2021-2022学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）已知空间向量（1，﹣1，0），（1，﹣1，1），则||＝（ ）
A．3B．C．D．
2．（3分）已知点A（﹣1，0），B（2，）在直线l上，则直线l的倾斜角大小为（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法种数是（ ）
A．7B．9C．12D．16
4．（3分）椭圆和椭圆（0＜k＜9）有（ ）
A．等长的长轴B．相等的焦距
C．相等的离心率D．等长的短轴
5．（3分）已知在数列{an}中，an＝an﹣1+1（n∈N*且n≥2），设Sn为{an}的前n项和，若S9＝72，则a9＝（ ）
A．8B．12C．16D．36
6．（3分）过点（1，﹣1）且与曲线y＝x3﹣2x相切的切线方程为（ ）
A．x﹣y﹣2＝0或5x+4y﹣1＝0B．x﹣y﹣2＝0
C．x﹣y+2＝0D．x﹣y+2＝0或4x+5y+1＝0
7．（3分）第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为O1，O2，O3，O4，O5，若双曲线C以O1，O3为焦点、以直线O2O4为一条渐近线，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
8．（3分）已知函数，若x＝2是函数f（x）的唯一极值点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．（0，2]D．[2，+∞）
二、多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对得2分）
（多选）9．（4分）数列0，1，0，﹣1，0，1，0，﹣1，…的一个通项公式是（ ）
A．B．
C．D．
（多选）10．（4分）已知，下列说法正确的是（ ）
A．f（x）在x＝1处的切线方程为y＝x+1
B．f（x）的单调递减区间为（e，+∞）
C．f（x）的极大值为
D．方程f（x）＝﹣1有两个不同的解
（多选）11．（4分）已知抛物线C：yx2，过焦点F的直线交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，直线AO，BO分别于直线m：y＝﹣2相交于M，N两点．则下列说法正确的是（ ）
A．焦点F的坐标为（0，2）
B．y1y2＝1
C．||||的最小值为4
D．△AOB与△MON的面积之比为定值
（多选）12．（4分）设函数f（x）＝x（x﹣1）（x﹣a），则下列结论正确的是（ ）
A．当a＝﹣4时，函数f（x）在上的平均变化率为
B．当a＝1时，函数f（x）的图象与直线y＝﹣1有1个交点
C．当a＝2时，函数f（x）的图象关于点（0，1）中心对称
D．若函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，则当a≥2时，f（x1）+f（x2）≤0
三、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）已知等比数列{an}中，a2＝﹣2，a5＝16，则该数列的公比为 ．
14．（3分）用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻面不同色，共有 种涂法．
15．（3分）已知双曲线的方程为，如图，点A的坐标为（﹣3，0），B是圆x2+（y﹣3）2＝1上的点，点M在双曲线的右支上，则|MA|+|MB|的最小值为 ．
16．（3分）若函数f（x）mx+lnx有极值，则函数f（x）的极值之和的取值范围是 ．
四、解答题（本题共6小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4＝0与圆C相切．
（1）求圆C的标准方程；
（2）求直线l：x﹣2y+2＝0与圆C相交的弦长．
18．（8分）已知等比数列{an}的公比q＝2，且a2，a3+1，a4成等差数列．
（1）求a1及an；
（2）设bn＝an+n，求数列{bn}的前5项和S5．
19．（8分）已知f（x）＝x3+3ax2+bx+a2（a＞1）在x＝﹣1时有极值0．
（1）求常数a，b的值；
（2）求f（x）在区间[﹣4，0]上的最值．
20．（8分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．
