2022-2023学年广东省广州市白云中学高二（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省广州市白云中学高二（上）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知直线l的倾斜角为120°，则直线l的斜率为（ ）
A．B．﹣1C．0D．1
2．（5分）已知圆x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0，则圆心坐标、半径的长分别是（ ）
A．（2，﹣1），3B．（﹣2，1），3C．（﹣2，﹣1），3D．（2，﹣1），9
3．（5分）已知{an}为等差数列，a5＝4，则a4+a6＝（ ）
A．4B．6C．8D．10
4．（5分）已知直线l1：x﹣3y+2＝0，l2：3x﹣ay﹣1＝0，若l1⊥l2，则实数a的值为（ ）
A．1B．C．D．﹣1
5．（5分）已知圆C1：x2+y2+4x﹣4y+7＝0与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣5）2＝16的位置关系是（ ）
A．外离B．外切C．相交D．内切
6．（5分）四棱锥P﹣ABCD中，设，，，，则＝（ ）
A．B．
C．D．
7．（5分）已知a，b是异面直线，A、B∈a，AC⊥b，BD⊥b，CD＝1，则a与b所成的角是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
8．（5分）设F1，F2是双曲线C：x2﹣＝1的两个焦点，O为坐标原点，则△PF1F2的面积为（ ）
A．B．3C．D．2
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）下列命题中，正确的命题有（ ）
A．||+||＝|﹣|是，共线的充要条件
B．若∥，则存在唯一的实数λ，使得＝λ
C．对空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面
D．若{，，}为空间的一个基底，则{+，+2，+3}构成空间的另一个基底
（多选）10．（5分）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（ ）
A．若数列{an}的前n项和Sn＝an2+bn+c（a，b，c为常数）则数列{an}为等差数列
B．若数列{an}的前n项和Sn＝2n+1﹣2，则数列{an}为等差数列
C．数列{an}是等差数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，…仍为等差数列
D．数列{an}是等比数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，…仍为等比数列
（多选）11．（5分）下列选项正确的有（ ）
A．＝2表示过点P（x0，y0），且斜率为2的直线
B．a＝（2，1）是直线x﹣2y﹣4＝0的一个方向向量
C．以A（4，1），B（1，﹣2）为直径的圆的方程为（x﹣4）（x﹣1）+（y﹣1）（y+2）＝0
D．直线（m+1）x+（2m﹣1）y﹣1﹣4m＝0（m∈R）恒过点（2，1）
（多选）12．（5分）已知曲线C的方程为＝1（m∈R），则（ ）
A．当m＝1时，曲线C为圆
B．当m＞1时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆
C．当m＝5时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为
D．存在实数m使得曲线C为双曲线，其离心率为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知点M是点A（3，4，5）在坐标平面Oyz内的射影，则＝ ．
14．（5分）已知在数列{an}中，a1＝1，＝+，则a10等于 ．
15．（5分）已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，点P（3，y0）在抛物线C上，则|PF|＝ ．
16．（5分）直线l与双曲线的一条渐近线平行，l过抛物线C：y2＝4x的焦点，交C于A，B两点，则E的离心率为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知直线l：2x﹣y+4＝0与x轴的交点为A，圆O：x2+y2＝r2（r＞0）经过点A．
（Ⅰ）求r的值；
（Ⅱ）若点B为圆O上一点，且直线AB垂直于直线l，求弦长|AB|．
