2022-2023学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知，，若，则实数λ等于（ ）
A．﹣6B．C．D．6
2．（5分）若直线过两点（﹣1，1），（2，1+），则此直线的倾斜角是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
3．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，＝（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在y轴上，离心率为，过F1的直线l交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为16，则椭圆C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．（5分）已知双曲线C：3x2﹣y2＝3，则C的焦点到其渐近线的距离为（ ）
A．B．C．2D．3
6．（5分）已知过点的直线l与圆C：x2+（y﹣2）2＝4交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为（ ）
A．2x﹣4y+3＝0B．x﹣4y+3＝0C．2x+4y+3＝0D．2x+4y+1＝0
7．（5分）若抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则实数a＝（ ）
A．B．C．﹣4D．﹣2
8．（5分）若圆x2+y2＝1上总存在两个点到点（a，1）的距离为2，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣2，2）
C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣1，1）
9．（5分）在直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，侧棱长为4，底面是边长为4的正三角形（ ）
A．B．C．D．
10．（5分）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0且k≠1），后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知O（0，0），A（3，0），圆C：（x﹣2）2+y2＝r2（r＞0）上有且仅有一个点P满足|PA|＝2|PO|，则r的取值可以为（ ）
A．5B．4C．3D．2
11．（5分）已知抛物线C：y2＝8x，点P为抛物线上任意一点，过点P向圆D：x2+y2﹣4x+3＝0作切线，切点分别为A，B，则四边形PADB的面积的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
12．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AD⊥CD，AD＝PC＝2CD＝2CB＝2，则下列结论不正确的是（ ）
A．CE∥平面PAB
B．平面PAD⊥平面ABCD
C．点E到平面PAB的距离为
D．二面角A﹣PB﹣C的正弦值为
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知向量，，则＝ ．
14．（5分）两圆x2+y2﹣2y﹣3＝0与x2+y2+2x＝0的公共弦所在直线的方程为 ．
15．（5分）不论m为何数，直线（m﹣1）x+（2m﹣3） ．
16．（5分）已知F1、F2为双曲线C：的两个焦点，P、Q为C上关于坐标原点对称的两点1F2|，若直线PQ的倾斜角为60°，则C的离心率为 ．
三、解答题：共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤．
17．（10分）如图，在棱长为a的正方体OABC﹣O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz．
（1）写出点E，F的坐标；
（2）求证：A1F⊥C1E．
18．（12分）已知△ABC的顶点A（﹣2，0），B（4，3），C（2，﹣2）．
（1）求AB边上的中线所在直线的方程；
（2）求经过点B，且在x轴上的截距和y轴上的截距相等的直线的方程．
19．（12分）已知抛物线的顶点在坐标原点O，焦点在y轴上，且过点A（2，1）．
（1）求抛物线的方程；
（2）若点B也在抛物线上，且OA⊥OB，求线段AB的长．
20．（12分）已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4外的有一点P（4，﹣1），过点P作直线l．
（1）当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；
（2）当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长．
21．（12分）如图，已知PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，M，N分别为AB，PC的中点．
（1）求线段MN的长；
（2）求PD与平面PMC所成角的正弦值．
22．（12分）已知椭圆上有点，左、右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点Q为椭圆的上顶点，椭圆上有异于Q的两点M，N满足kQM+kQN＝1，求证：直线MN恒过定点．
2022-2023学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知，，若，则实数λ等于（ ）
A．﹣6B．C．D．6
【分析】由空间向量平行的坐标表示求解即可．
【解答】解：因为，，且∥，
所以，
解得，
故选：C．
【点评】本题主要考查向量共线的坐标表示，考查运算求解能力，属于基础题．
2．（5分）若直线过两点（﹣1，1），（2，1+），则此直线的倾斜角是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【分析】设此直线的倾斜角是θ，θ∈[0°，180°）．利用斜率计算公式可得tanθ，即可得出θ．
