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2022-2023学年辽宁省沈阳市浑南区东北育才学校高二（上）期末数学试卷
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这是一份2022-2023学年辽宁省沈阳市浑南区东北育才学校高二（上）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）抛物线y＝4x2的焦点坐标是（ ）
A．（0，1）B．（0，2）C．D．
2．（5分）“a＝﹣2”是“直线（a﹣1）x+（a2﹣1）y+1＝0与直线ax﹣2y﹣1＝0垂直”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．即不充分也不必要条件
3．（5分）（x﹣2y+2z）5展开式中，xy3z的系数为（ ）
A．﹣320B．320C．﹣240D．240
4．（5分）已知圆x2+y2+5﹣m＝0上至多有两个点到直线3x+4y﹣5＝0的距离等于1，则实数m的取值范围为（ ）
A．（5，7]B．（5，7）C．（5，9]D．（5，9）
5．（5分）如图，ABCD﹣EFGH是棱长为1的正方体，若P∈平面BDE，且满足，则P到AB的距离为（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过左焦点的直线与两条渐近线分别交于点A，B（其中点A在第一象限），满足∠F1AF2＝90°，且，则C的离心率为（ ）
A．2B．6C．D．6
7．（5分）定义：“各位数字之和为7的四位数叫幸运数”，比如“1006，2023”，则所有“幸运数”的个数为（ ）
A．20B．56C．84D．120
8．（5分）空间四边形ABCD边长为，对角线AC、BD的长为，E、F为AB、CD的中点，则异面直线BF与CE所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）在二项式展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．第三项的二项式系数为20
B．所有项的二项式系数之和为64
C．有理项共有4项
D．常数项为第五项
（多选）10．（5分）一个平面α斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为椭圆E．若圆柱底面圆半径为r，平面α与圆柱的轴所成角大小为，则下列对椭圆E的描述中，正确的是（ ）
A．短轴长为2rB．长轴长为
C．焦距为2rtanθD．离心率为csθ
（多选）11．（5分）已知动圆C：，P为直线l：x+y＝5上一个动点，过点P作圆C的两条切线，切点为A、B，则（ ）
A．圆C恒过定点（﹣1，0）
B．圆C在运动过程中所经过的区域的面积为8π
C．四边形PACB的面积的取值范围为
D．当CP⊥l时，∠APB的正弦值的取值范围为
（多选）12．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，其中点A在x轴上方，O为坐标原点，则（ ）
A．∠AOB一定为钝角
B．若|AF|＝4|BF|，则直线AB的斜率为
C．若点M在x轴上点F右侧，A（4，4），∠AOB+∠AMB＝180°，则
D．|AF|+2|BF|的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知，则n＝ ．
14．（5分）已知圆与圆，则圆C1与圆C2的公切线方程是 ．
15．（5分）将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少一本的不同分法共有 种．（用数字作答）
16．（5分）设点P（x1，y1），Q（x2，y2）．定义P，Q两点的“直角距离”为d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，已知点A和点B分别为直线l：y＝2x+8与椭圆上两个动点，则d（A，B）的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知△ABC中，点A（﹣1，5），AC边上中线所在直线l1的方程为8x+y﹣12＝0，AB边上的高线所在直线l2的方程为x﹣3y+6＝0．
（1）求点B和点C的坐标；
（2）以M（1，0）为圆心作一个圆，使得A、B、C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，求这个圆的方程．
18．（12分）如图，正方形ABCD与梯形ABEF所在平面互相垂直，已知．
（1）求证：CE∥平面ADF；
（2）求平面ACE与平面ADF所成的锐二面角的余弦值．
19．（12分）设直线，点A和点B分别在直线l1和l2上运动，且（其中O为坐标原点）．
（1）求AB的中点T的轨迹方程C；
（2）是否存在直线l：y＝kx+1满足直线l与（1）中的曲线C交于M，N两点，且以MN为直径的圆经过曲线C的右焦点？若存在，求出k，若不存在，说明理由．
20．（12分）如图，在平面ABCD中，△ABD为正三角形，△BCD为直角三角形，且，以BD为折痕把△ABD和△CBD向上折起，使点A到达点E的位置，点C到达点F的位置，且满足平面EBD⊥平面FBD．