21．（8分）已知椭圆E：1（a＞b＞0）的右焦点为F（，0），顺次连接椭圆E的四个顶点恰好构成一个边长为的菱形．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设M（，），O为坐标原点，A，B是椭圆E上两点，且AB的中点在线段OM（不含端点O、M）上，求△AOB面积S的取值范围．
22．（10分）已知函数f（x）＝x2lnx﹣ax+1．
（1）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若函数y＝f（x）﹣ax3+ax﹣1的两个非零零点为x1，x2，证明：x1x2＞e2．（e＝2.71828…为自然对数的底数）．
2021-2022学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）已知空间向量（1，﹣1，0），（1，﹣1，1），则||＝（ ）
A．3B．C．D．
【分析】利用向量坐标运算法则求出，由此能求出||．
【解答】解：∵空间向量（1，﹣1，0），（1，﹣1，1），
∴（2，﹣2，1），
||3．
故选：A．
【点评】本题考查向量的模的求法，考查向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（3分）已知点A（﹣1，0），B（2，）在直线l上，则直线l的倾斜角大小为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据直线的斜率公式先求出斜率，然后求出倾斜角即可．
【解答】解：∵直线l过点A（﹣1，0），B（2，），
∴直线的斜率k，
∵k＝tanα，
∴α．
故选：D．
【点评】本题主要考查直线斜率和倾斜角的计算，根据相应的公式是解决本题的关键．
3．（3分）从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法种数是（ ）
A．7B．9C．12D．16
【分析】根据题意，依次分析从A到C和从C到B的走法数目，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，则从A到C有3种不同的走法，
从C地到B地有四条路，则从C到B有4种不同的走法，
则从A地到B地不同的走法种数有3×4＝12种；
故选：C．
【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意分步计数原理与分类计数原理的不同，属于基础题．
4．（3分）椭圆和椭圆（0＜k＜9）有（ ）
A．等长的长轴B．相等的焦距
C．相等的离心率D．等长的短轴
【分析】分别求出椭圆C1和椭圆C2的长轴，焦距，离心率，短轴，由此能求出结果．
【解答】解：椭圆C1：1的长轴2a＝10，焦距2c＝8，
离心率e，短轴2b＝6，
椭圆C2：1（0＜k＜9）的长轴2a′＝2，
焦距2c′＝8，
离心率e′，短轴2b′＝2，
∴椭圆C1：1和椭圆C2：1（0＜k＜9）有等长的焦距．
故选：B．
【点评】本题考查椭圆的性质的应用，是基础题，解题时要认真审题．
5．（3分）已知在数列{an}中，an＝an﹣1+1（n∈N*且n≥2），设Sn为{an}的前n项和，若S9＝72，则a9＝（ ）
A．8B．12C．16D．36
【分析】推导出数列{an}是以1为公差的等差数列，S99a5＝72，解得a5＝8．由此能求出a9．
【解答】解：∵在数列{an}中，an＝an﹣1+1（n∈N*且n≥2），
∴an﹣an﹣1＝1，
∴数列{an}是以1为公差的等差数列，
∵Sn为{an}的前n项和，S9＝72，
∴S99a5＝72，
解得a5＝8．
∴a9＝a5+4＝12．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列第9项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．（3分）过点（1，﹣1）且与曲线y＝x3﹣2x相切的切线方程为（ ）
A．x﹣y﹣2＝0或5x+4y﹣1＝0B．x﹣y﹣2＝0
C．x﹣y+2＝0D．x﹣y+2＝0或4x+5y+1＝0
【分析】设切点坐标为（x0，），求出函数在切点处的切线方程，把点（1，﹣1）代入求得切点的横坐标，则切线方程可求．
【解答】解：设切点坐标为（x0，），
由y＝x3﹣2x，得y′＝3x2﹣2，则．
∴过切点的切线方程为y，
代入（1，﹣1），可得，
整理得：，即x0＝1或．
当x0＝1时，切线方程为x﹣y﹣2＝0；
当时，切线方程为5x+4y﹣1＝0．
故选：A．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．