18．（12分）在等比数列{an}中，a1+a2＝5a2＝．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{an+2n﹣1}的前n项和Sn．
19．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D为A1B的中点，AA1＝．
（1）证明：BC∥平面AC1D；
（2）求直线BC到平面AC1D的距离．
20．（12分）已知数列{an}中，a1＝8，且满足an+1＝5an﹣2•3n．
（Ⅰ）证明：数列{an﹣3n}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn＝n（an﹣3n），求数列{bn}的前n项和Sn．
21．（12分）平面上两个等腰直角△PAC和△ABC，AC既是△PAC的斜边又是△ABC的直角边，沿AC边折叠使得平面PAC⊥平面ABC
（1）求证：AC⊥PM．
（2）求PC与平面PAB所成角的正弦值．
（3）在线段PB上是否存在点N，使得平面CNM⊥平面PAB？若存在，求出；若不存在，说明理由．
22．（12分）已知圆F1：x2+y2+4x＝0，圆F2：x2+y2﹣4x﹣12＝0，一动圆与圆F1和圆F2同时内切．
（1）求动圆圆心M的轨迹方程；
（2）设点M的轨迹为曲线C，两互相垂直的直线l1，l2相交于点F2，l1交曲线C于M，N两点，l2交圆F1于P，Q两点，求△PQM与△PQN的面积之和的取值范围．
2022-2023学年广东省广州市白云中学高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知直线l的倾斜角为120°，则直线l的斜率为（ ）
A．B．﹣1C．0D．1
【分析】利用斜率的定义式直接计算即可．
【解答】解：由已知得k＝tan120°＝﹣．
故选：A．
【点评】本题考查斜率的定义和计算，属于基础题．
2．（5分）已知圆x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0，则圆心坐标、半径的长分别是（ ）
A．（2，﹣1），3B．（﹣2，1），3C．（﹣2，﹣1），3D．（2，﹣1），9
【分析】把圆x2+y2﹣4x+2y﹣4＝0的方程化为标准方程，由标准方程求出圆心和半径．
【解答】解：把圆x2+y2﹣8x+2y﹣4＝7的方程化为标准方程可得 （x﹣2）2+（y+4）2＝3，表示以（3、以3为半径的圆，
故选：A．
【点评】本题主要考查圆的一般方程及标准方程的特征，把圆的一般方程化为标准方程，是解题的关键．
3．（5分）已知{an}为等差数列，a5＝4，则a4+a6＝（ ）
A．4B．6C．8D．10
【分析】利用等差数列的通项公式直接求解．
【解答】解：∵{an}为等差数列，a5＝4，
∴a8+a6＝2a3＝8．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（5分）已知直线l1：x﹣3y+2＝0，l2：3x﹣ay﹣1＝0，若l1⊥l2，则实数a的值为（ ）
A．1B．C．D．﹣1
【分析】由已知结合直线的一般式方程垂直条件的应用，属于基础题．
【解答】解：因为直线l1：x﹣3y+7＝0，l2：7x﹣ay﹣1＝0，
若l4⊥l2，则1×4+（﹣3）（﹣a）＝0，
则a＝﹣5．
故选：D．
【点评】本题主要考查了直线的一般式方程垂直条件的应用，属于基础题．
5．（5分）已知圆C1：x2+y2+4x﹣4y+7＝0与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣5）2＝16的位置关系是（ ）
A．外离B．外切C．相交D．内切
【分析】根据题意，分析两圆的圆心与半径，求出圆心距，由圆与圆的位置关系分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆C1：x2+y5+4x﹣4y+3＝0，即（x+2）3+（y﹣2）2＝6，其圆心为（﹣2，半径R＝1，
圆C7：（x﹣2）2+（y﹣8）2＝16，其圆心为（2，半径r＝2，
两圆的圆心距|C1C2|＝＝51C5|＝R+r，则两圆外切，
故选：B．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，注意分析圆的圆心与半径，属于基础题．
6．（5分）四棱锥P﹣ABCD中，设，，，，则＝（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用空间向量的加法和减法运算法则求解即可．