（1）求证：EF⊥BD；
（2）若，求直线DF与平面ABE所成角的正弦值．
21．（12分）已知椭圆的短轴顶点为A（0，b），B（0，﹣b），短轴长是4，离心率是，直线l：y＝kx﹣6与椭圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，其中y1＜y2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若BP∥OQ（其中O为坐标原点），求k；
（3）证明：是定值．
22．（12分）已知抛物线C：y2＝6x，点在抛物线C上，直线l：y＝﹣x+m在点下方，直线l与抛物线C交于B，C两点．
（1）证明：△ABC内切圆的圆心在定直线上；
（2）求△ABC面积的最大值．
2022-2023学年辽宁省沈阳市浑南区东北育才学校高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）抛物线y＝4x2的焦点坐标是（ ）
A．（0，1）B．（0，2）C．D．
【分析】将原方程化为抛物线的标准方程，即可求解．
【解答】解：∵抛物线的标准方程为，
∴，，
∴抛物线的焦点坐标为．
故选：D．
【点评】本题主要考查了抛物线焦点的求解，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
2．（5分）“a＝﹣2”是“直线（a﹣1）x+（a2﹣1）y+1＝0与直线ax﹣2y﹣1＝0垂直”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．即不充分也不必要条件
【分析】利用直线一般式的垂直公式列方程求出a，再根据充分性和必要性的概念得答案．
【解答】解：若直线（a﹣1）x+（a2﹣1）y+1＝0与直线ax﹣2y﹣1＝0垂直，
则（a﹣1）a﹣2（a2﹣1）＝0，解得a＝1或a＝﹣2，
又a＝1时，直线（a﹣1）x+（a2﹣1）y+1＝0不存在，
所以a＝﹣2，
故“a＝﹣2”是“直线（a﹣1）x+（a2﹣1）y+1＝0与直线ax﹣2y﹣1＝0垂直”的充要条件．
故选：C．
【点评】本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．
3．（5分）（x﹣2y+2z）5展开式中，xy3z的系数为（ ）
A．﹣320B．320C．﹣240D．240
【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可．
【解答】解：因为（x﹣2y+2z）5＝[（x﹣2y）+2z]5，
所以通项公式为，
令r＝1，则，
设二项式（x﹣2y）4的通项公式为，
令n＝3，则，
因此xy3z项的系数为10×（﹣32）＝﹣320．
故选：A．
【点评】本题主要考查二项式定理，考查转化思想，属于基础题．
4．（5分）已知圆x2+y2+5﹣m＝0上至多有两个点到直线3x+4y﹣5＝0的距离等于1，则实数m的取值范围为（ ）
A．（5，7]B．（5，7）C．（5，9]D．（5，9）
【分析】由圆的方程求出圆心（0，0）和半径（m＞5），求出圆心到直线的距离d，由题意可得|r﹣d|＜1，解不等式即可得实数m的取值范围．
【解答】解：由x2+y2+5﹣m＝0可得x2+y2＝m﹣5，
则m﹣5＞0即m＞5，
所以圆心为（0，0），半径，
圆心（0，0）到直线3x+4y﹣5＝0的距离，
因为圆上至多有两个点到直线3x+4y﹣5＝0的距离等于1，
所以，即，解得：5＜m＜9，
所以实数m的取值范围是（5，9）．
故选：D．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线距离公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
5．（5分）如图，ABCD﹣EFGH是棱长为1的正方体，若P∈平面BDE，且满足，则P到AB的距离为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先利用平面EBD的法向量求出点，再计算点到直线的距离．
【解答】解：根据题意以AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴，建系如图，
则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），E（0，0，1），
∴，
∴，，，，
设平面EBD的一个法向量，
则，取，又EP⊂面EBD，
∴，∴，得，∴，
∴，，
∴，
∴，
∴P到AB的距离为．
故选：C．
【点评】本题考查利用向量法求解点线距，向量夹角公式的应用，方程思想，化归转化思想，属中档题．
6．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过左焦点的直线与两条渐近线分别交于点A，B（其中点A在第一象限），满足∠F1AF2＝90°，且，则C的离心率为（ ）
A．2B．6C．D．6
【分析】根据已知条件分别求出A，B两点坐标，再应用B在渐近线上，计算即可．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为，a2+b2＝c2，
因为∠F1AF2＝90°，所以A在以F1F2为直径的圆上，且A（点A在第一象限）在渐近线上，
