2021-2022学年安徽省蚌埠市高二（上）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年安徽省蚌埠市高二（上）期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）在空间直角坐标系下，点P（﹣1，5，2）关于yOz平面的对称点的坐标为（ ）
A．（﹣1，5，2）B．（1，5，﹣2）
C．（1，5，2）D．（﹣1，﹣5，﹣2）
2．（5分）已知直线x+my+3＝0和（2m﹣3）x+y+4＝0互相垂直，则实数m的值为（ ）
A．﹣1B．1C．1或2D．2
3．（5分）两圆x2+y2﹣36＝0和（x﹣3）2+（y+4）2＝1的位置关系是（ ）
A．内切B．外离C．外切D．相交
4．（5分）已知双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．3x±y＝0B．x±3y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝0
5．（5分）中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲哀偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a升，b升，1斗为10升，则下列判断正确的是（ ）
A．a，b，c依次成公比为2的等比数列，且
B．a，b，c依次成公比为2的等比数列，且
C．a，b，c依次成公比为的等比数列，且
D．a，b，c依次成公比为的等比数列，且
6．（5分）函数f（x）＝x2﹣2x+mlnx 在定义域上是增函数，则实数m的取值范围为（ ）
A．m≥B．m＞C．m≤D．m＜
7．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若a1≠a2，a3•a4＝2a1，a3﹣a2＝2（a4﹣a3），则下列结论正确的是（ ）
A．q＝2B．a7＝2C．a8＝8D．S6＝126
8．（5分）已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，则下列说法错误的是（ ）
A．数列一定是等比数列
B．数列{lnan}一定是等差数列
C．数列一定是等差数列
D．数列{an+an+1}可能是常数数列
9．（5分）在下列命题中正确的是（ ）
A．已知，，是空间三个向量，则空间任意一个向量总可以唯一表示为＝x+y+z
B．若所在的直线是异面直线，则不共面
C．若三个向量，，两两共面，则，，共面
D．已知A，B，C三点不共线，若，则A，B，C，D四点共面
10．（5分）已知直线l与抛物线y2＝4x交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若直线OA，则直线l恒过定点（ ）
A．（4，0）B．（0，4）C．（0，﹣4）D．（﹣4，0）
11．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，若点P在侧面BCC1B1（不含边界）内运动，AP⊥BD1，且点P到底面ABCD的距离为3，则异面直线BP与B1D1所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
12．（5分）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比λ（λ≠1）为定值的点的轨迹是圆”．后来，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（4，0），设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（ ）
A．C的方程为（x﹣4）2+y2＝16
B．当A，B，P三点不共线时，△ABP面积的最大值为24
C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的角平分线
D．在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知向量，若，则实数λ＝ ．
14．（5分）抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为 ．
15．（5分）已知函数f（x）＝sinx+csx在点处的切线为直线l ．
16．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线交双曲线右支于A，B两点，若△ABF1是等腰三角形，且∠A＝120°，则△ABF1的面积为 ．
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出说明文字、演算式、证明步骤．
17．（10分）已知函数f（x）＝﹣x3+ax2+bx﹣5在x＝﹣1处有极值﹣1．
（1）求常数a，b的值；
（2）求函数f（x）在[﹣2，0]上的最值．
