2022-2023学年河南省南阳市高二（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年河南省南阳市高二（上）期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）过点（﹣1，2）且与直线y＝2x+1垂直的直线方程为（ ）
A．2x﹣y+4＝0B．x﹣2y+5＝0C．2x+y＝0D．x+2y﹣3＝0
2．（5分）在空间四边形ABCD中，点M，G分别是BC和CD的中点，则＝（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）设随机变量X～B（2，p），Y～B（4，p），若，则D（Y）＝（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）直线3x+y﹣a＝0截圆x2+y2+2x﹣4y﹣5＝0所得的弦长为，则实数a的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣3D．3
5．（5分）将甲，乙等5名志愿者全部分派到4个核酸采样点协助工作（每个采样点至少1人），其中甲，则不同的分派方案共有（ ）
A．120种B．216种C．240种D．432种
6．（5分）与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4相切，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
7．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别为D1C1，B1C1的中点，则直线AC与平面EFC所成的角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）5个人排成一列，已知甲排在乙的前面，则甲、乙两人不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．（5分）已知点A（0，1，1），B（1，2，1），C（2，1，3），则平面ABC的方程为（ ）
A．x﹣y﹣z+2＝0B．x﹣y+z＝0C．x+y+z+2＝0D．x﹣y﹣z＝0
10．（5分）已知双曲线C：x2﹣y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C仅有一个公共点P，则|PF2|＝（ ）
A．B．C．D．
11．（5分）若，则＝（ ）
A．22022+2B．22022﹣2C．22022+1D．22022﹣1
12．（5分）已知抛物线C：y2＝2px的（p＞0）焦点为F，准线为l，B两点，若在直线l上存在一点M，则直线m的斜率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（10，σ2），若P（ξ≤3a+1）＝0.5 ．
14．（5分）若展开式的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为 ．（用数字作答）
15．（5分）如图，已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形，且∠C1CD＝∠C1CB＝，DD1＝2，则||＝ ．
16．（5分）已知O为坐标原点，F为双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点，且△POF是等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个，测量其内径的数据如下（单位：mm），192，193，200，202，204，208，标准差为σ．
（1）求μ和σ；
（2）已知这批零件的内径X（单位：mm）服从正态分布N（μ，σ2），若该车间又新购一台设备，安装调试后，测量其内径（单位：mm）分别为：181，198，204，如果你是该车间的负责人，以原设备生产性能为标准
参考数据：若X～N（μ，σ2），则：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ），P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9974，0.99744≈0.99．
18．（12分）已知四个点：A（﹣2，0），B（6，0），C（﹣1，7），D（5，﹣1）．
（1）从A，B，C，D四点中选3个点确定一个三角形，求出该三角形的外接圆M的方程；
（2）过点E（3，1）作直线l交圆M于P，Q两点，求直线l的方程．
19．（12分）已知点P到点F（2，0）的距离比它到直线x＝﹣1的距离大1．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）点M为轨迹C上任意一点，过点M作圆N：（x﹣6）2+y2＝4的切线，切点分别为A，B，求四边形MANB面积的最小值．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，PB⊥平面ABCD，BC＝2BD＝4AD＝4．
（1）证明：PD⊥CD；
（2）若PB＝2，求二面角P﹣CD﹣A的平面角的大小．