联立，解得，可得A（a，b），F1（﹣c，0），设B（xB，yB），
又因为，，，
所以，解得，又因为B（xB，yB）在渐近线上，
所以，即得3a＝﹣3a+c，所以．
故选：B．
【点评】本题主要考查双曲线性质，考查运算求解能力，属于中档题．
7．（5分）定义：“各位数字之和为7的四位数叫幸运数”，比如“1006，2023”，则所有“幸运数”的个数为（ ）
A．20B．56C．84D．120
【分析】根据定义分类讨论首位数字，再应用计数原理计算即可．
【解答】解：因为各位数字之和为7的四位数叫幸运数，所以按首位数字分别计算，
当首位数字为1，则剩余三位数分别是5，1，0；6，0，0；1，1，4；4，2，0；3，2，1；3，3，0；2，2，2，共有个幸运数；
当首位数字为2，则剩余三位数分别是4，1，0；5，0，0；1，1，3；3，2，0；2，2，1，共有个幸运数；
当首位数字为3，则剩余三位数分别是3，1，0；4，0，0；1，1，2；2，2，0，共有个幸运数；
当首位数字为4，则剩余三位数分别是2，1，0；3，0，0；1，1，1，共有个幸运数；
当首位数字为5，则剩余三位数分别是1，1，0；2，0，0，共有3+3＝6个幸运数；
当首位数字为6，则剩余三位数分别是1，0，0，共有3个幸运数；
当首位数字为7，则剩余三位数分别是0，0，0，共有1个幸运数；
则共有1+3+6+10+15+21+28＝84个幸运数；
故选：C．
【点评】本题主要考查分类计数原理的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
8．（5分）空间四边形ABCD边长为，对角线AC、BD的长为，E、F为AB、CD的中点，则异面直线BF与CE所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由题知，，进而根据向量夹角求解即可．
【解答】解：因为空间四边形ABCD边长为，对角线AC、BD的长为，
所以，，
所以，
，
，
因为E、F为AB、CD的中点，
所以，
则
＝5+2+20+2﹣16﹣4＝9，即，
，
则，即，
且
＝4﹣2+1﹣4﹣10+4＝﹣7，
所以，
所以异面直线BF与CE所成角的余弦值为，
故选：C．
【点评】本题考查空间向量在立体几何中的运用，考查异面直线所成角，考查运算求解能力，属于中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）在二项式展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．第三项的二项式系数为20
B．所有项的二项式系数之和为64
C．有理项共有4项
D．常数项为第五项
【分析】先写出二项式展开式的通项公式，再逐个判断选项即可．
【解答】解：二项式展开式通项公式为，
对于A，第三项的二项式系数为，故A错误；
对于B，所有项的二项式系数之和为26＝64，故B正确；
对于C，展开式中当r＝0，2，4，6时，共有4项有理项，故C正确；
对于D，当展开式通项为常数项时，，令，
则r＝4，则常数项为第五项，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查二项式展开式的通项公式，属于基础题．
（多选）10．（5分）一个平面α斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为椭圆E．若圆柱底面圆半径为r，平面α与圆柱的轴所成角大小为，则下列对椭圆E的描述中，正确的是（ ）
A．短轴长为2rB．长轴长为
C．焦距为2rtanθD．离心率为csθ
【分析】由题设可得短轴长2b＝2r，平面α与圆柱的轴所成角大小为长轴长，进而求出焦距、离心率即可．
【解答】解：由题意，椭圆短轴长2b＝2r，平面α与圆柱的轴所成角大小为，而长轴长随θ变大而变短且，
所以，焦距为，故，
综上，A、D正确，B、C错误．
故选：AD．
【点评】本题主要考查椭圆的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
（多选）11．（5分）已知动圆C：，P为直线l：x+y＝5上一个动点，过点P作圆C的两条切线，切点为A、B，则（ ）
A．圆C恒过定点（﹣1，0）
B．圆C在运动过程中所经过的区域的面积为8π
C．四边形PACB的面积的取值范围为
D．当CP⊥l时，∠APB的正弦值的取值范围为
【分析】分析可得动圆的圆心，半径，C在以圆心C1（﹣1，0），半径的圆上．
对A，由CC1＝r可判断；
对B，圆C在运动过程中所经过的区域的面积相当于以圆心C1（﹣1，0），半径为r+r1的圆的面积；
对C，四边形PACB的面积，分析|PC|的范围即可求；
对D，由倍角公式及几何关系可得，分析|PC|的范围结合换元法即可求．
【解答】解：动圆的圆心，半径，
令，则由（x+1）2+y2＝2得C在以圆心C1（﹣1，0），半径的圆上．
对A，由CC1＝r得圆C恒过定点（﹣1，0），A对；
对B，圆C在运动过程中所经过的区域的面积相当于以圆心C1（﹣1，0），半径为r+r1的圆的面积，即，B对；
对C，过点P做圆C的两条切线，切点为A、B，则|PA|＝|PB|，则四边形PACB的面积，
当PC1⊥l时，最短，故，故，C错；
对D，，
∵CP⊥l，由C得，，
令，则|PC|2＝t2+r2＝t2+2，则，