18．（12分）已知直线l：（m+2）x﹣（2m+1）y+m﹣4＝02+y2﹣4x﹣6y+8＝0．
（1）求证：直线l恒过定点；
（2）若直线l的倾斜角为45°，求直线l被圆C截得的弦长．
19．（12分）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，AB＝，CE＝EF＝1．
（1）求证：AF∥平面BDE；
（2）求平面ABE与平面BDE的夹角．
20．（12分）已知等差数列{an}公差不为0，a2＝5且a1，a4，a13成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn；
（2）记，求数列{bn}的前n项和Tn．
21．（12分）已知函数f（x）＝xα﹣α（x﹣1），其中α为常数，且0＜α＜1．
（1）求证：x＞0时，f（x）≤1；
（2）已知a，b，p，q为正实数，满足p+q＝1pbq的大小关系．
22．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的焦距为4
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设斜率为k的直线与椭圆C交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，O为坐标原点，若△MON的面积为定值12+x22是否为定值，如果是，求出该定值，说明理由．
附加题（本小题满分0分）
23．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）过点Q（1，2），F为其焦点，B两点，动点P满足△PAB的垂心为原点O．
（1）求抛物线E的方程；
（2）求证：动点P在定直线m上，并求的最小值．
2021-2022学年安徽省蚌埠市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．（5分）在空间直角坐标系下，点P（﹣1，5，2）关于yOz平面的对称点的坐标为（ ）
A．（﹣1，5，2）B．（1，5，﹣2）
C．（1，5，2）D．（﹣1，﹣5，﹣2）
【分析】点（a，b，c）关于yOz平面的对称点的坐标是（﹣a，b，c）．
【解答】解：在空间直角坐标系Oxyz中，点（﹣1，5，
根据关于坐标平面yOz的对称点的坐标的特点，
可得点（﹣4，5，2）关于yOz平面的对称点的坐标是（8，5．
故选：C．
【点评】本题考查空间中点的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
2．（5分）已知直线x+my+3＝0和（2m﹣3）x+y+4＝0互相垂直，则实数m的值为（ ）
A．﹣1B．1C．1或2D．2
【分析】由题意，利用两直线垂直的性质，两直线垂直时，一次项对应系数之积的和等于0，计算求得结果．
【解答】解：∵直线x+my+3＝0和（6m﹣3）x+y+4＝2互相垂直，
∴1×（2m﹣6）+m×1＝0，求得m＝3，
故选：B．
【点评】本题主要考查两直线垂直的性质，两直线垂直时，一次项对应系数之积的和等于0，属于基础题．
3．（5分）两圆x2+y2﹣36＝0和（x﹣3）2+（y+4）2＝1的位置关系是（ ）
A．内切B．外离C．外切D．相交
【分析】分别找出两圆的圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式求出圆心距d，根据d与R、r的大小比较发现，d＝R﹣r，可得出两圆内切．
【解答】解：由圆x2+y2＝36，得到圆心A（5，半径R＝6，
由（x﹣3）2+（y+4）2＝5，可得圆心B（3，半径r＝1，
∵两圆心距d＝|AB|＝8＝6﹣1
∴两圆内切．
故选：A．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系及其判定，涉及的知识有：圆的标准方程，两点间的距离公式，圆与圆位置关系可以由d，R及r三者的关系来判定，当0≤d＜R﹣r时，两圆内含；当d＝R﹣r时，两圆内切；当R﹣r＜d＜R+r时，两圆相交；当d＝R+r时，两圆外切；当d＞R+r时，两圆外离．
4．（5分）已知双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．3x±y＝0B．x±3y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝0
【分析】利用双曲线的离心率，得到a，b关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．
【解答】解：双曲线的离心率为，
可得，可得b＝6．
双曲线C的渐近线方程为：y＝±x．即x±4y＝0．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
5．（5分）中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲哀偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a升，b升，1斗为10升，则下列判断正确的是（ ）
