2022-2023学年广东省大湾区高二（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省大湾区高二（上）期末数学试卷，共28页。
A．B．C．D．
2．（5分）已知＝（1，﹣2，1），+＝（﹣1，2，﹣1），则等于（ ）
A．（2，﹣4，2）B．（﹣2，4，﹣2）C．（﹣2，0，﹣2）D．（2，1，﹣3）
3．（5分）某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线（如图②所示）．已知接收天线的口径（直径）为3.6m，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（ ）
A．1.35mB．2.05mC．2.7mD．5.4m
4．（5分）图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，第8个叠放的图形中小正方体木块的总数是（ ）
A．66B．91C．107D．120
5．（5分）已知直线l1：3x﹣4y+7＝0与直线l2：6x﹣（m+1）y+1﹣m＝0平行，则l1与l2之间的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（5分）已知等差数列{an}中，a3+a5＝a4+7，a10＝19，则数列{an•csnπ}的前2022项和为（ ）
A．1010B．1011C．2021D．2022
7．（5分）如图，ABCD﹣EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：F1、F2是双曲线的左、右焦点，从F2发出的光线m射在双曲线右支上一点P，经点P反射后，反射光线的反向延长线过F1；当P异于双曲线顶点时，双曲线在点P处的切线平分∠F1PF2．若双曲线C的方程为，则下列结论不正确的是（ ）
A．射线n所在直线的斜率为k，则
B．当m⊥n时，|PF1|•|PF2|＝32
C．当n过点Q（7，5）时，光线由F2到P再到Q所经过的路程为13
D．若点T坐标为（1，0），直线PT与C相切，则|PF2|＝12
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（5分）若椭圆的焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0），长轴长为2a，则椭圆上的点（x，y）（ ）
A．＝2a
B．﹣1
C．
D．＝a﹣x
（多选）10．（5分）某校高一（17）班有甲、乙、丙三名学生参加数学竞赛，记事件A为“三名学生都是女生”，事件C为“三名学生至少有一名是男生”，事件D为“三名学生不都是女生”，则（ ）
A．B．事件A与事件B互斥
C．P（C）≠P（D）D．事件A与事件C对立
（多选）11．（5分）为了养成良好的运动习惯，某人记录了自己一周内每天的运动时长（单位：分钟），分别为53，45，61，49，x，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3（ ）
A．58B．59C．62D．64
（多选）12．（5分）用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆，当截面与圆锥的轴的夹角θ不同时，可以得到不同的截口曲线，我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．记圆锥轴截面半顶角为α，截口曲线形状与θ，截口曲线为椭圆；当θ＝α时，截口曲线为双曲线．其中θ，α∈（0，），其与平面β所成角φ（如图），B为斜足，设P点在β的运动轨迹是Γ，则（ ）
A．当φ＝时，Γ是椭圆
B．当φ＝时，Γ是双曲线
C．当φ＝时，Γ是抛物线
D．当φ＝时，Γ是圆
三．填空题（共4小题）
13．（5分）设数列{an}的前n项和为Sn，且满足两个条件：①{an}是单调递减数列；②{Sn}是单调递增数列，请写出{an}的一个通项公式an＝ ．
14．（5分）如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，测得从D，C到库底与水坝斜面的交线的距离分别为DA＝80m，若AB＝40m，则甲 ．
15．（5分）已知点A（2，3）、B（5，﹣1），l为平面上的动直线，B到直线l的距离分别为1，3，则这样的直线l有 条．
16．（5分）舒腾尺是荷兰数学家舒腾（1615﹣1660）设计的一种作图工具，如图，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处的铰链与ON连接，带动点N绕O转动，点M也随之而运动．记点N的运动轨迹为C1，点M的运动轨迹为C2.若ON＝DN＝1，MN＝3，过C2上的点P向C1作切线，则切线长的最大值为 ．