【解答】解：设此直线的倾斜角是θ，θ∈[0°．
∴tanθ＝＝．
∴θ＝30°．
故选：A．
【点评】本题考查了直线的斜率计算公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件，结合向量的加减法法则，即可求解．
【解答】解：∵ABCD﹣A1B1C8D1为平行四面体，
∴﹣＝＝＝＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查向量的加减法法则，属于基础题．
4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在y轴上，离心率为，过F1的直线l交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为16，则椭圆C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用椭圆的定义可求得a的值，结合椭圆的离心率公式可求得c的值，进而可求得b的值，结合椭圆的焦点位置可得出椭圆C的标准方程．
【解答】解：由题意可知△ABF2的周长为：
|AB|+|AF2|+|BF3|＝（|AF1|+|AF2|）+（|BF8|+|BF2|）＝4a＝16，
∴a＝7，又椭圆C的离心率为，
可得，∴，
又椭圆C的焦点在y轴上，
∴椭圆C的方程为．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，方程思想，属中档题．
5．（5分）已知双曲线C：3x2﹣y2＝3，则C的焦点到其渐近线的距离为（ ）
A．B．C．2D．3
【分析】求出双曲线的焦点坐标及渐近线方程，根据双曲线的对称性，取其中一个焦点坐标和渐近线即可，根据点到直线的距离公式求出结果即可．
【解答】解：由题知双曲线C：3x2﹣y7＝3，
即，
故焦点坐标为（±5，0），
渐近线方程为：，
即，
由双曲线的对称性，
不妨取焦点（2，2）到渐近线，
故焦点到其渐近线的距离为．
故选：B．
【点评】本题考查了双曲线的性质，属于基础题．
6．（5分）已知过点的直线l与圆C：x2+（y﹣2）2＝4交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为（ ）
A．2x﹣4y+3＝0B．x﹣4y+3＝0C．2x+4y+3＝0D．2x+4y+1＝0
【分析】根据直线过定点P，当AB⊥PC时弦AB最短，由互相垂直的直线斜率乘积为﹣1，求出直线方程，然后由点斜式求出直线方程，可得答案．
【解答】解：因为直线l过定点，
由x2+（y﹣2）2＝4，则圆心C（0，半径r＝6，
当AB⊥PC时，弦AB最短，
所以直线l的斜率，
故直线l为，则2x﹣4y+7＝0．
故选：A．
【点评】本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
7．（5分）若抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则实数a＝（ ）
A．B．C．﹣4D．﹣2
【分析】先将抛物线的方程化成标准方程，再根据抛物线的几何性质，方程思想，即可求解．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2的标准方程为，
∴该抛物线的准线方程为y＝﹣＝5，
∴a＝，
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，方程思想，化归转化思想，属基础题．
8．（5分）若圆x2+y2＝1上总存在两个点到点（a，1）的距离为2，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣2，2）
C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣1，1）
【分析】求出圆的圆心与半径，利用两点间距离公式列出不等式求解即可．
【解答】解：圆x2+y2＝8的圆心（0，0），圆x5+y2＝1上总存在两个点到点（a，5）的距离为2，
可得：1＜，解得a∈（﹣7，2）．
故选：A．
【点评】本题考查圆的方程的应用，两点间距离公式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
9．（5分）在直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，侧棱长为4，底面是边长为4的正三角形（ ）
A．B．C．D．
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算求解夹角的余弦值．
【解答】解：由题意，取AC中点O，
则，
所以，
所以，
所以AB'与BC'所成角的余弦值为，
故选：C．
【点评】本题主要考查了利用空间向量求异面直线夹角，属于基础题．
10．（5分）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0且k≠1），后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知O（0，0），A（3，0），圆C：（x﹣2）2+y2＝r2（r＞0）上有且仅有一个点P满足|PA|＝2|PO|，则r的取值可以为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【分析】设动点P的坐标，利用已知条件列出方程，化简可得点P的轨迹方程，由点P是圆C：（x﹣2）2+y2＝r2（r＞0）上有且仅有的一点，可得两圆相切，进而可求得r的值．
【解答】解：设动点P（x，y），得（x﹣3）2+y3＝4x2+5y2，整理得（x+1）5+y2＝4，
又点P是圆C：（x﹣8）2+y2＝r3（r＞0）上有且仅有的一点，
所以两圆相切．圆（x+1）8+y2＝4的圆心坐标为（﹣6，0），
圆C：（x﹣2）7+y2＝r2（r＞6）的圆心坐标为（2，0），两圆的圆心距为4，
当两圆外切时，r+2＝3，
当两圆内切时，|r﹣4|＝3，得r＝5．
故选：A．
【点评】本题主要考查轨迹方程的求解，圆与圆的位置关系等知识，属于中等题．