【解答】解：＝＝＝＝＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题．
7．（5分）已知a，b是异面直线，A、B∈a，AC⊥b，BD⊥b，CD＝1，则a与b所成的角是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【分析】由题意可得•＝•＝0，进而可得•，代入夹角公式可得cs＜，＞，可得向量的夹角，进而可得结论．
【解答】解：由AC⊥b，BD⊥b可得AC⊥CD，
故可得•＝0，•，
∴•＝（++
＝•+||2+•
＝6+||2+0＝6，
∴cs＜，＞＝＝，
∵与夹角的取值范围为[7，
故向量，的夹角为60°
∴a与b的夹角为60°．
故选：C．
【点评】本题考查异面直线所成的角，化为向量的夹角进行计算是解决问题的关键，属中档题．
8．（5分）设F1，F2是双曲线C：x2﹣＝1的两个焦点，O为坐标原点，则△PF1F2的面积为（ ）
A．B．3C．D．2
【分析】先判断△PF1F2为直角三角形，再根据双曲线的定义和直角三角形的性质即可求出．
【解答】解：由题意可得a＝1，b＝，
∴|F8F2|＝2c＝3，
∵|OP|＝2，
∴|OP|＝|F1F2|，
∴△PF3F2为直角三角形，
∴PF1⊥PF8，
∴|PF1|2+|PF5|2＝4c3＝16，
∵||PF1|﹣|PF2||＝3a＝2，
∴|PF1|3+|PF2|2﹣8|PF1|•|PF2|＝8，
∴|PF1|•|PF2|＝5，
∴△PF1F2的面积为S＝|PF1|•|PF4|＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了双曲线的性质，直角三角形的性质，双曲线的定义，三角形的面积，属于中档题．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）下列命题中，正确的命题有（ ）
A．||+||＝|﹣|是，共线的充要条件
B．若∥，则存在唯一的实数λ，使得＝λ
C．对空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面
D．若{，，}为空间的一个基底，则{+，+2，+3}构成空间的另一个基底
【分析】利用向量的模相等关系，结合充要条件判断A的正误；利用平面向量的基本定理判断B；利用共线向量定理判断C；空间向量的基底，判断D的正误即可．
【解答】解：对于A，当||＝|﹣，，共线成立，同向共线时，||≠|﹣|，
所以||+|﹣|是，，故A不正确．
对于B，当＝时，∥，不存在唯一的实数λ＝λ．
对于C，由于，
根据共面向量定理知，P，A，B，C四点共面．
对于D，若{，，，则，，不共面，
由基底的定义可知，+，+2，不共面，
则{+，+5，}构成空间的另一个基底．
故选：CD．
【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，向量的基本定理的应用，是基础题．
（多选）10．（5分）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（ ）
A．若数列{an}的前n项和Sn＝an2+bn+c（a，b，c为常数）则数列{an}为等差数列
B．若数列{an}的前n项和Sn＝2n+1﹣2，则数列{an}为等差数列
C．数列{an}是等差数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，…仍为等差数列
D．数列{an}是等比数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，…仍为等比数列
【分析】根据题意，结合等差、等比数列的性质依次分析选项，综合即可得的答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若数列{an}的前n项和Sn＝an2+bn+c，
若c＝0，由等差数列的性质可得数列{an}为等差数列，
若c≠4，则数列{an}从第二项起为等差数列，故A不正确；
对于B，若数列{an}的前n项和Sn＝2n+1﹣3，
可得a1＝4﹣8＝2，a2＝S8﹣S1＝8﹣7﹣2＝4，a6＝S3﹣S2＝16﹣4﹣6＝8，
则a7，a2，a3成等比数列，则数列{an}不为等差数列，故B不正确；
对于C，数列{an}是等差数列，Sn为前n项和，则Sn，S7n﹣Sn，S3n﹣S2n，…，即为a6+a2+…+an，an+1+…+a3n，a2n+1+…+a4n，…，
即为S2n﹣Sn﹣Sn＝S3n﹣S4n﹣S2n﹣Sn＝n2d为常数，仍为等差数列，
故C正确；