四．解答题（共6小题）
17．（10分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，E是棱DD1的中点．
（1）求证：BC⊥AB1；
（2）求平面AB1E与平面ABCD夹角的余弦值．
18．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn＝2an﹣2n+1．
（1）证明数列{}是等差数列；
（2）若不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）an对n∈N*恒成立，求λ的取值范围．
19．（12分）某校为加强党史教育，进行了一次党史知识竞赛，随机抽取的100名学生的笔试成绩均在75分以上（满分100分），80），[80，90），[90，[95，100]共五组后
（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图（用阴影表示）；
（2）为能更好了解学生的知识掌握情况，学校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面答，最终从6位学生中随机抽取2位参加市安全知识答题决赛
20．（12分）已知圆C过点A（4，2），B（1，3），它与x轴的交点为（x1，0），（x2，0），与y轴的交点为（0，y1），（0，y2），且x1+x2+y1+y2＝6．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若P（﹣3，3），直线l：x+y+2＝0，从点P发出的一条光线经直线l反射后与圆C有交点
21．（12分）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴、y轴、z轴）正方向的单位向量，则与有序实数组（x，y，z）相对应的斜60°坐标为[x，y，z]．
（1）若，，求的斜60°坐标；
（2）在平行六面体ABCD﹣ABC1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”．
①若，求向量的斜60°坐标；
②若，且，求．
22．（12分）已知椭圆C：+＝1，点E（﹣4，0），切点为T．
（1）求点T的坐标；
（2）过线段ET的中点G作直线l交椭圆C于A，B两点，直线EA与椭圆C的另一个交点为M，求证：MN∥ET；
（3）请结合（2）的问题解决，运用类比推理（无需证明）．
2022-2023学年广东省大湾区高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（5分）直线x+y﹣2＝0的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由已知先化成斜截式，进而可求直线的斜率．
【解答】解：由x+y﹣2＝7可得y＝+，
故直线的斜率为﹣．
故选：D．
【点评】本题主要考查了直线的倾斜角与斜率关系，属于基础题．
2．（5分）已知＝（1，﹣2，1），+＝（﹣1，2，﹣1），则等于（ ）
A．（2，﹣4，2）B．（﹣2，4，﹣2）C．（﹣2，0，﹣2）D．（2，1，﹣3）
【分析】根据空间向量的线性运算，求出向量的坐标即可．
【解答】解：∵＝（1，1），+，6，﹣1），
∴＝+﹣＝（﹣1﹣3，﹣1﹣1）＝（﹣7，4．
故选：B．
【点评】本题考查了空间向量的线性运算与坐标表示的应用问题，是基础题目．
3．（5分）某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线（如图②所示）．已知接收天线的口径（直径）为3.6m，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（ ）
A．1.35mB．2.05mC．2.7mD．5.4m
【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程，由题意可得抛物线上的点A的坐标，将A的坐标代入抛物线的方程，求出p的值，进而求出焦点到顶点的距离．
【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为：y2＝2px，p＞8，则A的纵坐标为1.8，
再由深度为3.6，可得A的横坐标为0.5，
即A（0.6，6.8）2＝4p×0.6，
可得p＝3.7，
所以抛物线的方程为：y2＝2.4x，
所以抛物线的焦点到顶点的距离为＝＝7.35，
故选：A．
【点评】本题考查抛物线的方程的求法及抛物线的性质的应用，属于基础题．
4．（5分）图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，第8个叠放的图形中小正方体木块的总数是（ ）