7．（3分）第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为O1，O2，O3，O4，O5，若双曲线C以O1，O3为焦点、以直线O2O4为一条渐近线，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【分析】建立平面直角坐标系，可得双曲线的渐近线方程为y，由O4（﹣13，﹣11）在渐近线上，可得，即可求得离心率．
【解答】解：如图建立平面直角坐标系，依题意，可得双曲线的渐近线方程为y，
由O4（﹣13，﹣11）在渐近线上，可得﹣11即可得，
则双曲线C的离心率为．
故选：A．
【点评】本题考查了双曲线的渐近线、离心率，属于中档题．
8．（3分）已知函数，若x＝2是函数f（x）的唯一极值点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．（0，2]D．[2，+∞）
【分析】由f（x）的导函数形式可以看出，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根．
【解答】解：∵函数f（x）的定义域是（0，+∞），
∴f′（x）k，
∵x＝2是函数f（x）的唯一一个极值点，
∴x＝2是导函数f′（x）＝0的唯一根，
∴ex﹣kx2＝0在（0，+∞）无变号零点，
即k在x＞0上无变号零点，令g（x），
因为g'（x），
所以g（x）在（0，2）上单调递减，在x＞2 上单调递增，
所以g（x）的最小值为g（2），
所以必须k，
故选：A．
【点评】本题考查由函数的导函数确定极值问题．对参数需要进行讨论．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对得2分）
（多选）9．（4分）数列0，1，0，﹣1，0，1，0，﹣1，…的一个通项公式是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意，分析可得该数列的周期为4，连续4项依次为0，1，0，﹣1，分析选项即可得答案．
【解答】解：根据题意，分析可得该数列的周期为4，连续4项依次为0，1，0，﹣1，
分析可得AD选项符合题意；
故选：AD．
【点评】本题考查数列的表示方法，关键是分析数列变化的规律．
（多选）10．（4分）已知，下列说法正确的是（ ）
A．f（x）在x＝1处的切线方程为y＝x+1
B．f（x）的单调递减区间为（e，+∞）
C．f（x）的极大值为
D．方程f（x）＝﹣1有两个不同的解
【分析】先对函数求导，然后结合导数的几何意义，求出切线的斜率，进而求出切线方程，再由导数与单调性，极值的关系，分别检验选项即可．
【解答】解：由f（x），得f′（x） （x＞0），
则f（1）＝0，f′（1）＝1，所以f（x）在x＝1处的切线方程为y＝x﹣1，A错误；
当x＞e时，f′（x）＜0，函数单调递减，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，函数单调递增，
故当x＝e时，函数取得极大值f（e），B正确，C正确；
因为f（1）＝0，当x→0时，f（x）→﹣∞，x→+∞时，f（x）→0且f（x）＞0，
所以f（x）＝﹣1只有一解，D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性，极值，属中档题．
（多选）11．（4分）已知抛物线C：yx2，过焦点F的直线交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，直线AO，BO分别于直线m：y＝﹣2相交于M，N两点．则下列说法正确的是（ ）
A．焦点F的坐标为（0，2）
B．y1y2＝1
C．||||的最小值为4
D．△AOB与△MON的面积之比为定值
【分析】由抛物线的方程可得焦点F的坐标，可判断A不正确，设直线AB的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积可得B正确；当||＝||时，||•||最小，且可得最小值为4，判断C正确，求出直线AO，BO的方程，令y＝﹣2求出M，N的横坐标，进而求出M，N的坐标，求出三角形OMN，三角形OAB的面积坐标，可得为定值，判断D正确．
【解答】解：抛物线的方程整理可得：x2＝4y，所以焦点F（0，1），所以A不正确；
由椭圆的焦点在y轴可得，直线BC的斜率一点存在，设直线BC的方程为：y＝kx+1，
联立，整理可得：x2﹣4kx﹣4＝0，所以x1x2＝﹣4，所以y1y21，故B正确；