21．（12分）本次数学考试中共有12个选择题，每小题5分，共60分，B，C，D四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本次考试的12个选择题中，另外2个题只能随意猜；乙同学会其中的9个，另外1个题能排除1个错误选项．
（1）设甲同学在本次考试中选择题得分为X，求X的分布列及均值；
（2）设乙同学在本次考试中选择题得分为Y，求Y的分布列及均值；
（3）求甲同学和乙同学在本次考试中选择题得分相同的概率．
22．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，且短轴长为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点F为椭圆C的左焦点，斜率存在的直线l与椭圆C交于P，Q两点
①试证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标；
②求△FPQ面积的最大值．
2022-2023学年河南省南阳市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）过点（﹣1，2）且与直线y＝2x+1垂直的直线方程为（ ）
A．2x﹣y+4＝0B．x﹣2y+5＝0C．2x+y＝0D．x+2y﹣3＝0
【分析】利用两直线互相垂直斜率的关系及点斜式即可求解．
【解答】解：与直线y＝2x+1垂直的直线的斜率，
∴所求的直线方程为，即为x+2y﹣3＝0，
故选：D．
【点评】本题主要考查了直线垂直条件的应用，属于基础题．
2．（5分）在空间四边形ABCD中，点M，G分别是BC和CD的中点，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据向量加法的三角形法则即可求解．
【解答】解：由题意可知，，
故．
故选：C．
【点评】本题主要考查向量的线性运算，属于基础题．
3．（5分）设随机变量X～B（2，p），Y～B（4，p），若，则D（Y）＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据随机变量X～B（2，p）和，写出概率的表示式，得到关于p的方程，解出p的值，再根据Y～B（4，p），由二项分布的方差公式求得到结果．
【解答】解：∵随机变量X～B（2，p），
∴，解得，
∴，∴．
故选：D．
【点评】本题考查二项分布的概率与方差，属基础题．
4．（5分）直线3x+y﹣a＝0截圆x2+y2+2x﹣4y﹣5＝0所得的弦长为，则实数a的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣3D．3
【分析】根据弦长等于直径确定直线过圆心即可求解．
【解答】解：圆x2+y2+5x﹣4y﹣5＝5的圆心为（﹣1，2），
半径，
因为直线截圆所得的弦长为，
所以直线3x+y﹣a＝0经过圆的圆心（﹣3，2），
所以﹣3+2﹣a＝0，解得a＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于基础题．
5．（5分）将甲，乙等5名志愿者全部分派到4个核酸采样点协助工作（每个采样点至少1人），其中甲，则不同的分派方案共有（ ）
A．120种B．216种C．240种D．432种
【分析】先分成四组，再排列即可求解．
【解答】解：依题意，
情况一：甲，乙单独作为一组，
则有种方案；
情况二：甲与其他三人中的一人作为一组，剩余乙和其他6人作为3组，
则有种方案；
情况三：乙与其他三人中的一人作为一组，剩余甲和其他2人作为3组，
则有种方案，
所以总共的方案为：72+72+72＝216种．
故选：B．
【点评】本题主要考查排列、组合与简单的计数问题，考查运算求解能力，属于基础题．
6．（5分）与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4相切，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【分析】在两坐标轴上的截距互为相反数的直线，斜率为1或直线过原点，由直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，列出方程求解即可．
【解答】解：圆（x﹣3）2+（y﹣3）2＝4，圆心坐标为（6，半径为r＝2，
满足题意的直线方程斜率可以为1，设直线方程为x﹣y＝a，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离d＝r，即 ，
∴此时满足条件的直线有两条：和；
满足题意的直线可以过原点时，直线倾斜角为90°时显然不与圆相切，
设直线方程为y＝kx，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离d＝r，即，解得k＝0或，
直线为x轴，不合题意；
综上所述：满足条件的直线有三条．
故选：C．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于基础题．
7．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别为D1C1，B1C1的中点，则直线AC与平面EFC所成的角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，设平面EFC的法向量＝（x，y，z），则，解得x，y，z，进而可得的坐标，则直线AC与平面EFC所成的角的正弦值为|cs＜，＞|，即可得出答案．
