
1、（2014，庆安高三期中）已知函数是R上的偶函数，且满足，当时，，则的值为（ ）
A．0.5 B．1.5 C． D．1
2、（2014，安徽）设函数满足，当时，，则（ ）
A. B. C. D.
3、（2014，四川）设是定义在上的周期为2的函数，当时，，则_________
4、（2014，新课标全国卷I）设函数的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. 是奇函数 D. 是奇函数
5、（2014，会宁县校级月考）已知，方程在内有且只有一个，则在区间内根的个数为（ ）
A. B. C. D.
6、已知定义在上的函数满足：，当时，，则______________
7、已知定义在上的函数满足，且时，，则（ ）
A. B. C. D.
8、已知是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，当时，，求
习题答案：
1、答案：B
解析：由可得：，两式相减可得：，所以的周期，再由是偶函数可得：
2、答案：A
解析：由可知，，，所以可得：
3、答案：1
解析：
4、答案：C
解析：为奇函数，可知为偶函数，所以根据奇偶性的规律可得：为奇函数，是偶函数，是奇函数，是偶函数，故C正确
5、答案：D
解析：，可得关于轴对称，因为在内有且只有一个零点，所以由对称性可得在只有两个零点。所以一个周期中含有两个零点，区间共包含1007个周期，所以有2014个零点
6、答案：
解析：由可得：关于中心对称，由可得：关于轴对称，所以可求出的周期，则
7、答案：
解析： 可知为奇函数，可得，所以
8、答案：
解析：由可得：的周期，由于具备周期性，故求和时可考虑按照周期将一个周期的函数值归为一组，求出一组的结果，在考虑求和的式子中含有多少组周期即可：


故