A．a，b，c依次成公比为2的等比数列，且
B．a，b，c依次成公比为2的等比数列，且
C．a，b，c依次成公比为的等比数列，且
D．a，b，c依次成公比为的等比数列，且
【分析】由题意可知a，b，c依次成公比为的等比数列，根据等比数列的求和公式即可求出
【解答】解：由题意可知a，b，c依次成公比为，
则a+b+c＝a+a+，
解得a＝×50，
∴c＝×50×＝，
故选：D．
【点评】本题考查了等比数列在数学文化中的应用，属于基础题．
6．（5分）函数f（x）＝x2﹣2x+mlnx 在定义域上是增函数，则实数m的取值范围为（ ）
A．m≥B．m＞C．m≤D．m＜
【分析】根据题意，求出函数f（x）的导数，分析可得f′（x）＝2x﹣2+≥0在（0，+∞）上恒成立，将2x﹣2+≥0变形可得m≥2x﹣2x2，由此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）＝x2﹣2x+mlnx，其定义域为{x|x＞6}
则f′（x）＝2x﹣2+，
若 f（x）＝x2﹣2x+mlnx 在定义域上是增函数，则f′（x）＝2x﹣3+，+∞）上恒成立，
2x﹣2+≥8变形可得m≥2x﹣2x5，
又由2x﹣2x7＝2x（1﹣x）≤，当且仅当x＝，
则有m≥，
故选：A．
【点评】本题考查利用导数分析函数的单调性，注意函数的导数与单调性的关系，属于基础题．
7．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若a1≠a2，a3•a4＝2a1，a3﹣a2＝2（a4﹣a3），则下列结论正确的是（ ）
A．q＝2B．a7＝2C．a8＝8D．S6＝126
【分析】由已知结合等比数列的性质，通项公式及求和公式即可求解．
【解答】解：因为等比数列{an}中，a1≠a2，
所以q≠6，
因为a3•a4＝4a1，a3﹣a8＝2（a4﹣a2）＝2q（a3﹣a5），
所以＝2a1，且4q＝1即q＝，A错误；
所以a1＝64，
a7＝64×＝2；
a8＝＝64×＝；
S3＝＝126．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质，通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
8．（5分）已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，则下列说法错误的是（ ）
A．数列一定是等比数列
B．数列{lnan}一定是等差数列
C．数列一定是等差数列
D．数列{an+an+1}可能是常数数列
【分析】由题意，利用等差数列的定义和性质，得出结论．
【解答】解：∵数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，∴an+1﹣an＝d（为常数），∴＝＝2d为常数，故数列，故A正确；
若{an}中有负数，则lnan可能无意义，故B错误；
∵＝a3+d＝1﹣，是一个关于n的一次函数一定是等差数列；
∵an+an+8＝2a1+（2n﹣1）d＝2nd+8a1﹣d，当d＝0时，故数列{an+an+7}可能是常数数列，故D正确，
故选：B．
【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，属于基础题．
9．（5分）在下列命题中正确的是（ ）
A．已知，，是空间三个向量，则空间任意一个向量总可以唯一表示为＝x+y+z
B．若所在的直线是异面直线，则不共面
C．若三个向量，，两两共面，则，，共面
D．已知A，B，C三点不共线，若，则A，B，C，D四点共面
【分析】对于A，利用空间向量基本定理判断；
对于B，利用向量的定义判断；
对于C，举例判断；
对于D，共面向量定理判断．
【解答】解：对于A，若，，三个向量共面，，表示，对于B，是可以自由平移所在的直线是异面直线时，，所以B错误，
对于C，当三个向量，，，如空间直角坐标系中的3个基向量两两共面，所以C错误，
对于D，因为A，B，C三点不共线，，且＝1A，B，C，D四点共面，所以D正确，
故选：D．
【点评】本题考查了向量基本定理及共线（面）向量的判断，属于基础题．
10．（5分）已知直线l与抛物线y2＝4x交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若直线OA，则直线l恒过定点（ ）
A．（4，0）B．（0，4）C．（0，﹣4）D．（﹣4，0）
【分析】直线l的方程为x＝my+b，联立抛物线的方程，由韦达定理可得y1y2＝﹣4b，再结合k1k2＝﹣1，解得b，进而可得答案．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x3，y2），
因为直线OA，OB的斜率k1，k4满足k1k2＝﹣5，
所以•＝﹣1，
所以＝﹣17y2＝﹣16，
设直线l的方程为x＝my+b，
联立抛物线的方程得，y2﹣7my﹣4b＝0，