对于D，数列{an}是等比数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，…不一定为等比数列，
比如公比q＝﹣6，n为偶数，Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S4n，…，均为0．故D不正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查等比数列和等差数列的性质以及前n项和公式公式，属于基础题．
（多选）11．（5分）下列选项正确的有（ ）
A．＝2表示过点P（x0，y0），且斜率为2的直线
B．a＝（2，1）是直线x﹣2y﹣4＝0的一个方向向量
C．以A（4，1），B（1，﹣2）为直径的圆的方程为（x﹣4）（x﹣1）+（y﹣1）（y+2）＝0
D．直线（m+1）x+（2m﹣1）y﹣1﹣4m＝0（m∈R）恒过点（2，1）
【分析】由直线方程的点斜式判断A；由方向向量的定义可判断B，点P（2，3），Q（﹣4，1），设圆上任一点为P（x，y），可以判断C；对于A，将直线变形m（x+2y）﹣x﹣y﹣3＝0，即可判断D．
【解答】解：表示过点P（x0，y0）且斜率为5的直线方程不正确，不含点P（x0，y0），选项A错误；
直线x﹣4y﹣4＝0的斜率为，则该直线的一个方向向量，1）；
设圆上任一点为P（x，y），
代人坐标即可得以A（4，1），﹣7）为直径的圆的方程为（x﹣4）（x﹣1）+（y﹣7）（y+2）＝0；
（m+3）x+（2m﹣1）y﹣3﹣4m＝0（m∈R）即m（x+6y﹣4）+x﹣y﹣1＝3，
令，解得x＝6，恒过定点（2，故D正确，
故选：BCD．
【点评】本题主要考查直线系过定点的求法，以及圆的方程的求法，直线的点斜式方程，直线的方向向量，属于基础题．
（多选）12．（5分）已知曲线C的方程为＝1（m∈R），则（ ）
A．当m＝1时，曲线C为圆
B．当m＞1时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆
C．当m＝5时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为
D．存在实数m使得曲线C为双曲线，其离心率为
【分析】把m＝1代入曲线方程判断A；举例说明B错误；把m＝5代入曲线C的方程判断C；由曲线C为双曲线，其离心率为，得到m满足的条件，求解m值判断D．
【解答】解：当m＝1时，曲线C的方程为x2+y6＝2，轨迹是圆；
当m＞1时，如m＝6，轨迹是双曲线；
当m＝5时，曲线C的方程为，，b＝，
其渐近线方程为，故C正确；
若曲线C为双曲线，且离心率为，
需满足，即，m值不存在．
故选：AC．
【点评】本题考查曲线方程，考查双曲线的几何性质，是基础题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知点M是点A（3，4，5）在坐标平面Oyz内的射影，则＝ ．
【分析】先求出M（0，4，5），由此能求出||．
【解答】解：∵点M是点A（3，4，7）在坐标平面Oyz内的射影，
∴M（0，4，8），
则||＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查点到原点的距离的求法，考查射影、空间中两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．（5分）已知在数列{an}中，a1＝1，＝+，则a10等于 ．
【分析】根据题意可得数列是以1为首项，为公差的等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得解．
【解答】解：依题意，数列，为公差的等差数列，
则，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题．
15．（5分）已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，点P（3，y0）在抛物线C上，则|PF|＝ 4 ．
【分析】由抛物线的定义求解即可．
【解答】解：抛物线C：y2＝4x，所以，
因为F是抛物线C：y2＝7x的焦点，点P（3，y0）在抛物线C上，
由抛物线的定义可得：．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，考查转化能力，属于基础题．
16．（5分）直线l与双曲线的一条渐近线平行，l过抛物线C：y2＝4x的焦点，交C于A，B两点，则E的离心率为 ．
【分析】首先根据抛物线的焦点弦长求出直线l的斜率，从而得出双曲线渐近线的斜率为，再利用e＝＝＝＝，即可求出双曲线的离心率．