【解答】解：如图建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，
则E（，0，1），，1），5，0），1，4），
所以＝（，，＝（，0，＝（﹣1，8，
设平面EFC的法向量＝（x，y，
所以，
不妨令z＝4，则x＝2，
所以＝（2，5），
所以cs＜，＞＝＝，
所以直线AC与平面EFC所成的角的正弦值为，
故选：B．
【点评】本题考查线面所成的角，解题中需要理清思路，属于中档题．
8．（5分）5个人排成一列，已知甲排在乙的前面，则甲、乙两人不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用插空法，结合古典概率模型求解即可．
【解答】解：5个人全排列且甲排在乙的前面有种方法，
将剩余三人排成一列有种排法，
让甲、乙选择两个空位插空种方法，
所以甲、乙两人不相邻的安排方法有，
其中甲排在乙的前面的有种方法，
所以甲、乙两人不相邻的概率为．
故选：C．
【点评】本题主要考查古典概型的概率公式，属于基础题．
9．（5分）已知点A（0，1，1），B（1，2，1），C（2，1，3），则平面ABC的方程为（ ）
A．x﹣y﹣z+2＝0B．x﹣y+z＝0C．x+y+z+2＝0D．x﹣y﹣z＝0
【分析】设平面的方程为ax+by+cz+d＝0，代入A，B，C三点的坐标求系数即可．
【解答】解：设平面ABC的方程为ax+by+cz+d＝0，a，b，c不同时为0，
代入A，B，C三点的坐标，得，c＝﹣a，
所以平面ABC的方程为x﹣y﹣z+6＝0．
故选：A．
【点评】本题主要考查空间中的点的坐标，属于基础题．
10．（5分）已知双曲线C：x2﹣y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C仅有一个公共点P，则|PF2|＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用已知条件求出过F1且与双曲线仅有一个交点的直线方程，将该直线与双曲线联立求得点P的坐标，最后利用双曲线的定义求出|PF2|即可．
【解答】解：由已知得c2＝a2+b6＝1+1＝6，∴左焦点F1的坐标为，
∵过F1的直线与双曲线C仅有一个公共点P，
∴该直线与双曲线的渐近线y＝x或y＝﹣x平行，
∴不妨设该直线方程为，
将直线与双曲线联立，
解得，即，
∴，
又|PF2|﹣|PF1|＝7，∴，
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，属中档题．
11．（5分）若，则＝（ ）
A．22022+2B．22022﹣2C．22022+1D．22022﹣1
【分析】根据二项展开式，令x＝0，求出，再令x＝2即可求解．
【解答】解：令x＝0，则（﹣1）2023﹣（﹣7）2022＝a0，即，
再令x＝2，可得，
所以．
故选：A．
【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题．
12．（5分）已知抛物线C：y2＝2px的（p＞0）焦点为F，准线为l，B两点，若在直线l上存在一点M，则直线m的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】设直线m的方程为，，AB的中点为Q，结合题意，可得且MQ⊥AB，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式即可求解．
【解答】解：设直线m的方程为，，
A（x1，y2），B（x2，y2），AB的中点为Q，
联立，可得y3﹣2pty﹣p2＝8，
∴y1+y2＝3pt，，
∴，
∴，
要使△MAB是等边三角形，则且MQ⊥AB，
∴，
∴，，
将②式代入①式整理，可得t6﹣4t2﹣2＝2，
∴（t2+1）6（t2﹣2）＝6，
∴t2＝2，∴，
∴直线m的斜率为，
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，设而不求法与韦达定理的应用，方程思想，属中档题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（10，σ2），若P（ξ≤3a+1）＝0.5 3 ．
【分析】由正态分布曲线的特点可知，得正态曲线关于x＝10对称，且P（X≤10）＝0.5，结合题意得到a的值．
【解答】解：∵随机变量ξ～N（10，σ2），
∴正态曲线关于x＝10对称，且P（X≤10）＝0.2，
由P（ξ≤3a+1）＝4.5，可知3a+6＝10．
故答案为：3．
【点评】本题考查正态曲线的性质，方程思想，属基础题．
14．（5分）若展开式的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为 40 ．（用数字作答）
【分析】根据二项式系数和为2n＝32，求出n，即可求出二项式展开式中常数项．
【解答】解：因为二项式系数和为2n＝32，解得n＝5，
又，
令k＝7，则常数项为．
故答案为：40．
【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题．
15．（5分）如图，已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形，且∠C1CD＝∠C1CB＝，DD1＝2，则||＝ ．