A．66B．91C．107D．120
【分析】根据题意，设第n个叠放图形正方体的数目为an，由图形归纳分析第n个叠放图形中正方体的规律，可得{an}的通项公式，进而计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设第n个叠放图形正方体的数目之和为an，
第n个叠放图形中共有n层，从上到下，1+5，…
则第n个叠放图形中各层正方体的个数，构成了以3为首项
所以第n个叠放图形中正方体的数目之和an＝n+＝2n2﹣n，
故6个叠放的图形中小正方体木块的总数为a8＝8+＝120，
故选：D．
【点评】本题考查数列求和的应用，涉及归纳推理的应用，属于基础题．
5．（5分）已知直线l1：3x﹣4y+7＝0与直线l2：6x﹣（m+1）y+1﹣m＝0平行，则l1与l2之间的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用平行线关系求解m，然后求解平行线之间的距离．
【解答】解：直线l1：3x﹣3y+7＝0与直线l2：6x﹣（m+1）y+5﹣m＝0平行，
可得m＝7，直线l8：6x﹣（m+1）y+8﹣m＝0化为6x﹣6y﹣6＝0，即8x﹣4y﹣3＝8，
所以l1与l2之间的距离：＝6．
故选：B．
【点评】本题考查直线与直线平行关系的应用，平行线之间距离的求法，是基础题．
6．（5分）已知等差数列{an}中，a3+a5＝a4+7，a10＝19，则数列{an•csnπ}的前2022项和为（ ）
A．1010B．1011C．2021D．2022
【分析】首先利用等差数列的性质和公式，求解数列的通项公式，再利用分组转化法求和．
【解答】解：根据等差数列的性质可知，a3+a5＝8a4＝a4+8，
所以a4＝7，
设等差数列的首项为a8，公差为d，
则，解得，
所以an＝3+（n﹣1）×2＝8n﹣1，
设数列{an⋅csnπ}的前n项和为Sn，
则S2022＝﹣a1+a3﹣a3+a4+...﹣a2021+a2022＝（a8﹣a1）+（a4﹣a7）+...+（a2022﹣a2021）＝1011d＝2022．
故选：D．
【点评】本题主要考查等差数列的前n项和，属于基础题．
7．（5分）如图，ABCD﹣EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足（ ）
A．B．C．D．
【分析】建立空间直角坐标系，表示出，，进而得到在上的投影向量的长度，即可求出答案．
【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，8），0，0），4，0），0，6），
所以＝（1，0，＝（6，1，＝（0，2，
则＝（3，0（0，1（0，2，，），
因为＝（1，0，
所以在上的投影向量的长度为：＝，
所以点P到AB的距离＝，
故选：C．
【点评】本题考查点到直线的距离，利用空间直角坐标系是关键，属于中档题．
8．（5分）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：F1、F2是双曲线的左、右焦点，从F2发出的光线m射在双曲线右支上一点P，经点P反射后，反射光线的反向延长线过F1；当P异于双曲线顶点时，双曲线在点P处的切线平分∠F1PF2．若双曲线C的方程为，则下列结论不正确的是（ ）
A．射线n所在直线的斜率为k，则
B．当m⊥n时，|PF1|•|PF2|＝32
C．当n过点Q（7，5）时，光线由F2到P再到Q所经过的路程为13
D．若点T坐标为（1，0），直线PT与C相切，则|PF2|＝12
【分析】选项A，结合双曲线的渐近线方程的斜率，利用几何法分析，即可；
选项B，结合双曲线的定义与勾股定理，即可得解；
选项C，根据双曲线的定义，推得|PF2|+|PQ|＝|F1Q|﹣2a，再利用两点间距离公式，得解；
选项D，结合角分线定理与双曲线的定义，得解．
【解答】解：因为双曲线C的方程为，所以a＝3，c＝2x，
选项A，因为直线PF7与双曲线有两个交点，所以k∈（﹣，）；
选项B，由双曲线的定义知1|﹣|PF5|＝2a＝6，
若m⊥n，则|PF3|2+|PF2|7＝|F1F2|2＝（2c）2＝100，
因为（|PF2|﹣|PF2|）2＝|PF8|2+|PF2|6﹣2|PF1|•|PF2|，所以36＝100﹣2|PF1|•|PF5|，
解得|PF1|•|PF2|＝32，即B正确；
选项C，|PF8|+|PQ|＝（|PF1|﹣2a）+|PQ|＝|F7Q|﹣2a＝﹣2×4＝7；
选项D，因为PT平分∠F1PF5，所以由角分线定理知，＝，
所以＝＝＝，