所以Δ＝16k2+16＞0，x1+x2＝4k，
当AB∥x轴时||•||最小，这时直线AB的方程为y＝1，代入抛物线的方程可得，x2＝4，所以x＝±2，所以||•||最小值为4；所以C正确；
由题意可得直线AO，BO的方程分别为：yx，yx，与y＝﹣2的交点分别为M（，﹣2），N（，﹣2），
所以S△MON||•2＝2•||；
O到直线AB的距离d，弦长|AB|4•，
所以S△AOB|AB|•d••4•2，
所以，
所以△AOB与△MON的面积之比为定值，故D正确；
故选：BCD．
【点评】本题考查抛物线的性质，直线方程的求法及三角形面积的求法，属于中档题．
（多选）12．（4分）设函数f（x）＝x（x﹣1）（x﹣a），则下列结论正确的是（ ）
A．当a＝﹣4时，函数f（x）在上的平均变化率为
B．当a＝1时，函数f（x）的图象与直线y＝﹣1有1个交点
C．当a＝2时，函数f（x）的图象关于点（0，1）中心对称
D．若函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，则当a≥2时，f（x1）+f（x2）≤0
【分析】对于A，当a＝﹣4时，f（x）＝x（x﹣1）（x+4），然后直接求出f（x）在上的平均变化率，即可判断A；对于B，当a＝1时，f（x）＝x3﹣2x2+x，然后对f（x）求导，判断其单调性，再判断方程f（x）＝﹣1的实数根，即可判断B；对于C，当a＝2时，f（x）＝x（x﹣1）（x﹣2），然后计算f（x）+f（﹣x），判断其是否等于2，即可判断C；对于D，对f（x）求导，然后令f′（x）＝0，得到3x2﹣2（a+1）x+a＝0，然后根据函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，判断f（x1）+f（x2）是否小于等于0，即可判断D．
【解答】解：对于A，当a＝﹣4时，f（x）＝x（x﹣1）（x+4），
则f（x）在上的平均变化率为，故A正确；
对于B，当a＝1时，f（x）＝x（x﹣1）2＝x3﹣2x2+x，
则f′（x）＝3x2﹣4x+1＝（3x﹣1）（x﹣1），
令f'（x）＝0，则x或x＝1，
∴当x＞1或x时，f'（x）＞0；当x＜1时，f'（x）＜0，
∴f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减，
∵，
结合f（x）的单调性可知，方程f（x）＝﹣1有一个实数根，故B正确；
对于C，当a＝2时，f（x）＝x（x﹣1）（x﹣2）＝（x﹣1）[（x﹣1）2﹣1]＝（x﹣1）3﹣（x﹣1），
则f（x）+f（﹣x）＝（x﹣1）3﹣（x﹣1）+（﹣x﹣1）3﹣（﹣x﹣1）＝﹣6x2≠2，
∴f（x）的图象不关于点（0，1）中心对称，故C错误；
对于D，f（x）＝x（x﹣1）（x﹣a），f′（x）＝（x﹣1）（x﹣a）+x（2x﹣a﹣1）＝3x2﹣2（a+1）x+a，
令f′（x）＝0，则3x2﹣2（a+1）x+a＝0，
∵Δ＝4（a2﹣a+1）＝（2a﹣1）2+3＞0，且函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，
∴x1，x2为方程3x2﹣2（a+1）x+a＝0的两个实数根，则，
∴f（x1）+f（x2）＝x1（x1﹣1）（x1﹣a）+x2（x2﹣1）（x2﹣a）


，
∵a⩾2，∴f（x1）+f（x2）⩽0，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了函数的基本性质，利用导数研究函数的单调性和极值，考查了转化思想，属中档题．
三、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）已知等比数列{an}中，a2＝﹣2，a5＝16，则该数列的公比为 ﹣2 ．
【分析】利用等比数列的通项公式列出方程组，能求出该数列的公比．
【解答】解：∵等比数列{an}中，a2＝﹣2，a5＝16，
∴，
解得该数列的公比q＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查等比数列的公比的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．（3分）用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻面不同色，共有 72 种涂法．
【分析】根据题意，设4个侧面为A、B、C、D，先给底面涂色，再分析A、B、C、D的涂法，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设4个侧面为A、B、C、D，
