2022-2023学年广东省肇庆市高二（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省肇庆市高二（上）期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知等差数列{an}的公差为d，且满足a3＝a1+4，则d的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（5分）直线2mx+my﹣3＝0的一个方向向量是（ ）
A．（1，2）B．（2，﹣1）C．（2，1）D．（1，﹣2）
3．（5分）点M（1，2，3）关于坐标平面Oxz的对称点的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣2，3）B．（﹣1，2，﹣3）C．（1，﹣2，3）D．（1，﹣2，﹣3）
4．（5分）在等比数列{an}中，已知a1＝1，a5＝16，则a3的值为（ ）
A．﹣4B．4C．±4D．±2
5．（5分）已知椭圆C1和双曲线C2的焦点相同，记左、右焦点分别为F1，F2，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2.设点P为C1与C2在第一象限内的公共点，且满足|PF1|＝k|PF2|，若，则k的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．（5分）已知双曲线的方程为，且双曲线的一条渐近线的倾斜角满足（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）根据圆的性质我们知道，过圆O外的一点A可以作圆O的两条切线，切点为B与C2+y2＝1，圆外有一点A（1，2），则圆O的“切点四边形”的周长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
8．（5分）已知三棱锥P﹣ABC满足|PA|＝|PB|＝|PC|＝l，记点P到平面ABC的距离为h，若l＝h+1（ ）
A．4πB．9πC．16πD．25π
二、选择题：本题共4小题。每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）已知向量，，是空间直角坐标系Oxyz中的坐标向量，，，，且满足，，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．，所成角为钝角D．可以用，表示
（多选）10．（5分）已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．a1＜0
B．{Sn}是递减数列
C．{an}为递减数列
D．是公差为﹣1的等差数列
（多选）11．（5分）已知抛物线．现将抛物线C1绕原点顺时针旋转90°，得到新抛物线C2.记C2的焦点为F．过点F的直线交抛物线C2于M，N两点，若直线MN的斜率为12的说法中正确的是（ ）
A．焦点F（1，0）B．|MN|＝6
C．准线方程为x＝﹣1D．△MON的面积为
（多选）12．（5分）如图所示，已知三棱锥A﹣BCD中，AD，且|AD|⋅|BC|＝2．在线段AB上分别取靠近点A的n+1（n∈N*）等分点1，M2，…，Mn.分别过M1，M2，…，Mn作平行于AD，BC的平面，与三棱锥的截面记为α1，α2，…，αn，记截面α1，α2，…，αn的面积分别为a1，a2，…，an.则以下说法正确的是（ ）
A．
B．{an}为递增数列
C．存在常数λ，使为等差数列
D．设Tn为数列{（n+1）an}的前n项积，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。其中一题双空的，第一空2分，第二空3分。
13．（5分）设直线l在x，y轴上的截距分别为a，b，且满足ab＝﹣6 ．
14．（5分）已知向量，，均为单位向量，且它们两两的夹角均为60°，，则的值为 ．
15．（5分）已知抛物线的焦点为F，准线为l．过焦点的一条直线交抛物线于点A，B（A在第一象限），B作准线l的垂线，交准线于C，|CD|＝4，则p的值为 ．
16．（5分）已知数列{an}满足a1＝0，对任意的n∈N*均有an+1﹣an∈{0，1}，an+2﹣an∈{0，1}，a2n＞a2n﹣1，则a2＝ ，{an}的通项公式为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）设圆，直线l：x+y﹣2＝0．记直线l与圆O1交于A，B两点．设O2为O1关于直线l的对称点．
（1）求弦AB的长；
（2）求点O2的坐标．
18．（12分）设数列{an}是首项为2的等比数列，且a1，a2+1，a3成等差数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝nan+1，记Sn为数列{bn}的前n项和，求Sn．