又|PF4|﹣|PF2|＝6，所以2|﹣|PF5|＝6，解得|PF2|＝12，即D正确．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的定义与几何性质，还运用了角分线定理，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（5分）若椭圆的焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0），长轴长为2a，则椭圆上的点（x，y）（ ）
A．＝2a
B．﹣1
C．
D．＝a﹣x
【分析】根据椭圆的两个定义可判断AC；根据分母不能为0可判断B；直接化简可判断D．
【解答】解：由椭圆定义可知，A正确；
由椭圆第二定义可知C正确；
B中显然x≠±a，即椭圆上的长轴端点不满足B中方程；
由两边平方可得：
，
整理得，
即，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查椭圆的定义，椭圆的几何性质，化归转化思想，属基础题．
（多选）10．（5分）某校高一（17）班有甲、乙、丙三名学生参加数学竞赛，记事件A为“三名学生都是女生”，事件C为“三名学生至少有一名是男生”，事件D为“三名学生不都是女生”，则（ ）
A．B．事件A与事件B互斥
C．P（C）≠P（D）D．事件A与事件C对立
【分析】由相互独立事件的概率乘法公式，求出P（A），再结合互斥事件、对立事件的定义，即可求解．
【解答】解：对于A，甲、乙、丙为女生的概率均为，故A正确，
对于B，A，B两事件不可能同时发生，故B正确，
对于C，事件D包含：三名学生都是男生，三名学生有两名男生，故P（C）＝P（D），
对于D，事件A的对立事件为事件C．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查互斥事件、对立事件的定义，属于基础题．
（多选）11．（5分）为了养成良好的运动习惯，某人记录了自己一周内每天的运动时长（单位：分钟），分别为53，45，61，49，x，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3（ ）
A．58B．59C．62D．64
【分析】先对数据从小到大排序，分x≤57，x≥79，57＜x＜79三种情况，舍去不合要求的情况，列出方程，即可求解．
【解答】解：将已知的6个数从小到大排序为45，49，57，79，
若x≤57，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57，
他们的差为4，不符合条件，
若x≥79，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61，
它们的差为18，不符合条件，
若57＜x＜79，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为x和61（或61和x），
则|x﹣61|＝2，解得x＝58或x＝64．
故选：AD．
【点评】本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
（多选）12．（5分）用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆，当截面与圆锥的轴的夹角θ不同时，可以得到不同的截口曲线，我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．记圆锥轴截面半顶角为α，截口曲线形状与θ，截口曲线为椭圆；当θ＝α时，截口曲线为双曲线．其中θ，α∈（0，），其与平面β所成角φ（如图），B为斜足，设P点在β的运动轨迹是Γ，则（ ）
A．当φ＝时，Γ是椭圆
B．当φ＝时，Γ是双曲线
C．当φ＝时，Γ是抛物线
D．当φ＝时，Γ是圆
【分析】P在以AB为轴的圆锥上运动，结合题干信息，逐一分析即可．
【解答】解：∵AB为定线段，∠BAP＝γ为定值，
其中圆锥的轴截面半顶角为γ，β与圆锥轴AB的夹角为φ，
对于A，φ＞γ，故A正确；
对于B，φ＞γ，故B错误．
对于C，φ＝γ，故C正确．
对于D，φ＞γ，故D不正确．
故选：AC．
【点评】本题考查圆锥曲线的定义，属中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（5分）设数列{an}的前n项和为Sn，且满足两个条件：①{an}是单调递减数列；②{Sn}是单调递增数列，请写出{an}的一个通项公式an＝ （答案不唯一） ．
【分析】根据题意，只需写出满足{an}是正项单调递减数列的通项公式即可．
【解答】解：根据题意，数列{an}满足：①{an}是单调递减数列；②{Sn}是单调递增数列，
故只需{an}是正项单调递减数列即可，
故{an}的通项公式可以为．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了数列的函数特征，属于基础题．