先给底面涂色，有4种涂法，
然后给A面涂色，有3种；给B面涂色，有2种；
给C面，若C与A相同色，则D面可以涂2种；若C与A不同色，则D面可以涂1种，
所以共有4×3×2×（2+1）＝72；
故答案为：72．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及四棱锥的几何结构，属于基础题．
15．（3分）已知双曲线的方程为，如图，点A的坐标为（﹣3，0），B是圆x2+（y﹣3）2＝1上的点，点M在双曲线的右支上，则|MA|+|MB|的最小值为 33 ．
【分析】设点D的坐标为（3，0），则点A，D是双曲线的焦点，利用双曲线的定义，可得|MA|﹣|MD|＝2a＝4．于是|MA|+|MB|＝4+|MB|+|MD|≥4+|BD|，再利用|BD|≥|CD|﹣r即可．
【解答】解：设点D的坐标为（3，0），则点A，D是双曲线的左、右焦点，
由双曲线的定义，得|MA|﹣|MD|＝2a＝4，
∴|MA|+|MB|＝4+|MB|+|MD|≥4+|BD|，
又B是圆x2+（y﹣3）2＝1上的点，圆的圆心为C（0，3），半径为1，
故|BD|≥|CD|﹣1＝31，从而|MA|+|MB|≥4+|BD|≥33，
当点M，B在线段CD上时取等号，
即|MA|+|MB|的最小值为33，
故答案为：33．
【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及圆的方程和运用，熟练掌握双曲线的性质及其圆外一点到圆上一点距离的最值是解题的关键，属于中档题．
16．（3分）若函数f（x）mx+lnx有极值，则函数f（x）的极值之和的取值范围是 （﹣∞，﹣3） ．
【分析】先求导，方程x2﹣mx+1＝0在（0，+∞）上有根求出m的范围，根据韦达定理即可化简f（x1）+f（x2），根据m的范围即可求出．
【解答】解：∵f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）＝x﹣m，
∵f（x）存在极值，
∴f′（x）＝0在（0，+∞）上有根，
即方程x2﹣mx+1＝0在（0，+∞）上有根．
设方程x2﹣mx+1＝0的两根为x1，x2，
∴Δ＝m2﹣4＞0，x1+x2＝m＞0，x1x2＝1
即m＞2
∴f（x1）+f（x2）（）﹣m（x1+x2）+（lnx1+lnx2），
（x1+x2）2﹣x1x2﹣m（x1+x2）+lnx1x2，
m2﹣1﹣m2，
m2﹣1＜﹣3，
故函数f（x）的极值之和的取值范围是（﹣∞，﹣3）
故答案为：（﹣∞，﹣3）
【点评】本题考查了导数函数极值的关系，以及韦达定理及二次函数的性质，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题
四、解答题（本题共6小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4＝0与圆C相切．
（1）求圆C的标准方程；
（2）求直线l：x﹣2y+2＝0与圆C相交的弦长．
【分析】（1）由直线和圆相切的条件，结合点到直线的距离公式，计算可得圆心，进而点到圆C的标准方程；
（2）求得圆心C到直线l的距离，由圆内的弦长公式，计算可得所求值．
【解答】解：（1）圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，可设圆心C（a，0），a＞0，
由直线3x+4y+4＝0与圆C相切，可得2，
解得a＝2，
所以圆C的标准方程为（x﹣2）2+y2＝4：
（2）由圆C的圆心C（2，0），半径r＝2，
可得圆心C到直线x﹣2y+2＝0的距离为d，
则弦长为22．
【点评】本题考查圆的方程的求法和直线与圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
18．（8分）已知等比数列{an}的公比q＝2，且a2，a3+1，a4成等差数列．
（1）求a1及an；
（2）设bn＝an+n，求数列{bn}的前5项和S5．
【分析】（1）运用等比数列的通项公式和等差数列的中项的性质，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；
（2）求得bn＝2n﹣1+n，再由数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．
【解答】解：（1）由已知得a2＝2a1，a3+1＝4a1+1，a4＝8a1，