所以y6y2＝﹣4b，
即﹣5b＝﹣16，解得b＝4，
所以直线l恒过点（4，2）．
故选：A．
【点评】本题考查抛物线的方程，解题中需要理清数量关系，属于中档题．
11．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，若点P在侧面BCC1B1（不含边界）内运动，AP⊥BD1，且点P到底面ABCD的距离为3，则异面直线BP与B1D1所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】以点D为原点，分别以，，为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出相应的点的坐标，设P（a，4，3），根据AP⊥BD1可求出a的值，进而利用向量即可求出异面直线BP与B1D1所成角的余弦值．
【解答】解：以点D为原点，分别以，，，y轴，建立空间直角坐标系，
则A（4，8，0），4，7），D1（0，6，4），4，2），
∴＝（a﹣4，4，＝（﹣4，4），
∵AP⊥BD2，
∴＝﹣4（a﹣2）﹣4×4+2×3＝0，
解得a＝4，∴P（3，4，
∴＝（﹣8，0，
又∵B1＝（6，4，4），D5＝（0，0，4），∴，
∴异面直线BP与B7D1所成角的余弦值为＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查了异面直线所成的角，同时考查了学生运算求解能力，属于中档题．
12．（5分）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比λ（λ≠1）为定值的点的轨迹是圆”．后来，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（4，0），设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（ ）
A．C的方程为（x﹣4）2+y2＝16
B．当A，B，P三点不共线时，△ABP面积的最大值为24
C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的角平分线
D．在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|
【分析】根据题意可求出C的方程为（x+4）2+y2＝16，即可根据题意判断各选项的真假．
【解答】解：对A，由可得2+y2+7x＝0，
即（x+4）4+y2＝16，A错误；
对B，当A，B，点P到直线AB的最大距离为4，
所以△ABP面积的最大值为，B错误；
对C，当A，B，因为，
所以射线PO是∠APB的角平分线，C正确；
对D，设M（x，由|MO|＝2|MA|可得点M的轨迹方程为，
而圆（x+7）2+y2＝16与圆的圆心距为，
两圆内含，所以这样的点M不存在．
故选：C．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的方程的求解等知识，属于中等题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知向量，若，则实数λ＝ 2 ．
【分析】根据空间向量的共线定理列方程求出λ的值．
【解答】解：因为向量，且，
所以＝m，
即，
解得m＝2，λ＝6．
故答案为：2．
【点评】本题考查了空间向量的共线定理应用问题，是基础题．
14．（5分）抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为 ﹣ ．
【分析】先把抛物线方程真理成标准方程，求得准线方程，判断出a＜0，进而根据y＝﹣＝1，求得a．
【解答】解：将抛物线化为标准方程：x2＝y，因为其准线为y＝4，
所以a＜0，
从而其准线方程为y＝﹣＝1，
解得a＝﹣．
故答案为：﹣
【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程，考查了学生对抛物线标准方程的基础知识的理解和把握．
15．（5分）已知函数f（x）＝sinx+csx在点处的切线为直线l ．
【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝处的导数值，再求出f（）的值，利用直线方程的点斜式求得切线方程，进一步求出切线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式得答案．
【解答】解：由f（x）＝sinx+csx，得f′（x）＝csx﹣sinx，
则f′（）＝﹣1）＝1，
∴函数f（x）在点处的切线方程为y﹣1＝﹣1×（x﹣），
取x＝0，得y＝，得x＝，
∴l与坐标轴围成的三角形面积为S＝．
故答案为：．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查三角形面积的求法，是基础题．
16．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线交双曲线右支于A，B两点，若△ABF1是等腰三角形，且∠A＝120°，则△ABF1的面积为 ．