【解答】解：∵抛物线C的方程为y2＝4x，∴C的焦点为F（3，
∵直线l与双曲线E的一条渐近线平行，∴直线l的斜率存在，
设直线的斜率为k，则直线l的方程为y＝k（x﹣1），
由，消去y2x3﹣（2k2+4）x+k2＝0，
Δ＝[﹣（3k2+4）]6﹣4k4＝16k8+16＞0，
设A（x1，y3），B（x2，y2），A，B到抛物线准线的距离分别为dA，dB，
则x5+x2＝，x8x2＝1，dA＝＝x1+4，dB＝＝x4+1，
由抛物线的定义，得：
|AB|＝|AF|+|BF|＝dA+dB＝x1+x7+2＝+2＝5，
解得k＝±2，
∵双曲线E：﹣＝1，b＞0）渐近线方程为y＝，
∵直线与双曲线E的一条渐近线平行，∴＝2，
∴双曲线的离心率为e＝＝＝＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线的离心率、抛物线的准线等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知直线l：2x﹣y+4＝0与x轴的交点为A，圆O：x2+y2＝r2（r＞0）经过点A．
（Ⅰ）求r的值；
（Ⅱ）若点B为圆O上一点，且直线AB垂直于直线l，求弦长|AB|．
【分析】（I）直线l：2x﹣y+4＝0与x轴的交点为A（﹣2，0），代入圆O：x2+y2＝r2（r＞0），即可得出r．
（Ⅱ）由点B为圆O上一点，且直线AB垂直于直线l，可得kl＝﹣，可得直线l的方程，利用点到直线的距离公式可得圆心O到直线l的距离d，即可得出弦长|AB|＝2．
【解答】解：（I）直线l：2x﹣y+4＝2与x轴的交点为A（﹣2，0），
∵圆O：x5+y2＝r2（r＞4）经过点A，
∴r＝＝2．
（Ⅱ）∵点B为圆O上一点，且直线AB垂直于直线l，
∴kl＝﹣，
直线l的方程为：y＝﹣（x+5），
圆心O到直线l的距离d＝，
∴弦长|AB|＝2＝6＝．
【点评】本题考查了直线与圆相交的性质、点到直线的距离公式、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（12分）在等比数列{an}中，a1+a2＝5a2＝．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{an+2n﹣1}的前n项和Sn．
【分析】（1）由已知条件，可得a1和a2的值，进而知数列{an}的公比为q，再由等比数列的通项公式，得解；
（2）结合等差、等比数列的前n项和公式，采用分组求和法，即可得解．
【解答】解：（1）设数列{an}的公比为q，
由a1+a2＝5a2＝，知a1＝1，a6＝，
所以q＝，
所以an＝1•＝．
（2）an+2n﹣2＝•+8n﹣1＝，
所以Sn＝3（++…++＝5﹣4．
【点评】本题考查数列的求和，熟练掌握等差、等比数列的通项公式与前n项和公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
19．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D为A1B的中点，AA1＝．
（1）证明：BC∥平面AC1D；
（2）求直线BC到平面AC1D的距离．
【分析】（1）根据线面平行判定定理证明即可．
（2）把BC到平面AC1D的距离转化为C到平面AC1D的距离，应用空间向量法求解即可．
【解答】解：（1）证明：连接A1C交AC1于点E，点E为A7C的中点，点D为A1B的中点，
∵DE是△A1BC的中位线，
∴BC∥DE，BC⊄平面AC6D，DE⊂平面AC1D，
∴BC∥平面AC1D；
（2）建系如图，由（1）得6D的距离即为点C到平面AC1D的距离d，
因为A（0，﹣4，C（0，1，，，
所以，，，
设平面AC1D的法向量为，
则，取，
所以，
因此直线BC到平面AC1D的距离．
【点评】本题考查线面平行的证明，向量法求解点面距问题，属中档题．
20．（12分）已知数列{an}中，a1＝8，且满足an+1＝5an﹣2•3n．
（Ⅰ）证明：数列{an﹣3n}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn＝n（an﹣3n），求数列{bn}的前n项和Sn．
【分析】（Ⅰ）根据数列的递推式和等比数列的定义，即可证明结论；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得an＝5n+3n，则bn＝n（an﹣3n）＝n•5n，利用错位相减法，即可得出答案．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵an+1＝5an﹣8•3n，