∵在上单调递增，故，D对．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
（多选）12．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，其中点A在x轴上方，O为坐标原点，则（ ）
A．∠AOB一定为钝角
B．若|AF|＝4|BF|，则直线AB的斜率为
C．若点M在x轴上点F右侧，A（4，4），∠AOB+∠AMB＝180°，则
D．|AF|+2|BF|的最小值为
【分析】设直线AB的方程为x＝my+1，利用设而不求法确定点A，B的坐标关系，计算的夹角，判断A；结合抛物线的定义求直线AB的斜率判断B；结合设而不求法证明∠AOB为直角，由此列方程求点M的坐标；结合抛物线定义表示|AF|+2|BF|，利用基本不等式求其最小值．
【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点F的坐标为（1，0），准线方程为x＝﹣1，
当直线AB的斜率为0时，直线AB与抛物线有且只有一个交点，与已知矛盾，
故可设直线AB的方程为x＝my+1，
对于A，联立，消x，得y2﹣4my﹣4＝0，
方程y2﹣4my﹣4＝0的判别式Δ＝16m2+16＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），y1＞0，y2＜0，则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，，
所以，所以，
即∠AOB一定为钝角，故A正确；
对于B，因为|AF|＝4|BF|，所以y1＝﹣4y2，又y1y2＝﹣4，y1＞0，y2＜0，
则y2＝﹣1，y1＝4，又，
故，所以，所以直线直线AB的斜率为，故B错误；
对于C，因为A（4，4），所以，所以，
因为∠AOB+∠AMB＝180°，所以O，B，M，A四点共圆，
故∠BMF＝∠OAF，∠AOF＝MBF，所以△BMF∽△OAF，所以|BF|⋅|AF|＝|OF|⋅|MF|，故，所以点M的坐标为，故C错误；
对于D，因为，
所以|AF|+2|BF|＝x1+2x2+3，x1x2＝1，故，当且仅当x1＝2x2时等号成立，
由x1＝2x2，x1x2＝1可得，，
所以当，时，|AF|+2|BF|取最小值，最小值为，故D正确；
故选：AD．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知，则n＝ 4或7 ．
【分析】由组合数的性质可求得n的值．
【解答】解：由组合数的性质可得，
故n＝4或7．
故答案为：4或7．
【点评】本题主要考查组合数的性质，属于基础题．
14．（5分）已知圆与圆，则圆C1与圆C2的公切线方程是 x+y﹣1＝0 ．
【分析】先判断两个圆的位置关系，然后根据切点和斜率求得公切线方程．
【解答】解：圆，即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2，圆心为C1（2，1），半径，
圆，即（x﹣4）2+（y﹣3）2＝16，圆心为C2（4，3），半径，
圆心角，
所以两圆内切，
由，解得，
所以两圆切点的坐标为（1，0），，
所以公切线的斜率为﹣1，
所以公切线的方程为y＝﹣1（x﹣1），即x+y﹣1＝0．
故答案为：x+y﹣1＝0．
【点评】本题主要考查两圆的位置关系，属于基础题．
15．（5分）将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少一本的不同分法共有 1560 种．（用数字作答）
【分析】先把6本不同的书分成4组，每组至少一本，分类求得共有65种方法；再把这4组书分给4个人，不同的方法有65 种，运算求得结果．
【解答】解：先把6本不同的书分成4组，每组至少一本．
若4个组的书的数量按3、1、1、1分配，则不同的分配方案有20种不同的方法．
若4个组的书的数量分别为2、2、1、1，则不同的分配方案有 •45种不同的方法．
故所有的分组方法共有20+45＝65种．
再把这4组书分给4个人，不同的方法有651560种，
故答案为：1560．
【点评】本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
16．（5分）设点P（x1，y1），Q（x2，y2）．定义P，Q两点的“直角距离”为d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，已知点A和点B分别为直线l：y＝2x+8与椭圆上两个动点，则d（A，B）的最小值为 ．
【分析】根据新定义，利用参数法，表示出椭圆上一点B与直线l：y＝2x+8上一点A的“直角距离”，然后分类讨论求出最小值．
【解答】解：设直线l：y＝2x+8上的任意一点坐标（x，2x+8），
椭圆上任意一点的坐标为（2csθ，sinθ），
由题意可知d＝|x﹣2csθ|+|2x+8﹣sinθ|，∵，∴，
分类讨论：
①x≥2csθ，d＝x﹣2csθ+2x+8﹣sinθ＝3x+8﹣2csθ﹣sinθ≥8+4csθ﹣4sinθ，
②，
∴，
③，，