19．（12分）亭子是一种中国传统建筑，多建于园林、佛寺、庙宇，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）1与一个圆柱OO1构成（如图2）．已知圆锥高为3，圆柱高为5
（1）求圆锥PO1的母线长；
（2）设F为半圆弧CD的中点，求P到平面ABF的距离．
20．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为边长为2的菱形，且PA⊥平面ABCD
（1）设E为CD中点，证明：平面PCD⊥平面PAE；
（2）设PA＝2，PB上是否存在一点M，使得AM与平面PBC所成的角和平面AMB与平面PBC的夹角相等？若存在；若不存在，请说明理由．
21．（12分）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，_____．
在①，②这两个条件中任选一个填入横线上，并作答．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设且bn＝f（an），记{bn}的前n项和为Tn，求T19的值．
22．（12分）已知椭圆，左顶点为A，右顶点为B．
（1）求椭圆的长轴长与短轴长的差值；
（2）已知定直线，点S为椭圆上位于x轴上方的动点，直线AS，椭圆上是否存在这样的点T，满足△TBS的面积为，确定点T的个数；若不存在
2022-2023学年广东省肇庆市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知等差数列{an}的公差为d，且满足a3＝a1+4，则d的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】由已知结合等差数列的性质即可求解．
【解答】解：等差数列{an}满足a3＝a1+7，
则d＝＝2，
故选：A．
【点评】本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础题．
2．（5分）直线2mx+my﹣3＝0的一个方向向量是（ ）
A．（1，2）B．（2，﹣1）C．（2，1）D．（1，﹣2）
【分析】首先求出直线的斜率，进一步利用直线的斜率和方向向量对应相等求出结果．
【解答】解：直线2mx+my﹣3＝5的斜率k＝﹣2．由直线的方向向量即为（1＝（4，
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：直接利用直线的斜率和方向向量的关系式求出结果．
3．（5分）点M（1，2，3）关于坐标平面Oxz的对称点的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣2，3）B．（﹣1，2，﹣3）C．（1，﹣2，3）D．（1，﹣2，﹣3）
【分析】根据已知条件，结合点关于平面对称的定义，即可求解．
【解答】解：点M（1，2，8）关于坐标平面Oxz的对称点的坐标为（1，3）．
故选：C．
【点评】本题主要考查空间中的点的坐标，属于基础题．
4．（5分）在等比数列{an}中，已知a1＝1，a5＝16，则a3的值为（ ）
A．﹣4B．4C．±4D．±2
【分析】由已知结合等比数列的性质即可求解．
【解答】解：等比数列{an}中，a1＝1，a7＝16，
所以a3＞0，
则a3＝＝＝4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质，属于基础题．
5．（5分）已知椭圆C1和双曲线C2的焦点相同，记左、右焦点分别为F1，F2，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2.设点P为C1与C2在第一象限内的公共点，且满足|PF1|＝k|PF2|，若，则k的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】设椭圆的长轴长为2a1，双曲线的实轴长为2a2．根据条件结合双曲线和椭圆的定义列出关于k的方程，求解即可．
【解答】解：设椭圆的长轴长为2a1，双曲线的实轴长为4a2．
由题得＝，
则，整理得k（k﹣3）＝0．
故选：A．
【点评】本题考查了椭圆与双曲线的方程和性质，属于基础题．
6．（5分）已知双曲线的方程为，且双曲线的一条渐近线的倾斜角满足（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用二倍角的正切公式求出tanθ，即可得，再根据离心率公式即可得解．
【解答】解：因为双曲线的一条渐近线的倾斜角满足，
故，解得tanθ＝3或，
又因为，所以tanθ＝2，
即，
所以该双曲线的离心率．
故选：B．