14．（5分）如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，测得从D，C到库底与水坝斜面的交线的距离分别为DA＝80m，若AB＝40m，则甲 20m ．
【分析】分别过点D，B作DM∥AB，BM∥AD两直线交于M，连接MC，可证∠MBC是库底与水坝斜面所成二面角的平面角，故∠MBC＝120°，在△MBC中，由余弦定理可求MC，进而在△DMC中由勾股定理可求DC．
【解答】解：分别过点D，B作DM∥AB，连接MC，
所以ADMB是平行四边形，所以MB＝AD＝80，
又由已知可得DA⊥AB，所以ADMB是矩形，
又BC⊥AB，
所以∠MBC是库底与水坝斜面所成二面角的平面角，故∠MBC＝120°，
在△MBC中，由余弦定理可得MC2＝BC2+MB2﹣2BC•MBcs120°＝6400+3600+4800＝14800，
又AB⊥MB，AB⊥BC，
所以AB⊥平面MBC，又DM∥AB，又MC⊂平面MCB，
所以DM⊥MC，
∴DC2＝DM6+MC2＝14800+1600＝16400，
所以DC＝20m．
故答案为：20m．
【点评】本题考查在立体几何中运用解三角形的知识求两点间的距离，属中档题．
15．（5分）已知点A（2，3）、B（5，﹣1），l为平面上的动直线，B到直线l的距离分别为1，3，则这样的直线l有 4 条．
【分析】直接利用圆与圆的位置关系判断两圆的外公切线的条数，进一步求出结果．
【解答】解：以点A（2，3）为圆心，以点B（4，3为半径的圆，
如图所示：
满足点A到直线l的距离为1，点B到直线l的距离为7的直线的条数为两圆的公切线，
由于A（2，3），﹣5），
故两圆相外离，公切线有4条，
故点A，B到直线l的距离分别为1，6．
故答案为：4．
【点评】本题考查的知识要点：两圆的位置关系的判定，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
16．（5分）舒腾尺是荷兰数学家舒腾（1615﹣1660）设计的一种作图工具，如图，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处的铰链与ON连接，带动点N绕O转动，点M也随之而运动．记点N的运动轨迹为C1，点M的运动轨迹为C2.若ON＝DN＝1，MN＝3，过C2上的点P向C1作切线，则切线长的最大值为 ．
【分析】以滑槽AB所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，分别求出曲线C1和C2的方程，利用三角换元设椭圆上任意一点的坐标，先求出OP的最大值，然后利用圆的切线长的求解方法，即可得到答案．
【解答】解：以滑槽AB所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，
因为ON＝1，所以点N的运动轨迹C1是以O为圆心，半径为2的圆2+y2＝6，
设点N（csθ，sinθ），则D（2csθ，
由MN＝3，可得，y），
所以（x﹣csθ，y﹣sinθ）＝3（csθ，解得M（4csθ，
则点M的运动轨迹C5是椭圆，其方程为，
设C2上的点P（8csα，2sinα），
则OP2＝16cs7α+4sin2α＝7+12cs2α≤16，
则切线长为＝，
所以切线长的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了动点轨迹方程的求解，与椭圆有关的最值问题，圆的切线长的求解，要掌握常见的求解轨迹的方法：直接法、定义法、代入法、消参法、交轨法等等，属于中档题．
四．解答题（共6小题）
17．（10分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，E是棱DD1的中点．
（1）求证：BC⊥AB1；
（2）求平面AB1E与平面ABCD夹角的余弦值．
【分析】（1）利用线面垂直的性质定理即可证明；
（2）用空间向量数量积计算两平面所成角余弦值；
【解答】（1）证明：因为ABCD﹣A1B1C7D1是长方体，
所以BC⊥平面ABB1A5，
AB1⊂平面ABB1A2，
所以BC⊥AB1；
（2）解：建系如图，A（0，6，E（0，1，B8（1，0，4），
＝（0，1，3），，0，6），
令＝（x，y，
＝0，＝3，
可得，不妨x＝2，z＝﹣1＝（8，11E的法向量，
平面ABCD的法向量是＝（5，0，
所以平面AB1E与平面ABCD夹角的余弦值为＝＝．
【点评】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了两平面夹角计算问题，属于中档题．
18．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn＝2an﹣2n+1．