11．（5分）已知抛物线C：y2＝8x，点P为抛物线上任意一点，过点P向圆D：x2+y2﹣4x+3＝0作切线，切点分别为A，B，则四边形PADB的面积的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
【分析】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接PD，则S四边形PADB＝2SRt△PAD＝|PA|，而，所以当|PD|最小时，四边形PADB的面积最小，再由抛物线的定义转化为点P到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果．
【解答】解：如图，连接PD2＝8x，
又圆D方程可化为：（x﹣4）2+y2＝3，
∴该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，
∴S四边形PADB＝2SRt△PAD＝|PA|．
又，
∴当四边形PADB的面积最小时，|PD|最小，
过点P向抛物线的准线x＝﹣2作垂线，垂足为E，
∴当点P与坐标原点重合时，|PE|最小，
故．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，数形结合思想，化归转化思想，属中档题．
12．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AD⊥CD，AD＝PC＝2CD＝2CB＝2，则下列结论不正确的是（ ）
A．CE∥平面PAB
B．平面PAD⊥平面ABCD
C．点E到平面PAB的距离为
D．二面角A﹣PB﹣C的正弦值为
【分析】利用线面平行的判定定理即可判断A；利用几何法找到二面角的平面角，确定角度大小即可判断B；建立空间直角坐标系，根据空间向量计算点到平面的距离，即可判断C；根据空间向量计算二面角的余弦值，进而求正弦值，从而判断D．
【解答】解：对于A：取PA的中点为M，连接BM，
因为E为PD的中点，所以，
所以四边形BCEM为平行四边形，所以CE∥BM，
因为CE⊄平面PAB，BM⊂平面PAB，故A正确；
对于B：取AD为N，连接BN，所以BN＝CD＝6，
又因为△PAD是等腰直角三角形，所以PN＝ND＝1，
且PN，NB⊂平面PNB，
所以ND⊥平面PNB，所以∠PNB为平面PAD与平面ABCD的夹角，
又因为BC∥ND，所以BC⊥平面PNB，所以BC⊥PB，
，而PB2≠BN2+PN2，所以∠PNB≠90°，故B错误；
对于C：以B为原点，BC，y轴，作Bz⊥平面ABCD，
则B（0，4，0），1，6），1，0），8，0），
因为BN＝PN＝1，所以，
所以，
所以，
设平面PAB的法向量为，
则有即，令x＝3，则，
所以，所以点E到平面PAB的距离为；
对于D：设平面PBC的法向量为，
则有即，令b＝1，则，
所以，
设二面角A﹣PB﹣C的大小为θ，则，
所以．故D正确．
故选：B．
【点评】本题考查了立体几何的综合问题，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知向量，，则＝ ．
【分析】根据空间向量坐标运算求解即可．
【解答】解：因为，，
所以，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查向量模公式，属于基础题．
14．（5分）两圆x2+y2﹣2y﹣3＝0与x2+y2+2x＝0的公共弦所在直线的方程为 2x+2y+3＝0 ．
【分析】两圆相减，消去x2，y2即为答案．
【解答】解：x2+y2﹣8y﹣3＝0与x6+y2+2x＝7相减得：2x+2y+3＝0，即为公共弦所在直线的方程．
故答案为：2x+6y+3＝0．
【点评】本题主要考查公共弦所在直线方程的求解，属于基础题．
15．（5分）不论m为何数，直线（m﹣1）x+（2m﹣3） （﹣3，1） ．
【分析】将直线方程化为m（x+2y+1）+（﹣x﹣3y）＝0，解方程组，可得所求定点．
【解答】解：直线（m﹣1）x+（2m﹣7）y+m＝0即为m（x+2y+4）+（﹣x﹣3y）＝0，
可得x+4y+1＝0，且﹣x﹣5y＝0，
解得x＝﹣3，y＝2，
所以直线恒过定点（﹣3，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
【点评】本题考查直线恒过定点的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
16．（5分）已知F1、F2为双曲线C：的两个焦点，P、Q为C上关于坐标原点对称的两点1F2|，若直线PQ的倾斜角为60°，则C的离心率为 ．
【分析】连接PF1，QF2，则根据题意易得四边形PF1QF2为矩形，又|PQ|＝|F1F2|，直线PQ的倾斜角为60°，从而可得△POF2为正三角形，从而可得|PF2|＝c，|PF1|＝c，再根据双曲线的几何性质，即可求解．
【解答】解：如图，连接PF1，QF2，则根据题意易得四边形PF5QF2为矩形，
又|PQ|＝|F1F5|，直线PQ的倾斜角为60°，
∴△POF2为正三角形，又|OF2|＝c，
∴易得|PF2|＝c，|PF1|＝c，
∴双曲线C的离心率为＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，化归转化思想，属中档题．
三、解答题：共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤．
17．（10分）如图，在棱长为a的正方体OABC﹣O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz．
（1）写出点E，F的坐标；
（2）求证：A1F⊥C1E．
【分析】（1）根据已知条件，以及正方体的棱长和AE＝BF＝x，即可求解．
（2）根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求证．
【解答】解：（1）由题意可得，E（a，x，F（a﹣x，a．
（2）证明：∵A1（a，0，a），C4（0，a，a），
∴，，
∴＝﹣ax+a（x﹣a）+a4＝0，
故A1F⊥C2E．