∴椭圆上一点B与直线l：y＝2x+8上一点A的“直角距离”的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查椭圆的性质以及标准方程，考查转化思想、分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知△ABC中，点A（﹣1，5），AC边上中线所在直线l1的方程为8x+y﹣12＝0，AB边上的高线所在直线l2的方程为x﹣3y+6＝0．
（1）求点B和点C的坐标；
（2）以M（1，0）为圆心作一个圆，使得A、B、C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，求这个圆的方程．
【分析】（1）求出直线AB的方程，联立直线AB和直线l1的方程可求得点B的坐标，设点C（m，n），根据点C在直线l2上以及线段AC的中点在l1上可得出关于m、n的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点C的坐标；
（2）计算出|AM|、|BM|、|CM|，比较大小后可得出圆M的半径，即可得出圆M的方程．
【解答】解：（1）因为AB边上的高线所在直线l2的方程为x﹣3y+6＝0，且直线l2的斜率为，则kAB＝﹣3，
故直线AB的方程为y﹣5＝﹣3（x+1），即3x+y﹣2＝0，
联立直线AB和直线l1的方程可得，解得，即点B（2，﹣4），
设点C（m，n），则线段AC的中点为，
由题意可得，解得m＝n＝3，
故点C（3，3）；
（2）因为，，，
则|CM|＜|BM|＜|AM|，
故圆M的半径为，
所以圆M的方程为（x﹣1）2+y2＝17．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
18．（12分）如图，正方形ABCD与梯形ABEF所在平面互相垂直，已知．
（1）求证：CE∥平面ADF；
（2）求平面ACE与平面ADF所成的锐二面角的余弦值．
【分析】（1）应用线面平行判定定理证明即可．
（2）空间向量法求面面角余弦值．
【解答】解：（1）取AF中点O，连接OE，OD，因为，
所以四边形ABEO是平行四边形，
又因为四边形ABCD是正方形，
所以CD∥AB∥EO，CD＝EO，
所以四边形CDEO是平行四边形，可得CE∥DO，DO⊂平面ADF，CE⊄平面ADF，
所以CE∥平面ADF；
（2）因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AD⊥AB，AD⊂平面ABCD，
所以AD⊥平面ABEF，
又AB⊥AF，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
设AB＝3，则A（0，0，0），E（3，2，0），C（3，0，3），
取平面ADF的一个法向量，
设平面ACE的一个法向量，则，则可取，
则，
所以平面ACE与平面ADF所成的锐二面角的余弦值．
【点评】本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解二面角的余弦值，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
19．（12分）设直线，点A和点B分别在直线l1和l2上运动，且（其中O为坐标原点）．
（1）求AB的中点T的轨迹方程C；
（2）是否存在直线l：y＝kx+1满足直线l与（1）中的曲线C交于M，N两点，且以MN为直径的圆经过曲线C的右焦点？若存在，求出k，若不存在，说明理由．
【分析】（1）相关点法求轨迹方程即可；
（2）联立方程后用向量法转化直径问题，代入根与系数关系式求解即可．
【解答】解：（1）设A（x1，），B（x2，），T（x，y），
由得﹣2＝x1x2﹣3x1x2＝﹣2x1x2，得x1x2＝1，
因为，得，
所以，
化简得．
（2）联立直线方程与曲线方程，
化简得（3﹣k2）x2﹣2kx﹣4＝0，
由3﹣k2≠0且Δ＞0得﹣2＜k＜2且，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，
曲线C的右焦点F（2，0），
由已知以MN为直径的圆过右焦点可得
＝（x1﹣2）（x2﹣2）+（kx1+1）（kx2+1）＝（k2+1）x1x2+（k﹣2）（x1+x2）+5
0，
化简得7k2+4k﹣11＝0，解得或k＝1，均符合﹣2＜k＜2且，
所以存在，k＝1或．
【点评】本题主要考查轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
20．（12分）如图，在平面ABCD中，△ABD为正三角形，△BCD为直角三角形，且，以BD为折痕把△ABD和△CBD向上折起，使点A到达点E的位置，点C到达点F的位置，且满足平面EBD⊥平面FBD．
（1）求证：EF⊥BD；
（2）若，求直线DF与平面ABE所成角的正弦值．
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及性质定理即得；
（2）建系，利用空间向量求线面夹角．
【解答】解：（1）证明：取BD中点H，连接EH，FH，
因为AB＝AD，BC＝DC，则EB＝ED，FB＝FD，
故EH⊥BD，FH⊥BD，
因为EH∩FH＝H，EH，FH⊂平面EFH，
所以BD⊥平面EFH，
因为EF⊂平面EFH，
所以BD⊥EF；
（2）因为△BCD为直角三角形，且，
所以BD＝4，又因为△EBD为等边三角形，
所以，△AEH为等边三角形，
取点O为AH中点，则AH⊥EO，