又a2，a3+1，a4成等差数列，可得：
2（a3+1）＝a2+a4，
所以2（4a1+1）＝2a1+8a1，
解得a1＝1，
故an＝a1qn﹣1＝2n﹣1；
（2）因为bn＝2n﹣1+n，
所以S5＝b1+b2+b3+b4+b5
＝（1+2+…+16）+（1+2+…+5）
31+15＝46．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查解方程的思想和数列的求和方法：分组求和，属于中档题．
19．（8分）已知f（x）＝x3+3ax2+bx+a2（a＞1）在x＝﹣1时有极值0．
（1）求常数a，b的值；
（2）求f（x）在区间[﹣4，0]上的最值．
【分析】（1）对f（x）求导，根据f（x）在x＝﹣1时有极值0，得到关于a，b的方程组，再求出a，b的值；
（2）由（1）知，f'（x）＝3x2+12x+9，然后判断f（x）的单调性，再求出f（x）的值域．
【解答】解：（1）由f（x）＝x3+3ax2+bx+a2（a＞1），得f'（x）＝3x2+6ax+b，
∵f（x）在x＝﹣1时有极值0，∴，
∴，解得或，
经检验，当a＝2，b＝9时，符合题意，
∴a＝2，b＝9．
（2）由（1）知，f'（x）＝3x2+12x+9，
令f'（x）＝0，则x＝﹣3或x＝﹣1，∵x∈[﹣4，0]，
∴当﹣4＜x＜﹣3或﹣1＜x＜0时，f'（x）＞0；当﹣3＜x＜﹣1时，f'（x）＜0，
∴函数f（x）在（﹣4，﹣3）和（﹣1，0）递增，（﹣3，﹣1）递减．
又f（﹣4）＝0，f（﹣3）＝4，f（﹣1）＝0，f（0）＝4，
∴f（x）max＝4，f（x）min＝0，
∴f（x）的值域为[0，4]．
【点评】本题考查了利用函数的极值求参数的值和利用导数研究函数的单调性与最值，考查了方程思想和转化思想，属中档题．
20．（8分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．
【分析】（1）如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．△ABC是等边三角形，可得OB⊥AC．由已知可得：△ABD≌△CBD，AD＝CD．△ACD是直角三角形，可得AC是斜边，∠ADC＝90°．可得DOAC．利用DO2+BO2＝AB2＝BD2．可得OB⊥OD．利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明．
（2）设点D，B到平面ACE的距离分别为hD，hE．则．根据平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，可得1，即点E是BD的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB＝2．利用法向量的夹角公式即可得出．
【解答】（1）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．
∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC．
△ABD与△CBD中，AB＝BD＝BC，∠ABD＝∠CBD，
∴△ABD≌△CBD，∴AD＝CD．
∵△ACD是直角三角形，
∴AC是斜边，∴∠ADC＝90°．
∴DOAC．
∴DO2+BO2＝AB2＝BD2．
∴∠BOD＝90°．
∴OB⊥OD．
又DO∩AC＝O，∴OB⊥平面ACD．
又OB⊂平面ABC，
∴平面ACD⊥平面ABC．
（2）解：设点D，B到平面ACE的距离分别为hD，hE．则．
∵平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，
∴1．
∴点E是BD的中点．
建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB＝2．
则O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，，0），E．
（﹣1，0，1），，（﹣2，0，0）．
设平面ADE的法向量为（x，y，z），则，即，取．
同理可得：平面ACE的法向量为（0，1，）．
∴cs．
∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为．