【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了正切的二倍角公式，属于基础题．
7．（5分）根据圆的性质我们知道，过圆O外的一点A可以作圆O的两条切线，切点为B与C2+y2＝1，圆外有一点A（1，2），则圆O的“切点四边形”的周长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】先求解|OA|，再根据勾股定理求解切线长，进而可得周长．
【解答】解：由题意，|OA|＝＝，故|AB|＝|AC|＝，
故四边形OBAC的周长为|OB|+|OC|+|AB|+|AC|＝1+4+2+2＝7．
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，属基础题．
8．（5分）已知三棱锥P﹣ABC满足|PA|＝|PB|＝|PC|＝l，记点P到平面ABC的距离为h，若l＝h+1（ ）
A．4πB．9πC．16πD．25π
【分析】由题意可知点P在平面ABC内的射影O1为△ABC的外心，设三棱锥P﹣ABC的外接球的球心为O，半径为R，由可得，然后结合球的表面积公式求解即可．
【解答】解：过P作PO1⊥平面ABC，
又三棱锥P﹣ABC满足|PA|＝|PB|＝|PC|＝l，
则O1为△ABC的外心，
设三棱锥P﹣ABC的外接球的球心为O，半径为R，
则点O在直线PO4上，
连接AO，AO1，
又l＝h+1，
则|AO3|＝＝，
又，
则2h+1+（h﹣R）7＝R2，
则，
当且仅当，即h＝1时取等号，
即三棱锥P﹣ABC的外接球的半径的最小值为2，
即三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积的最小值为4πR2＝16π，
故选：C．
【点评】本题考查了基本不等式的应用，重点考查了球的表面积公式，属基础题．
二、选择题：本题共4小题。每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）已知向量，，是空间直角坐标系Oxyz中的坐标向量，，，，且满足，，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．，所成角为钝角D．可以用，表示
【分析】由向量是空间直角坐标系Oxyz中的坐标向量，得到两两垂直，且＝0，再由＝16，与平面yz平行，求出，再逐项进行判断．
【解答】解：∵向量是空间直角坐标系Oxyz中的坐标向量，
∴两两垂直，且，
∵＝（）
＝+3n，①
＝﹣6（，
∵与平面yz平行，解得m＝4，②
由①②，得n＝4，
∴＝，
对于A，＝（）＝，
∴，故A正确；
对于B，若，则，
∴＝，∴，不存在，∴，故B错误；
对于C，设所成角为θ，
则csθ＝＝＝﹣，
∵θ∈（0，π），∴，故C正确；
对于D，假设表示，
则，∴＝x（），
∴，无解，
∴不可以用，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查向量垂直、向量数量积公式、向量平行等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）10．（5分）已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．a1＜0
B．{Sn}是递减数列
C．{an}为递减数列
D．是公差为﹣1的等差数列
【分析】由已知结合等差数列的通项公式，求和公式及等差数列的性质分别检验各选项即可判断．
【解答】解：等差数列{an}的首项为a1，公差为d，，
则a1＝﹣1+8＝1＞0，A错误；
因为位开口向下，
由n≥1可知，{Sn}单调递减，B正确；
由题意得a6＝﹣1，d＝a2﹣a3＜0，
故{an}单调递减，C正确；
因为＝﹣n+2，
则{}是公差为﹣4的等差数列．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，求和公式及等差数列性质的应用，属于基础题．
（多选）11．（5分）已知抛物线．现将抛物线C1绕原点顺时针旋转90°，得到新抛物线C2.记C2的焦点为F．过点F的直线交抛物线C2于M，N两点，若直线MN的斜率为12的说法中正确的是（ ）
A．焦点F（1，0）B．|MN|＝6
C．准线方程为x＝﹣1D．△MON的面积为
【分析】由已知可得抛物线C2的方程为y2＝4x，结合抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系求解即可．
【解答】解：已知抛物线．现将抛物线C1绕原点顺时针旋转90°，得到新抛物线C2，
则抛物线C6的方程为y2＝4x，
对于选项A，抛物线C7的焦点F为（1，0）；
对于选项B，联立，
消y可得x8﹣6x+1＝6，
设M（x1，y1），N（x8，y2），
则x1+x2＝6，
则|MN|＝x1+x8+2＝8，