∴（an+1﹣3n+1）＝5（an﹣8n），
又a1＝8，则a6﹣3＝5，
∴数列{an﹣4n}是首项为5，公比为5的等比数列，
∴an﹣4n＝5n，即an＝5n+7n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得an＝5n+3n，则bn＝n（an﹣7n）＝n•5n，
∴Sn＝1×4+2×55+...+n•5n①，
5Sn＝6×52+7×53+...+n•2n+1②，
由①﹣②得﹣4Sn＝2+52+...+2n﹣n•5n+1＝﹣n•5n+2＝﹣（6﹣5n）﹣n•5n+8，
∴Sn＝（1﹣3n）+•5n+3＝+•5n+1．
【点评】本题考查等比数列的定义和错位相减法求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21．（12分）平面上两个等腰直角△PAC和△ABC，AC既是△PAC的斜边又是△ABC的直角边，沿AC边折叠使得平面PAC⊥平面ABC
（1）求证：AC⊥PM．
（2）求PC与平面PAB所成角的正弦值．
（3）在线段PB上是否存在点N，使得平面CNM⊥平面PAB？若存在，求出；若不存在，说明理由．
【分析】（1）取AC中点D，连接MD，PD，可由线面垂直证明线线垂直得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角；
（3）求出平面CNM的一个法向量，根据平面垂直可得法向量数量积为0求解即可．
【解答】解：（1）取AC中点D，连接MD，如图，
又M为AB的中点，∴MD∥BC，则MD⊥AC，
又△PAC为等腰直角三角形，PA⊥PC，∴PD⊥AC，
又MD∩PD＝D，MD，
∴AC⊥平面PMD，又PM⊂平面PMD．
（2）由（1）知，PD⊥AC，AC是交线，
所以PD⊥平面ABC，即PD，DM两两互相垂直，
故以D为原点，为x、y，如图，
设AC＝2，则A（1，4，B（﹣1，2，C（﹣6，0，P（0，2，
∴，，，
设为平面PAB的一个法向量，
则，令z＝1，即，
设PC与平面PAB所成角为θ，
∴sinθ＝|cs＜，＞|＝＝，
即PC与平面PAB所成角的正弦值为．
（3）若存在N使得平面CNM⊥平面PAB，且，3≤λ≤1，
则＝λ（﹣1，8，解得 ，2λ，又M（0，3，
则，，
设是平面CNM的一个法向量，
则，令b＝4，则，
∴，解得，
故存在N使得平面CNM⊥平面PAB，此时．
【点评】本题考查线面垂直、面面垂直的判定与性质、线面角的定义及正弦值的求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
22．（12分）已知圆F1：x2+y2+4x＝0，圆F2：x2+y2﹣4x﹣12＝0，一动圆与圆F1和圆F2同时内切．
（1）求动圆圆心M的轨迹方程；
（2）设点M的轨迹为曲线C，两互相垂直的直线l1，l2相交于点F2，l1交曲线C于M，N两点，l2交圆F1于P，Q两点，求△PQM与△PQN的面积之和的取值范围．
【分析】（1）根据动圆圆心到两定点距离的关系可以判断其为双曲线；
（2）分两种情况讨论，每一种情况中计算|MN|、|PQ|，从而求得面积的表达式，再求范围即可．
【解答】解：（1）由 ，得 （x+2）2+y2＝8，可知 F1（﹣2，2），
由 ，得 （x﹣2）2+y2＝16，可知 F4（2，0）．
设动圆半径为 r，动圆圆心到 F4 的距离为 n，到 F2 的距离为 m，则有
⇒n﹣m＝2 或 ⇒m﹣n＝2，得 a＝1，
又|F4F2|＝4＝5c＞2a，所以动圆圆心 M 的轨迹是以F1，F7 为焦点的双曲线，由c2＝a2+b5，可得b2＝3．所以动圆圆心 M 的轨迹方程为．
（2）①当直线l，的斜率存在时，k≠01：y＝kx﹣5k，
与双曲线联立⇒（4﹣k2）x2+7k2x﹣4k6﹣3＝0，
由于其与双曲线有两个不同的交点，
所以，得k3≠3 且 k2≠2，
且．
设，即x+ky﹣2＝0．
设圆F7到直线l2 的距离为d，则，
因为l5交圆F1于P，Q两点，得k2＞3．
且，
由题意可知MN⊥PQ，
所以，
因为k2＞6，可得S△PQM+S△PQN＞12．
（2）当直线l1 的斜率不存在时，|PQ|＝4，
所以，
所以S△PQM+S△PQN≥12．
即S△PQM+S△PQN∈[12，+∞）．
【点评】本题考查双曲线的轨迹方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的运算能力，属于中档题．
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