【分析】记，，，利用基底表示所求向量，然后将向量的模转化为数量积计算即可．
【解答】解：设 ，，，则 ，
底面ABCD是边长为1的正方形，且，DD3＝2，
则有，，，，，，
则 ，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查向量法求解两点间距离问题，向量的线性运算，向量数量积的性质，属中档题．
16．（5分）已知O为坐标原点，F为双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点，且△POF是等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为 或 ．
【分析】双曲线的右焦点为F2，由已知条件计算PF，PF2，运用双曲线的定义和离心率公式，计算即可．
【解答】解：设双曲线的右焦点为F2，
当∠PFO＝90°时，如图2，
△POF为等腰直角三角形，所以|PF|＝|OF|＝c6|＝2c，
所以，，
则双曲线的离心率为．
当∠OPF＝90°时，如图2，
又△POF为等腰直角三角形，所以5|＝2c，
在△PFF2中，，由余弦定理得，
所以，，
双曲线的离心率为 ．
故答案为：或．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个，测量其内径的数据如下（单位：mm），192，193，200，202，204，208，标准差为σ．
（1）求μ和σ；
（2）已知这批零件的内径X（单位：mm）服从正态分布N（μ，σ2），若该车间又新购一台设备，安装调试后，测量其内径（单位：mm）分别为：181，198，204，如果你是该车间的负责人，以原设备生产性能为标准
参考数据：若X～N（μ，σ2），则：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ），P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9974，0.99744≈0.99．
【分析】（1）利用公式计算出平均数和方差，进而求出标准差；
（2）计算出五个零件的内径中恰有1个不在（μ﹣3σ，μ+3σ]的概率约为0.01485，而又试产的5个零件中内径出现了1个不在（μ﹣3σ，μ+3σ]内，根据3σ原则，得到结论．
【解答】解：（1），，
故；
（2）由题意得：X～N（200，36），即P（182＜X≤218）≈0.9974，
所以五个零件的内径中恰有1个不在（μ﹣5σ，μ+3σ]的概率为，
又试产的8个零件中内径出现了1个不在（μ﹣3σ，μ+2σ]内，
所以小概率事件出现了，根据3σ原则．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
18．（12分）已知四个点：A（﹣2，0），B（6，0），C（﹣1，7），D（5，﹣1）．
（1）从A，B，C，D四点中选3个点确定一个三角形，求出该三角形的外接圆M的方程；
（2）过点E（3，1）作直线l交圆M于P，Q两点，求直线l的方程．
【分析】（1）利用圆的一般方程，待定系数法求解；
（2）根据弦长公式求出直线l的距离为1，再根据点到直线距离公式求解．
【解答】解：（1）设所求圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝2，
（i）选A（﹣2，0），3），7），
则有，解得，
所以所求圆方程为x2+y6﹣4x﹣6y﹣12＝5；
（ii）选A（﹣2，0），4），﹣1），
则有，解得，
所以所求圆方程为x2+y6﹣4x﹣6y﹣12＝4；
（iii）选A（﹣2，0），3），﹣1），
则有，解得，
所以所求圆方程为x2+y2﹣4x﹣6y﹣12＝7；
（iiii）选B（6，0），3），﹣1），
则有，解得，
所以所求圆方程为x2+y2﹣2x﹣6y﹣12＝0．
（2）由（1）可知圆心为（2，3），
设圆心（2，3）到直线l的距离为d，
因为解得d＝1，
若直线l的斜率不存在，则方程为x＝8，
此时圆心到直线x＝3的距离为3﹣6＝1满足题意；
若直线l的斜率存在，则设方程为y﹣1＝k（x﹣4），
即kx﹣y+1﹣3k＝6，
因为圆心到直线的距离解得，
所以直线l的方程为即3x+5y﹣13＝0．
综上直线l的方程为x＝3或5x+4y﹣13＝0．
【点评】本题考查圆的的方程的求解，直线与圆的位置关系，方程思想，属中档题．
19．（12分）已知点P到点F（2，0）的距离比它到直线x＝﹣1的距离大1．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）点M为轨迹C上任意一点，过点M作圆N：（x﹣6）2+y2＝4的切线，切点分别为A，B，求四边形MANB面积的最小值．
【分析】（1）设点P（x，y），由条件公式列等式化简可得轨迹方程；
（2）求|MN|的最小值，由此可求四边形MANB面积的最小值．
【解答】解：（1）设P（x，y）为曲线上任意一点，
因为点P到点F（2，0）的距离比它到直线x＝﹣6的距离大1．
所以，
当x≥﹣1时，化简可得y2＝6x，
当x＜﹣1时，化简可得y2＝7x﹣4，又4x﹣3＜0，
所以点P的轨迹C的方程为y2＝8x；
（2）由圆N：（x﹣6）2+y7＝4可得N（6，3），
设点M的坐标为，t∈R，
则，
所以当t＝±5时，|MN|取最小值，又
所以当t＝±4时，|MA|取最小值，
又四边形MANB面积，
所以，当且仅当点M的坐标为（2，﹣4）时等号成立，