即选项B错误；
对于选项C，抛物线C3的准线方程为x＝﹣1，即选项C正确；
对于选项D，点O到直线MN的距离为，
则△MON的面积为，
即选项D正确，
故选：ACD．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属基础题．
（多选）12．（5分）如图所示，已知三棱锥A﹣BCD中，AD，且|AD|⋅|BC|＝2．在线段AB上分别取靠近点A的n+1（n∈N*）等分点1，M2，…，Mn.分别过M1，M2，…，Mn作平行于AD，BC的平面，与三棱锥的截面记为α1，α2，…，αn，记截面α1，α2，…，αn的面积分别为a1，a2，…，an.则以下说法正确的是（ ）
A．
B．{an}为递增数列
C．存在常数λ，使为等差数列
D．设Tn为数列{（n+1）an}的前n项积，则
【分析】在AB上取靠近点A的n+1等分点Mn，则＝，可得an＝，求出a1，判断A；利用f（x）＝x+在（1，+∞）上单调递增，可判断B；根据﹣λ＝n++2﹣λ，不可能为一次式判断C；求得（n+1）an＝，再求出T2022，判断D．
【解答】解：在AB上取靠近点A的n+1等分点Mn，则＝，
易知截面αn为平行四边形MnEnGnFn，
由题知MnEn与MnFn所成角与AD与BC所成角相等（或互补），
则an＝|MnEn|•|MnFn|•sin∠EnMnFn＝|MnEn|•|MnFn|，
由相似得＝＝，＝＝1﹣＝，
所以|MnEn|＝|BC|nFn|＝|AD|，
所以an＝|MnEn|•|MnFn|＝|BC|•|AD|＝，
所以an＝＝，所以a5＝，故A正确；
由函数f（x）＝x+在（1，可知{an}为递减数列，故B错误；
﹣λ＝n++2﹣λ，故C错误；
（n+1）an＝，则T2022＝•••⋯＝．
故选：AD．
【点评】本题考查数列的应用，考查运算求解能力，属中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。其中一题双空的，第一空2分，第二空3分。
13．（5分）设直线l在x，y轴上的截距分别为a，b，且满足ab＝﹣6 3 ．
【分析】根据已知条件，直接结合三角形的面积公式，即可求解．
【解答】解：直线l在x，y轴上的截距分别为a，b，
则直线l与坐标轴围成的图形的面积为．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查直线的截距式方程，属于基础题．
14．（5分）已知向量，，均为单位向量，且它们两两的夹角均为60°，，则的值为 0 ．
【分析】由已知可得，又，，则＝，然后求解即可．
【解答】解：已知向量，，均为单位向量，
则，
又，，
则＝＝，
故答案为：3．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，属基础题．
15．（5分）已知抛物线的焦点为F，准线为l．过焦点的一条直线交抛物线于点A，B（A在第一象限），B作准线l的垂线，交准线于C，|CD|＝4，则p的值为 ．
【分析】设准线l与x轴的交点为K，根据抛物线的几何性质，易证∠DFC＝90°，从而可求得|CF|，再根据等面积算法，即可求解．
【解答】解：如图，设准线l与x轴的交点为K，
∴|AC|＝|AF|，∴∠ACF＝∠AFC，
又CA∥KF，∴∠ACF＝∠KFC，
∴∠AFC＝∠KFC，同理可得∠BFD＝∠KFD，
又∠AFC+∠KFC+∠BFD+∠KFD＝180°，
∴2（∠KFC+∠KFD）＝180°，
∴∠DFC＝90°，又，|CD|＝4，
∴|CF|＝＝＝2，
∴|FK|＝＝＝，
∴p＝|FK|＝，
故答案为：．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，勾股定理的应用，等面积法思想的应用，属中档题．
16．（5分）已知数列{an}满足a1＝0，对任意的n∈N*均有an+1﹣an∈{0，1}，an+2﹣an∈{0，1}，a2n＞a2n﹣1，则a2＝ 1 ，{an}的通项公式为 an＝ ．
【分析】根据题意可得a2＞a1，则a2﹣a1＝1，可得a2，根据题意分类讨论n为偶数，n为奇数，即可得出答案．
【解答】解：∵a1＝0，a5n＞a2n﹣1，
∴当n＝8时，a2＞a1，则a5﹣a1＝1，解得a6＝1，
∴a2n﹣a8n﹣1＞0，故＝a8n﹣a2n﹣1＝7，
又对任意的n∈N*均有an+1﹣an∈{0，5}，an+2﹣an∈{0，6}2n+1﹣a8n∈{0，1}，a6n+1﹣a2n﹣7∈{0，1}，
若a3n+1﹣a2n＝2，则a2n+1﹣a3n﹣1＝（a2n+7﹣a2n）+（a2n﹣a7n﹣1）＝2，不符合题意，
∴a4n+1﹣a2n＝2，则a2n+1﹣a5n﹣1＝（a2n+2﹣a2n）+（a2n﹣a2n﹣1）＝1∈{8，1}，
∴数列{an}中的奇数项构成以首项为0，公差为3的等差数列，公差为1的等差数列，