（1）证明数列{}是等差数列；
（2）若不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）an对n∈N*恒成立，求λ的取值范围．
【分析】（1）由已知推导出a1＝4，，由此能证明是以2为首项，1为公差的等差数列．
（2）由，得an＝（n+1）•2n，2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）an等价于5﹣λ＞，记，由此能求出λ的取值范围．
【解答】（1）证明：当n＝1时，，解得a1＝4，
，
当n≥7时，，
∴，
∴＝＝2，
又，
∴是以8为首项．
（2）解：由（1）知，即an＝（n+8）•2n，
∵an＞0，∴4n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）an等价于5﹣λ＞，
记，n≥2时，＝，
∴n≥4时，，（bn）max＝b7＝，
∴，．
【点评】本题考查等差数列的证明，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．
19．（12分）某校为加强党史教育，进行了一次党史知识竞赛，随机抽取的100名学生的笔试成绩均在75分以上（满分100分），80），[80，90），[90，[95，100]共五组后
（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图（用阴影表示）；
（2）为能更好了解学生的知识掌握情况，学校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面答，最终从6位学生中随机抽取2位参加市安全知识答题决赛
【分析】（1）由频数与频率的关系，结合表格求解即可，再求频率比组距，从而完成频率分布直方图，
（2）由分层抽样可得第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面答，再列基本事件，从而求概率．
【解答】解：（1）第2组的频数为100×0.300＝30，
所以①处应填的数为100﹣30﹣30﹣20﹣10＝10，
②处应填的数为30÷100＝4.300，
频率分布直方图如图所示，
（2）因为第3、4、7组共有60名选手，每组抽取的人数分别为：
第3组：人，第4组：人人，
所以第3、4、5组分别抽取4人、1人进入第二轮面试，
设第3组的2位学生为A1，A2，A2，第4组的2位学生为B4，B2，第5组的5位学生为C1，则从这6位学生中抽取4位学生有：
（A1，A2），（A6，A3），（A1，B7），（A1，B2），（A6，C1），
（A2，A3），（A2，B1），（A4，B2），（A2，C7），
（A3，B1），（A8，B2），（A3，C5），
（B1，B2），（B8，C1），
（B2，C6），共15种情况．
抽到的2位学生不同组的有：（A1，B8），（A1，B2），（A3，C1），（A2，B3），（A2，B2），（A7，C1），（A3，B5），（A3，B2），（A5，C1），（B1，C4），（B2，C1），共11种情况．
所以抽到的3位学生不同组的概率为．
【点评】本题综合考查了频率分布直方图及概率的应用，注意保证基本事件的等可能性及列举不重不漏，属于基础题．
20．（12分）已知圆C过点A（4，2），B（1，3），它与x轴的交点为（x1，0），（x2，0），与y轴的交点为（0，y1），（0，y2），且x1+x2+y1+y2＝6．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若P（﹣3，3），直线l：x+y+2＝0，从点P发出的一条光线经直线l反射后与圆C有交点
【分析】（1）根据题意，设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，令x＝0和y＝0，可得x1+x2＝﹣D和y1+y2＝﹣E，进而可得D+E＝﹣2，将点A、B的坐标代入圆的方程可得20+4D+2E+F＝0和10+D+3E+F＝0，联立三个式子求出D、E、F的值，即可得答案．
（2）求得A（﹣3，3）关于l：x+y+2＝0的对称点A1，设出反射光线所在直线方程，利用距离公式列式计算即可．
【解答】解：（1）根据题意，设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝5，
令y＝0，有x2+Dx+F＝2，若该圆与x轴的交点为（x1，0），（x6，0），则有x1+x3＝﹣D，
令x＝0，有y2+Ey+F＝5，若该圆与y轴的交点为（0，y1），（2，y2），则有y1+y3＝﹣E，
又由x1+x2+y5+y2＝6，则D+E＝﹣4，①
又由该圆经过点A（4，2），5），②和10+D+3E+F＝0，③
联立①②③可得：D＝﹣6，E＝﹣2，