所以四边形MANB面积的最小值为．
【点评】本题主要考查了动点的轨迹方程，考查了抛物线的定义和性质，属于中档题．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，PB⊥平面ABCD，BC＝2BD＝4AD＝4．
（1）证明：PD⊥CD；
（2）若PB＝2，求二面角P﹣CD﹣A的平面角的大小．
【分析】（1）B为坐标原点建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，得到相关向量，计算即可；
（2）求出平面ACD的法向量，求出平面ACD的法向量，利用空间向量夹角公式即可得到二面角大小．
【解答】解：（1）证明：∵∠ABC＝∠BAD＝90°，∴AB⊥AC，
又PB⊥平面ABCD，AB，
∴PB⊥AB，PB⊥BC，
故以B为坐标原点，BC，BP为x，y，
∵BC＝2BD＝4AD＝8，∴BC＝4，AD＝1，∴，
则，
∴，
∴，∴PD⊥CD；
（2）由（1）知，
平面ACD的法向量取，，
设平面ACD的法向量，
则，即，取，
∴，由图易得此二面角的平面角为锐角，
∴二面角P﹣CD﹣A的平面角的大小为．
【点评】本题考查向量法证明存在问题，向量法求解二面角问题，属中档题．
21．（12分）本次数学考试中共有12个选择题，每小题5分，共60分，B，C，D四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本次考试的12个选择题中，另外2个题只能随意猜；乙同学会其中的9个，另外1个题能排除1个错误选项．
（1）设甲同学在本次考试中选择题得分为X，求X的分布列及均值；
（2）设乙同学在本次考试中选择题得分为Y，求Y的分布列及均值；
（3）求甲同学和乙同学在本次考试中选择题得分相同的概率．
【分析】（1）由题意可知，X所有可能的值为50，55，60，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解；
（2）由题意可知，Y所有可能的值为45，50，55，60，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解；
（3）根据已知条件，结合（1）（2）的分布列，即可求解．
【解答】解：（1）甲有2题不会，每题猜对的概率为，
由题意可知，X所有可能的值为50，60，
P（X＝50）＝，
P（X＝55）＝，
P（X＝60）＝，
故X的分布列为：
故E（X）＝；
（2）乙同学会其中的8个，其它3个题中有2个题各能排除7个错误选项，每题猜对的概率为，
另外1个题能排除5个错误选项，不妨设为B题，猜错的概率为，
由题意可知，Y所有可能取值为45，55，
Y＝45，即乙不会的3题均猜错，
P（Y＝45）＝，
Y＝50，即乙不会的3题中1题猜对，
若猜对A题，概率为，
若猜对B题，概率为，
故P（Y＝50）＝，
Y＝55，即乙不会的3题中2题猜对，
若猜对2道A题，则概率为，
若猜对1道A题，1道B题，
故P（Y＝55）＝，
Y＝60，即乙不会的7题均猜对，
P（Y＝60）＝＝，
故Y的分布列为：
故E（Y）＝＝；
（3）甲同学和乙同学在本次考试中选择题得分相同的概率P＝P（X＝50，Y＝50）+P（X＝55，Y＝60）＝．
【点评】本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，以及期望公式的应用，属于中档题．
22．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，且短轴长为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点F为椭圆C的左焦点，斜率存在的直线l与椭圆C交于P，Q两点
①试证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标；
②求△FPQ面积的最大值．
【分析】（1）由椭圆离心率和短轴长，列方程组解出a，b，可得椭圆C的标准方程；
（2）①设直线l的方程，代入椭圆方程，利用已知条件结合韦达定理，求解直线所过定点的坐标；
②求弦长和点F到直线距离，把△FPQ的面积表示出来，通过换元和基本不等式，求解△FPQ面积的最大值．
【解答】解：（1）由题知，解得b＝1，，
故椭圆C的标准方程为：；
（2）①：证明：设直线l的方程为x＝my+n（m≠0），代入 
（m2+2）y3+2mny+（n2﹣4）＝0，设P（x1，y3），Q（x2，y2），
则，，左焦点F（﹣1，
若直线x＝﹣4上任意一点到直线FP和FQ的距离始终相等，直线FP和FQ关于直线x＝﹣1对称，
有kFP+kFQ＝0，则，
即y1（x2+3）+y2（x1+4）＝0，y1（my4+n+1）+y2（my7+n+1）＝0，
故5my1y2+（n+2）（y1+y2）＝3，
即 ，则n＝﹣2，
故直线l过定点，该定点的坐标为（﹣5．
②：由①得，Δ＝8（m2﹣6）＞0，m2＞6，
又，
F到PQ的距离，故，
设 （当且仅当t＝8，即，
所以△FPQ面积的最大值为 ．
【点评】本题考查椭圆方程的求解，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，弦长公式的应用，基本不等式的应用，属中档题．
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