【分析】根据双曲线的定义求出|BF1|＝8，然后求出三角形的高AD的长度，利用三角形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：由双曲线方程得a＝2．
如图，设|AF2|＝m，|BF4|＝n，则|AF1|＝4+m，|BF6|＝4+n，
则|AB|＝m+n，
∵△ABF1是等腰三角形，
所以5+m＝m+n，解得n＝4．
则|BF1|＝4+4＝8，
过点A作 AD⊥BF8于D，
则点D为线段BF1的中点，
∵∠A＝120°，∴∠F1AD＝60°，
则tan60°＝＝，则AD＝，
则△ABF5的面积S＝×5×＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查双曲线定义的应用，根据双曲线的定义求出|BF1|的长度是解决本题的关键，是中档题．
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出说明文字、演算式、证明步骤．
17．（10分）已知函数f（x）＝﹣x3+ax2+bx﹣5在x＝﹣1处有极值﹣1．
（1）求常数a，b的值；
（2）求函数f（x）在[﹣2，0]上的最值．
【分析】（1）求出导函数，结合函数的极值，列出方程求解a，b即可．
（2）通过导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的最值．
【解答】解：（1）函数f（x）＝﹣x3+ax2+bx﹣8，f′（x）＝﹣3x2+7ax+b，
由题意：f（﹣1）＝a﹣b﹣4＝﹣3，f'（﹣1）＝﹣2a+b﹣5＝0
解得：a＝﹣6，b＝﹣3．            
经检验，a＝﹣6，函数f（x）在x＝﹣1处有极值﹣7．            
（2）由（1）知：f'（x）＝﹣3x2﹣12x﹣5＝﹣3（x+1）（x+4），
由f'（x）＞0知：﹣3＜x＜﹣2，
∴f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递增，7]上单调递减
∴f（x）max＝f（﹣1）＝﹣1，f（x）min＝min{f（﹣6），f（0）}＝min{﹣3．            （10分）
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，单调区间的求法，是中档题．
18．（12分）已知直线l：（m+2）x﹣（2m+1）y+m﹣4＝02+y2﹣4x﹣6y+8＝0．
（1）求证：直线l恒过定点；
（2）若直线l的倾斜角为45°，求直线l被圆C截得的弦长．
【分析】（1）直线方程变形后令m的系数等于0消去参数即可求得定点坐标．
（2）先求出圆心C到直线l的距离，然后用勾股定理即可求得弦长．
【解答】（1）证明：l：m（x﹣2y+1）+5x﹣y﹣4＝0，
联立得，
即直线l过定点（（3，8）．
（2）解：由题意直线l的斜率，即m＝1，
∴l：x﹣y﹣7＝0，
圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝7，圆心C（2，半径，
圆心C到直线l的距离，
所以直线l被圆C所截得的弦长为．
【点评】本题主要考查直线恒过定点问题，直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．
19．（12分）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，AB＝，CE＝EF＝1．
（1）求证：AF∥平面BDE；
（2）求平面ABE与平面BDE的夹角．
【分析】（1）以C为坐标原点，CD，CB，CE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面BDE的法向量，通过平面BDE，推出AF∥平面BDE．
（2）求出平面ABE的法向量，利用空间向量的数量积，求解平面ABE与平面BED的夹角．
【解答】（1）证明：∵平面ABCD⊥平面ACEF，平面ABCD∩平面ACEF＝AC，
∴CE⊥平面ABCD，∴CE⊥CD，CD⊥BC
以C为坐标原点，CD，CE所在直线分别为x轴，z轴建立空间直角坐标系，，．      
设平面BDE的法向量为＝（x，y，则，取x＝1，z＝，
所以，
∵平面BDE．      （6分）
（2）解：，
设平面ABE的法向量为＝（a，b，则，取b＝2，
所以．       （9分）
∴．
所以平面ABE与平面BED的夹角为．            （12分）
【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，是中档题．
20．（12分）已知等差数列{an}公差不为0，a2＝5且a1，a4，a13成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn；