∴当n为奇数，即n＝2k﹣2时2k﹣1＝a4+（k﹣1）＝k﹣1＝﹣1n＝；
当n为偶数，即n＝2k时5k＝a2k﹣1+8＝k＝，
∴an＝，
故答案为：1；an＝．
【点评】本题考查数列的递推式，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）设圆，直线l：x+y﹣2＝0．记直线l与圆O1交于A，B两点．设O2为O1关于直线l的对称点．
（1）求弦AB的长；
（2）求点O2的坐标．
【分析】（1）计算出圆心O1到直线l的距离，利用勾股定理可求得弦AB的长；
（2）设点O2，根据两点关于直线对称可得出关于a、b的方程组，解出这两个未知数的值，可得出点O2的坐标．
【解答】解：（1）圆O1的标准方程为（x﹣3）8+（y﹣3）2＝5，圆心为O1（3，7），
圆心O1到直线l的距离为d＝＝2＝2．
（2）由题意可知，O1O8⊥l，易知直线l的斜率为﹣1＝1，
设点O2（a，b），则，即点O4（﹣1，﹣1）．
【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，属中档题．
18．（12分）设数列{an}是首项为2的等比数列，且a1，a2+1，a3成等差数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝nan+1，记Sn为数列{bn}的前n项和，求Sn．
【分析】（1）设等比数列{an}的公比为q，由题意可得2（a2+1）＝a1+a3，即，得解；
（2）由题意可得，设，记Tn为数列{cn}的前n项和，结合错位相减法可得，然后求解即可．
【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，
又数列{an}的首项为2，且a1，a3+1，a3成等差数列，
则2（a2+1）＝a5+a3，
则2a3＝3a3，
即，
即，
即{an}的通项公式为；
（2）已知bn＝nan+1，
即，
设，
记Tn为数列{cn}的前n项和，
则，①
则+...+n×2n+5，②
①﹣②可得，
即，
即，
则．
【点评】本题考查了等差数列及等比数列的性质，重点考查了错位相减法求和，属基础题．
19．（12分）亭子是一种中国传统建筑，多建于园林、佛寺、庙宇，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）1与一个圆柱OO1构成（如图2）．已知圆锥高为3，圆柱高为5
（1）求圆锥PO1的母线长；
（2）设F为半圆弧CD的中点，求P到平面ABF的距离．
【分析】（1）由题意得PO1＝3，AB＝8，即BO1＝4，即可得出答案；
（2）由题意得OF、OC、OP两两垂直，建立以O为原点的空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得PO1＝3，AB＝21＝4，
∴圆锥PO7的母线长PA＝＝＝2；
（2）连接OC，F为半圆弧CD的中点，即OF、OP两两垂直，
建立以O为原点的空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示：
圆锥高为3，圆柱高为5，则A（6，5），4，7），4，0），3，0），0，6），
则＝（0，8，＝（4，4，＝（0，3，
设平面ABF的一个法向量为＝（x，y，
∴，取z＝4，x＝5，
∴平面ABF的一个法向量为＝（7，0，
∴P到平面ABF的距离为＝＝．
【点评】本题考查点到平面的距离，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为边长为2的菱形，且PA⊥平面ABCD
（1）设E为CD中点，证明：平面PCD⊥平面PAE；
（2）设PA＝2，PB上是否存在一点M，使得AM与平面PBC所成的角和平面AMB与平面PBC的夹角相等？若存在；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）连接AC，由PA⊥面ABCD，结合线面垂直的性质定理可得PA⊥CD，再结合面面垂直的判定定理可得答案．
（2）根据题意可得BA⊥AE，由PA⊥面ABCD，得BA，AE，PA两两垂直，以A为原点，分别以AB，AE，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PB上的一点M（a，0，c），则＝（a，0，c﹣2），由∥得存在λ∈（0，1），使得＝λ，进而可得M（a，0，2﹣a），设平面PBC的法向量＝（x，y，z），则，解得，平面PAB的一个法向量为＝（0，1，0），设AM与平面PBC所成角为θ1，平面AMB与平面PBC所成角为θ2，计算得sin2θ1+cs2θ2＝1，即可得出答案．
【解答】解：（1）证明：连接AC，则△ABC，则由CD⊥AE，