∵EB＝ED，AB＝AD，
则EH⊥BD，AH⊥BD，又EH∩AH＝H，EH，AH⊂平面AEH，
∴BD⊥平面AEH，即A，E，F，H四点共面，
又∵EO⊂平面AEH，
∴BD⊥EO，
又BD∩AH＝H，BD，AH⊂平面ABD，
所以EO⊥平面ABD，
过点O作OM∥BD交AD于点M，则AH⊥OM，
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
可得，
设平面ABE的法向量为，则，即，
则可取，
∵，
∴直线DF与平面ABE所成角的正弦值为．
【点评】本题考查线面垂直的判定及其性质，考查利用空间向量求解线面角的正弦值，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
21．（12分）已知椭圆的短轴顶点为A（0，b），B（0，﹣b），短轴长是4，离心率是，直线l：y＝kx﹣6与椭圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，其中y1＜y2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若BP∥OQ（其中O为坐标原点），求k；
（3）证明：是定值．
【分析】（1）由短轴长及离心率求得参数a、b即可；
（2）由BP∥OQ分析得，即，联立直线方程与椭圆方程结合韦达定理可解得k；
（3）直接由斜率公式化简求值即可．
【解答】解：（1）短轴长2b＝4⇒b＝2，离心率是，
∴椭圆C的方程为．
（2）直线l交y轴于E（0，﹣6），因为BP∥OQ，则，所以，
联立直线方程与椭圆方程得（2k2+1）x2﹣24kx+64＝0，由Δ＞0得k＞2或k＜﹣2，
由韦达定理得，
把代入上式得①，②，得4k2＝25，解得，符合k＞2或k＜﹣2，所以．
（3）证明：由韦达定理得，
．
【点评】本题主要考查椭圆的性质及椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
22．（12分）已知抛物线C：y2＝6x，点在抛物线C上，直线l：y＝﹣x+m在点下方，直线l与抛物线C交于B，C两点．
（1）证明：△ABC内切圆的圆心在定直线上；
（2）求△ABC面积的最大值．
【分析】（1）由AC，AB的对称性，内切圆圆心在定直线上可证；
（2）先写出三角形面积再应用基本不等式求最值即可．
【解答】（1）证明：联立，消去y整理得x2﹣（2m+6）x+m2＝0
由题意可得Δ＝（2m+6）2﹣4m2＝24m+36＞0，解得．
设B（x1，y1），C（x2，y2），则由韦达定理得，
则，
则∠BAC的角平分线为，则△ABC内切圆的圆心在定直线上．
（2）解：，
点A到直线BC的距离为，
则，
当且仅当，即时等号成立，△ABC面积的最大值为．
【点评】本题主要考查直线与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
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1．（5分）抛物线y＝4x2的焦点坐标是（ ）
A．（0，1）B．（0，2）C．D．
2．（5分）“a＝﹣2”是“直线（a﹣1）x+（a2﹣1）y+1＝0与直线ax﹣2y﹣1＝0垂直”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．即不充分也不必要条件
3．（5分）（x﹣2y+2z）5展开式中，xy3z的系数为（ ）
A．﹣320B．320C．﹣240D．240
4．（5分）已知圆x2+y2+5﹣m＝0上至多有两个点到直线3x+4y﹣5＝0的距离等于1，则实数m的取值范围为（ ）
A．（5，7]B．（5，7）C．（5，9]D．（5，9）
5．（5分）如图，ABCD﹣EFGH是棱长为1的正方体，若P∈平面BDE，且满足，则P到AB的距离为（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过左焦点的直线与两条渐近线分别交于点A，B（其中点A在第一象限），满足∠F1AF2＝90°，且，则C的离心率为（ ）
A．2B．6C．D．6
7．（5分）定义：“各位数字之和为7的四位数叫幸运数”，比如“1006，2023”，则所有“幸运数”的个数为（ ）
A．20B．56C．84D．120
8．（5分）空间四边形ABCD边长为，对角线AC、BD的长为，E、F为AB、CD的中点，则异面直线BF与CE所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）在二项式展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．第三项的二项式系数为20
B．所有项的二项式系数之和为64
C．有理项共有4项
D．常数项为第五项
（多选）10．（5分）一个平面α斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为椭圆E．若圆柱底面圆半径为r，平面α与圆柱的轴所成角大小为，则下列对椭圆E的描述中，正确的是（ ）
A．短轴长为2rB．长轴长为
C．焦距为2rtanθD．离心率为csθ
（多选）11．（5分）已知动圆C：，P为直线l：x+y＝5上一个动点，过点P作圆C的两条切线，切点为A、B，则（ ）