（2）记，求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】（1）由题意可得：，即a4＝3a1，再利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出结论．
（2），利用裂项求和方法即可得出．
【解答】解：（1）由题意：，即a4＝3a7，
又∵a4＝a1+4d，∴，
∴，
∴an＝2n+1，．
（2），
∴．
【点评】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）＝xα﹣α（x﹣1），其中α为常数，且0＜α＜1．
（1）求证：x＞0时，f（x）≤1；
（2）已知a，b，p，q为正实数，满足p+q＝1pbq的大小关系．
【分析】（1）由f（x）求得f''（x）＝α（α﹣1）xα﹣2＜0，即f''（x）再R上递减，又f'（1）＝0，可得f（x）在（1，+∞）上单调递减．得f（x）≤f（1）＝1；
（2）取x＝，α＝q可得，两边同乘以a化简，再结合p+q＝1可得答案．
【解答】解：（1）f'（x）＝αxα﹣1﹣α，
f''（x）＝α（α﹣1）xα﹣5＜0，
∴f'（x）在（0，+∞）上单调递减，
又因为f'（1）＝8，所以f（x）在（0，在（1．
所以f（x）≤f（1）＝8．
（2）由（1）取x＝，α＝q可得：，
两边同乘以a得：a7﹣qbq﹣qb+qa≤a，
∴a1﹣qbq≤（1﹣q）a+qb，
即apbq≤pa+qb．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，同时考查了转化的思想和计算能力，属于中档题．
22．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的焦距为4
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设斜率为k的直线与椭圆C交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，O为坐标原点，若△MON的面积为定值12+x22是否为定值，如果是，求出该定值，说明理由．
【分析】（1）利用已知条件求解a，b，即可得到椭圆方程．
（2）设MN：y＝kx+m，联立直线与椭圆方程，通过韦达定理，弦长公式以及点到直线的距离公式公式求解三角形的面积，推出m2＝3k2+1，然后求解即可．
【解答】解：（1）由题意，可得
由a2＝b6+c2＝b2+2，知，
故椭圆C的标准方程为，（4分）
（2）设MN：y＝kx+m，①
椭圆．②
联立①②，得（3k5+1）x2+8kmx+3（m2﹣4）＝0，
∴，（6分）
O到直线l的距离，
∴
＝
＝，
∴，即m2＝3k2+4，（9分）
∴
＝．
故为定值6．            
【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
附加题（本小题满分0分）
23．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）过点Q（1，2），F为其焦点，B两点，动点P满足△PAB的垂心为原点O．
（1）求抛物线E的方程；
（2）求证：动点P在定直线m上，并求的最小值．
【分析】（1）代入Q（1，2）可得p，进而得到所求抛物线方程；
（2）方法一、设l：ty＝x﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立y2＝4x，运用韦达定理和直线方程的交点可得P在定直线m上，由三角形的面积公式和基本不等式可得所求最小值；
方法二、设l：ty＝x﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立y2＝4x，运用韦达定理和向量共线定理、以及向量垂直的条件可得P在定直线m上，由三角形的面积公式和基本不等式可得所求最小值．
【解答】解：（1）Q（1，2）代入y4＝2px解得p＝1，
可得抛物线的方程为y4＝4x；
（2）证法1：（巧设直线）
证明：设l：ty＝x﹣6，A（x1，y1），B（x8，y2），联立y2＝6x，可得，
则有，可设AP：，即，
同理BP：，解得P（﹣3，
即动点P在定直线m：x＝﹣3上，
＝，
当且仅当时取等号1，d3分别为点P和点Q到直线AB的距离．
证法2：（利用向量以及同构式）
证明：设l：x＝my+1（m≠3），A（x1，y1），B（x2，y2），联立y2＝6x，
可得y2﹣4my﹣7＝0，则有，，，
又O为△PAB的垂心，从而，
同理：，从而可知，y1，y7是方程的两根，
所以，所以动点P在定直线m：x＝﹣3上，
＝，
当且仅当时取等号1，d2分别为点P和点Q到直线AB的距离．
【点评】本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和向量共线定理，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．
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