因为PA⊥面ABCD，CD⊂面ABCD，
所以PA⊥CD，
又因为PA∩AE＝A，
所以CD⊥面PAE，
又因为CD⊂面PCD，
所以平面PCD⊥面PAE．
（2）因为△ABC，△ACD均为等边三角形，
所以∠BAC＝60°，∠CAE＝30°，
所以∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，
所以BA⊥AE，
由PA⊥面ABCD，得BA，PA两两垂直，
以A为原点，分别以AB，AP所在直线为x，y，
则P（0，0，3），0，0），，0），
则＝（2，6，＝（﹣1，，
设PB上的一点M（a，4，c），则，0，c﹣2），
由∥得存在λ∈（6，使得，
代入坐标得a＝2λ，c＝2﹣3λ，
则M（a，0，2﹣a），，7，2﹣a），
设平面PBC的法向量＝（x，y，
则，得，
令y＝3，得x＝z＝，则，1，），
平面AMB即为平面PAB，
所以平面PAB的一个法向量为＝（0，1，
设AM与平面PBC所成角为θ8，平面AMB与平面PBC所成角为θ2，
所以sinθ1＝＝，csθ2＝＝，
由θ4＝θ2得sin2θ7+cs2θ2＝7，
得+＝1，
解得a＝1．
【点评】本题考查平面与平面的位置关系，线面所成的角，解题中需要理清思路，属于中档题．
21．（12分）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，_____．
在①，②这两个条件中任选一个填入横线上，并作答．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设且bn＝f（an），记{bn}的前n项和为Tn，求T19的值．
【分析】选①
（1）由题意可得＝，然后可得，则，然后求an；
（2）由已知可得＝，然后分组求和即可．
选②
（1）由题意可得，则数列是以1为首项，1为公差的等差数列，则，然后求解即可；
（2）由已知可得＝，然后分组求和即可．
【解答】选①
解：（1）已知＝，
则当n≥2时，＝，
又满足上式，
则，
即an＝2n﹣1；
（2）已知且bn＝f（an），
则＝，
则T19＝（8+3+5+8+9）+（6+2+8+9+10）＝137．
选②
解：（1）已知，
则，
又Sn＞4，
则，
又，
则数列是以6为首项，
即，
则，
则，
即an＝2n﹣3；
（2）已知且bn＝f（an），
则＝，
则T19＝（1+8+5+7+6）+（6+7+6+9+10）＝137．
【点评】本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了数列求和问题，属中档题．
22．（12分）已知椭圆，左顶点为A，右顶点为B．
（1）求椭圆的长轴长与短轴长的差值；
（2）已知定直线，点S为椭圆上位于x轴上方的动点，直线AS，椭圆上是否存在这样的点T，满足△TBS的面积为，确定点T的个数；若不存在
【分析】（1）椭圆，可得a＝2，b＝1，即可得出2a﹣2b．
（2）由kAS•kBS＝﹣，设kAS＝k＞0，可得kBS＝﹣，直线AS的方程为y＝k（x+2），可得yD＝k，同理可得yE＝﹣k．根据|DE|＝yD﹣yE，利用基本不等式可得k＝时取等号．联立，y＞0，解得点S坐标，可得|BS|，设点T到直线BS的距离为d，假设椭圆上存在这样的点T，满足△TBS的面积为，可得d×|BS|＝，解得d．利用点斜式可得直线BS的方程，可设与直线BS平行且与椭圆相切的直线方程为x+y+t＝0，与椭圆方程联立可得t，进而判断出结论．
【解答】解：（1）椭圆，
∴a＝2，b＝3，
∴2a﹣2b＝2﹣2＝2．
即椭圆的长轴长与短轴长的差值为7．
（2）设S（x0，y0），则+＝1，
则kAS•kBS＝•＝＝＝﹣，
设kAS＝k＞0，则kBS＝﹣，
直线AS的方程为y＝k（x+2），把x＝D＝k．
直线BS的方程为：y＝﹣（x﹣2）代入解得yE＝﹣k．
∴|DE|＝yD﹣yE＝k+＝，当且仅当k＝．
联立，y＞0，
解得x＝，y＝，
∴S（，），
∴|BS|＝＝，
设点T到直线BS的距离为d，
假设椭圆上存在这样的点T，满足△TBS的面积为．
则d×＝．
直线BS的方程为：y＝（x﹣7）．
设与直线BS平行且与椭圆相切的直线方程为x+y+t＝0，
联立，化为：5x2+3tx+4t2﹣7＝0，
Δ＝64t2﹣20（5t2﹣4）＝2，
解得t＝±，
取t＝，
则此两条直线的距离为＝＞，
因此椭圆上这样的两个点T，满足△TBS的面积为．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线方程、直线与椭圆相交及相切问题、斜率计算公式、两点之间的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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