【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、三棱锥的体积计算公式、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．（8分）已知椭圆E：1（a＞b＞0）的右焦点为F（，0），顺次连接椭圆E的四个顶点恰好构成一个边长为的菱形．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设M（，），O为坐标原点，A，B是椭圆E上两点，且AB的中点在线段OM（不含端点O、M）上，求△AOB面积S的取值范围．
【分析】（1）由题意可得a，b的方程，解方程可得a，b，即可得到椭圆方程；
（2）运用点差法求得AB的斜率，设出直线AB的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式、弦长公式和点到直线的距离公式，由三角形的面积公式可得S的表达式，结合二次函数的最值可得所求范围．
【解答】解：（1）依题意可得，解得，∴椭圆E的标准方程为1；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB的中点为（，）在线段OM上，且kOM＝2，
则y1+y2＝2（x1+x2），又，两式相减得：0，
易知：x1+x2≠0，y1+y2≠0，所以kAB，
设直线AB的方程为yx+m，联立椭圆方程x2+2y2＝4，得：9x2﹣8mx+16m2﹣32＝0．
所以x1+x2，x1x2，由Δ＝64m2﹣36（16m2﹣32）＞0，可得m2．
又∈（0，），可得m∈（0，），
|AB|•••，
O到直线AB的距离为d，
所以S|AB|•d•，
由m∈（0，），即m2∈（0，），18m2﹣8m4＝﹣8（m2）2∈（0，]，
所以S∈（0，]．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
22．（10分）已知函数f（x）＝x2lnx﹣ax+1．
（1）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若函数y＝f（x）﹣ax3+ax﹣1的两个非零零点为x1，x2，证明：x1x2＞e2．（e＝2.71828…为自然对数的底数）．
【分析】（1）f（x）＝x2lnx﹣ax+1，x∈（0，+∞）．f（x）≥0恒成立⇔a≤xlnx，x∈（0，+∞）．令g（x）＝xlnx，利用导数研究函数g（x）的单调性即可得出实数a的取值范围．
（2）函数y＝f（x）﹣ax3+ax﹣1＝x2lnx﹣ax3＝0，化为：lnx﹣ax＝0，ah（x），利用导数运算法则可得h′（x），根据函数y＝f（x）﹣ax3+ax﹣1有两个零点x1，x2，
可得0＜a，不妨设0＜x1x2，由lnx1＝ax1，lnx2＝ax2，可得ln（x1x2）•ln，要证明x1x2＞e2⇔ln（x1x2）＞2，即证明•ln2，令t＞1，即证明：lnt0．令u（t）＝lnt，t∈（1，+∞），利用导数研究函数的单调性即可证明结论．
【解答】解：（1）f（x）＝x2lnx﹣ax+1，x∈（0，+∞）．
f（x）≥0恒成立⇔a≤xlnx，x∈（0，+∞）．
令g（x）＝xlnx，g′（x）＝lnx+1在x∈（0，+∞）上单调递增，
∴函数g（x）在∈（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
∴x＝1时，函数g（x）取得极小值且为最小值，g（1）＝1，
∴a≤1．
∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]．
（2）证明：函数y＝f（x）﹣ax3+ax﹣1＝x2lnx﹣ax3＝0，
化为：lnx﹣ax＝0，ah（x），
h′（x），
可得x＝e时函数h（x）取得极大值，h（e）．
∵函数y＝f（x）﹣ax3+ax﹣1有两个零点x1，x2，
∴0＜a，
不妨设0＜x1x2，
由lnx1＝ax1，lnx2＝ax2，可得：ln（x1x2）＝a（x1+x2），lna（x2﹣x1），
∴ln（x1x2）•ln•ln，
证明x1x2＞e2⇔ln（x1x2）＞2，即证明•ln2，
令t＞1，即证明：lnt0．
令u（t）＝lnt，t∈（1，+∞），
u′（t）0，
∴函数u（t）在t∈（1，+∞）上单调递增，
∴u（t）＞u（1）＝0，∴lnt0成立，
因此x1x2＞e2成立．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、证明不等式、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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