A．圆C恒过定点（﹣1，0）
B．圆C在运动过程中所经过的区域的面积为8π
C．四边形PACB的面积的取值范围为
D．当CP⊥l时，∠APB的正弦值的取值范围为
（多选）12．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，其中点A在x轴上方，O为坐标原点，则（ ）
A．∠AOB一定为钝角
B．若|AF|＝4|BF|，则直线AB的斜率为
C．若点M在x轴上点F右侧，A（4，4），∠AOB+∠AMB＝180°，则
D．|AF|+2|BF|的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知，则n＝ ．
14．（5分）已知圆与圆，则圆C1与圆C2的公切线方程是 ．
15．（5分）将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少一本的不同分法共有 种．（用数字作答）
16．（5分）设点P（x1，y1），Q（x2，y2）．定义P，Q两点的“直角距离”为d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，已知点A和点B分别为直线l：y＝2x+8与椭圆上两个动点，则d（A，B）的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知△ABC中，点A（﹣1，5），AC边上中线所在直线l1的方程为8x+y﹣12＝0，AB边上的高线所在直线l2的方程为x﹣3y+6＝0．
（1）求点B和点C的坐标；
（2）以M（1，0）为圆心作一个圆，使得A、B、C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，求这个圆的方程．
18．（12分）如图，正方形ABCD与梯形ABEF所在平面互相垂直，已知．
（1）求证：CE∥平面ADF；
（2）求平面ACE与平面ADF所成的锐二面角的余弦值．
19．（12分）设直线，点A和点B分别在直线l1和l2上运动，且（其中O为坐标原点）．
（1）求AB的中点T的轨迹方程C；
（2）是否存在直线l：y＝kx+1满足直线l与（1）中的曲线C交于M，N两点，且以MN为直径的圆经过曲线C的右焦点？若存在，求出k，若不存在，说明理由．
20．（12分）如图，在平面ABCD中，△ABD为正三角形，△BCD为直角三角形，且，以BD为折痕把△ABD和△CBD向上折起，使点A到达点E的位置，点C到达点F的位置，且满足平面EBD⊥平面FBD．
（1）求证：EF⊥BD；
（2）若，求直线DF与平面ABE所成角的正弦值．
21．（12分）已知椭圆的短轴顶点为A（0，b），B（0，﹣b），短轴长是4，离心率是，直线l：y＝kx﹣6与椭圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，其中y1＜y2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若BP∥OQ（其中O为坐标原点），求k；
（3）证明：是定值．
22．（12分）已知抛物线C：y2＝6x，点在抛物线C上，直线l：y＝﹣x+m在点下方，直线l与抛物线C交于B，C两点．
（1）证明：△ABC内切圆的圆心在定直线上；
（2）求△ABC面积的最大值．
2022-2023学年辽宁省沈阳市浑南区东北育才学校高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）抛物线y＝4x2的焦点坐标是（ ）
A．（0，1）B．（0，2）C．D．
【分析】将原方程化为抛物线的标准方程，即可求解．
【解答】解：∵抛物线的标准方程为，
∴，，
∴抛物线的焦点坐标为．
故选：D．
【点评】本题主要考查了抛物线焦点的求解，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
2．（5分）“a＝﹣2”是“直线（a﹣1）x+（a2﹣1）y+1＝0与直线ax﹣2y﹣1＝0垂直”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．即不充分也不必要条件
【分析】利用直线一般式的垂直公式列方程求出a，再根据充分性和必要性的概念得答案．
【解答】解：若直线（a﹣1）x+（a2﹣1）y+1＝0与直线ax﹣2y﹣1＝0垂直，
则（a﹣1）a﹣2（a2﹣1）＝0，解得a＝1或a＝﹣2，
又a＝1时，直线（a﹣1）x+（a2﹣1）y+1＝0不存在，
所以a＝﹣2，
故“a＝﹣2”是“直线（a﹣1）x+（a2﹣1）y+1＝0与直线ax﹣2y﹣1＝0垂直”的充要条件．
故选：C．
【点评】本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．
3．（5分）（x﹣2y+2z）5展开式中，xy3z的系数为（ ）
A．﹣320B．320C．﹣240D．240
【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可．
【解答】解：因为（x﹣2y+2z）5＝[（x﹣2y）+2z]5，
所以通项公式为，
令r＝1，则，
设二项式（x﹣2y）4的通项公式为，
令n＝3，则，
因此xy3z项的系数为10×（﹣32）＝﹣320．
故选：A．