则要求圆的方程为x2+y6﹣4x﹣2y＝6．
即圆C：（x﹣2）2+（y﹣8）2＝5为所求；
（2）因为A（﹣5，3）关于l：x+y+2＝8的对称点A1（a，b），
，，解得a＝﹣5，
∴反射光线所在直线过点A7（﹣5，1），
设反射光线所在直线方程为：y﹣5＝k（x+5），即kx﹣y+5k+7＝0；
所以，整理可得：k7≤，解得﹣，
所以反射光线所在的直线斜率取值范围为[﹣，]．
【点评】本题考查圆的一般方程的计算，直线与圆的位置关系，考查了计算能力，属于中档题．
21．（12分）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴、y轴、z轴）正方向的单位向量，则与有序实数组（x，y，z）相对应的斜60°坐标为[x，y，z]．
（1）若，，求的斜60°坐标；
（2）在平行六面体ABCD﹣ABC1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”．
①若，求向量的斜60°坐标；
②若，且，求．
【分析】（1）由，利用新定义能求出的斜60°坐标．
（2）设分别为与同方向的单位向量，则，
①＝，由此能求出结果；
②由题，由M＝[2，t，0]，知，由，能求出t，进而求出结果．
【解答】解：（1）∵，
∴＝，
∴的斜60°坐标为[6，3．
（2）设分别为与，
则，
①＝
＝＝＝；
②由题，
由M＝[2，t，6]，知，
由，知：
，
∴，
∴，
解得t＝﹣2
则＝＝
【点评】本题考查向量的运算，考查向量的斜60°坐标、向量运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
22．（12分）已知椭圆C：+＝1，点E（﹣4，0），切点为T．
（1）求点T的坐标；
（2）过线段ET的中点G作直线l交椭圆C于A，B两点，直线EA与椭圆C的另一个交点为M，求证：MN∥ET；
（3）请结合（2）的问题解决，运用类比推理（无需证明）．
【分析】（1）设直线方程为y＝k（x+4）（k＞0），联立椭圆的方程，得关于x一元二次方程，由Δ＝0，解得k，即可得出答案．
（2）设直线l的方程为直线l的方程为y﹣＝k（x+3），A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1＝kx1+3k+，y2＝kx2+3k+，则直线EA的方程为直线EA的方程为x＝﹣4+•y，联立EA方程和椭圆方程，由韦达定理得到M的坐标，简化坐标用到+4＝8，同理得到N的坐标，最后计算MN，ET的斜率，即可得出答案．
（3）过线段ET的中点G作直线l交抛物线C于A，B两点，直线EA与抛物线C的另一个交点为M，直线EB与抛物线C的另一个交点为N，则MN∥ET．
【解答】解：（1）设直线方程为y＝k（x+4）（k＞0），
联立，得（1+5k2）x2+32k5x+64k2﹣8＝6，（*）
因为直线与椭圆相切，
所以Δ＝32×32k4﹣32（4k2+1）（8k3﹣1）＝0，
解得k6＞，
因为k＞3，
所以k＝，
所以方程（*）可化为3x2+8x+8＝0，
解得x＝﹣2，
所以y＝×[（﹣2）+5]＝1，
所以T的坐标为（﹣2，7）．
（2）证明：由（1）可得ET的中点的G坐标为（﹣3，），
设直线l的方程为y﹣＝k（x+6）1，y1），B（x5，y2），
所以y﹣＝k（x+3），
所以y1＝kx1+6k+，y2＝kx2+3k+，
直线EA的方程为x＝﹣4+•y，
联立椭圆的方程可得[（x6+4）2+2]y2﹣8（x1+2）y1y+8＝0，
所以y4+yM＝，
所以yM＝﹣y2＝
＝＝，
因为点A（x1，y1）在椭圆x3+4y2＝5上，
所以+4，
所以yM＝＝＝，
所以xM＝x＝﹣7+•yM，＝﹣4+•＝﹣4+，
所以M（3+，），
同理可得N（3+，），
所以kMN＝＝
＝
＝
＝＝，
kET＝kEQ＝＝，
所以kMN＝kET，
所以MN∥ET．
（3）点E的坐标为（﹣1，0）7＝4x于A，B两点，直线EB与抛物线C的另一个交点为N．
【点评】本题考查直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
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分组
频数
频率
第1组
[75，80）
①
第2组
[80，85）
0.300
第3组
[85，90）
30
②
第4组
[90，95）
20
0.200
第5组
[95，100]
10
0.100
合计
100
1.00
组号
分组
频数
频率
第1组
[75，80）
①
第2组
[80，85）
0.300
第3组
[85，90）
30
②
第4组
[90，95）
20
0.200
第5组
[95，100]
10
0.100
合计
100
1.00