【点评】本题主要考查空间中点的坐标，属于基础题．
18．（12分）已知△ABC的顶点A（﹣2，0），B（4，3），C（2，﹣2）．
（1）求AB边上的中线所在直线的方程；
（2）求经过点B，且在x轴上的截距和y轴上的截距相等的直线的方程．
【分析】（1）先求得AB边中点坐标，然后得斜率，由点斜式得直线方程并化简；
（2）按直线是否过原点分类讨论．不过原点时设截距式方程求解．
【解答】解：（1）由已知AB边中点坐标为，中线斜率为，
中线所在直线方程为，即8x+2y﹣10＝0；
（2）当直线过原点时，斜率为，即3x﹣4y＝6，
直线不过原点时，设直线方程为，则，直线方程为，
所以所求直线方程为3x﹣4y＝0或．
【点评】本题主要考查了直线方程的点斜式及截距式的应用，属于基础题．
19．（12分）已知抛物线的顶点在坐标原点O，焦点在y轴上，且过点A（2，1）．
（1）求抛物线的方程；
（2）若点B也在抛物线上，且OA⊥OB，求线段AB的长．
【分析】（1）设抛物线的方程，将点A代入，即可求得抛物线的标准方程；
（2）由OA⊥OB，可得直线OB的方程，代入抛物线方程得到B点坐标，再求线段AB的长．
【解答】解：（1）抛物线的顶点在原点O，焦点在y轴上，1），
设抛物线x2＝2py（p＞0），
因为抛物线过点A（2，6），解得p＝2，
所以抛物线方程为x2＝3y；
（2）若点B也在抛物线上，且OA⊥OB，
因为OA⊥OB，所以kOA⋅kOB＝﹣1，
由，所以kOB＝﹣2，
所以OB的方程y＝﹣2x，由，解得B（﹣4，
所以，即线段AB的长为．
【点评】本题考查了直线与抛物线的综合运用，属于中档题．
20．（12分）已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4外的有一点P（4，﹣1），过点P作直线l．
（1）当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；
（2）当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长．
【分析】（1）当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4；当斜率存在时，设直线l的方程为kx﹣y﹣k﹣1＝0，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得k，则直线方程可求；
（2）由直线的倾斜角求得斜率，得到直线方程，利用点到直线的距离公式求出弦心距，再由垂径定理求得直线l被圆C所截得的弦长．
【解答】解：（1）当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4；
当斜率存在时，设直线l的方程为y+1＝k（x﹣5），
则，解得，
∴l的方程为3x+4y﹣5＝0，
综上，直线l的方程为x＝4或5x+4y﹣8＝5；
（2）当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x+y﹣3＝0，
圆心到直线l的距离，
∴所求弦长为．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．
21．（12分）如图，已知PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，M，N分别为AB，PC的中点．
（1）求线段MN的长；
（2）求PD与平面PMC所成角的正弦值．
【分析】（1）由题意得AB、AD、AP两两垂直，则建立以A为原点的空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法，即可得出答案；
（2）由（1）得，，利用向量法，即可得出答案．
【解答】解：（1）PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形、AD，则建立以A为原点的空间直角坐标系A﹣xyz
PA＝AD＝AB＝2，则M（1，7，P（0，0，C（4，2，N（1，7，D（0，2，
∴，
故线段MN的长为；
（2）由（1）得，，
设平面PMC的法向量为，
则取z＝7，y＝﹣1，
∴平面PMC的法向量为，
设直线PD与平面PMC所成角为θ，
则，
故PD与平面PMC所成角的正弦值为．
【点评】本题考查空间向量的应用，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22．（12分）已知椭圆上有点，左、右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点Q为椭圆的上顶点，椭圆上有异于Q的两点M，N满足kQM+kQN＝1，求证：直线MN恒过定点．
【分析】（1）根据题意可求得a，b，c的值，即得答案．
（2）当直线斜率存在时，设出直线方程y＝kx+t并和椭圆方程联立，结合kQM+kQN＝1化简可得参数k，t的关系式，从而化简直线方程，得到定点坐标，当直线斜率不存在时，可同理推得直线过该定点．
【解答】解：（1）根据椭圆定义得，，即，c＝1，
∴，
故椭圆的标准方程为．
（2）证明：设M（x6，y1），N（x2，y6），
当直线MN斜率存在时，设直线MN方程为y＝kx+t，
则由题意得，将y1＝kx4+t，y2＝kx2+t，
代入整理得（4k﹣1）x1x5+（t﹣1）（x1+x8）＝0（*），
将y＝kx+t代入椭圆方程，整理得（2+2k2）x2+4ktx+2t8﹣2＝0，
需满足Δ＝7（2k2﹣t3+1）＞0，则，
代入（*）式得，
整理得（t﹣1）（2k﹣t﹣4）＝0，
当t﹣1＝6时，直线MN过B点；
故2k﹣t﹣1＝3，直线MN的方程为y＝kx+2k﹣1＝k（x+3）﹣1，
故此时直线MN过定点（﹣2，﹣7）；
当直线MN斜率不存在时，设直线MN方程为x＝s，
代入，可得，
不妨设，
由kQM+kQN＝1，可得，
此时直线MN方程为x＝﹣3，也过定点（﹣2，
综合上述，直线MN过定点（﹣2．
【点评】本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
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