【点评】本题主要考查二项式定理，考查转化思想，属于基础题．
4．（5分）已知圆x2+y2+5﹣m＝0上至多有两个点到直线3x+4y﹣5＝0的距离等于1，则实数m的取值范围为（ ）
A．（5，7]B．（5，7）C．（5，9]D．（5，9）
【分析】由圆的方程求出圆心（0，0）和半径（m＞5），求出圆心到直线的距离d，由题意可得|r﹣d|＜1，解不等式即可得实数m的取值范围．
【解答】解：由x2+y2+5﹣m＝0可得x2+y2＝m﹣5，
则m﹣5＞0即m＞5，
所以圆心为（0，0），半径，
圆心（0，0）到直线3x+4y﹣5＝0的距离，
因为圆上至多有两个点到直线3x+4y﹣5＝0的距离等于1，
所以，即，解得：5＜m＜9，
所以实数m的取值范围是（5，9）．
故选：D．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线距离公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
5．（5分）如图，ABCD﹣EFGH是棱长为1的正方体，若P∈平面BDE，且满足，则P到AB的距离为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先利用平面EBD的法向量求出点，再计算点到直线的距离．
【解答】解：根据题意以AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴，建系如图，
则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），E（0，0，1），
∴，
∴，，，，
设平面EBD的一个法向量，
则，取，又EP⊂面EBD，
∴，∴，得，∴，
∴，，
∴，
∴，
∴P到AB的距离为．
故选：C．
【点评】本题考查利用向量法求解点线距，向量夹角公式的应用，方程思想，化归转化思想，属中档题．
6．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过左焦点的直线与两条渐近线分别交于点A，B（其中点A在第一象限），满足∠F1AF2＝90°，且，则C的离心率为（ ）
A．2B．6C．D．6
【分析】根据已知条件分别求出A，B两点坐标，再应用B在渐近线上，计算即可．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为，a2+b2＝c2，
因为∠F1AF2＝90°，所以A在以F1F2为直径的圆上，且A（点A在第一象限）在渐近线上，
联立，解得，可得A（a，b），F1（﹣c，0），设B（xB，yB），
又因为，，，
所以，解得，又因为B（xB，yB）在渐近线上，
所以，即得3a＝﹣3a+c，所以．
故选：B．
【点评】本题主要考查双曲线性质，考查运算求解能力，属于中档题．
7．（5分）定义：“各位数字之和为7的四位数叫幸运数”，比如“1006，2023”，则所有“幸运数”的个数为（ ）
A．20B．56C．84D．120
【分析】根据定义分类讨论首位数字，再应用计数原理计算即可．
【解答】解：因为各位数字之和为7的四位数叫幸运数，所以按首位数字分别计算，
当首位数字为1，则剩余三位数分别是5，1，0；6，0，0；1，1，4；4，2，0；3，2，1；3，3，0；2，2，2，共有个幸运数；
当首位数字为2，则剩余三位数分别是4，1，0；5，0，0；1，1，3；3，2，0；2，2，1，共有个幸运数；
当首位数字为3，则剩余三位数分别是3，1，0；4，0，0；1，1，2；2，2，0，共有个幸运数；
当首位数字为4，则剩余三位数分别是2，1，0；3，0，0；1，1，1，共有个幸运数；
当首位数字为5，则剩余三位数分别是1，1，0；2，0，0，共有3+3＝6个幸运数；
当首位数字为6，则剩余三位数分别是1，0，0，共有3个幸运数；
当首位数字为7，则剩余三位数分别是0，0，0，共有1个幸运数；
则共有1+3+6+10+15+21+28＝84个幸运数；
故选：C．
【点评】本题主要考查分类计数原理的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
8．（5分）空间四边形ABCD边长为，对角线AC、BD的长为，E、F为AB、CD的中点，则异面直线BF与CE所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由题知，，进而根据向量夹角求解即可．
【解答】解：因为空间四边形ABCD边长为，对角线AC、BD的长为，
所以，，
所以，
，
，
因为E、F为AB、CD的中点，
所以，
则
＝5+2+20+2﹣16﹣4＝9，即，
，
则，即，
且
＝4﹣2+1﹣4﹣10+4＝﹣7，
所以，
所以异面直线BF与CE所成角的余弦值为，
故选：C．
【点评】本题考查空间向量在立体几何中的运用，考查异面直线所成角，考查运算求解能力，属于中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）在二项式展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．第三项的二项式系数为20
B．所有项的二项式系数之和为64
C．有理项共有4项
D．常数项为第五项
【分析】先写出二项式展开式的通项公式，再逐个判断选项即可．
【解答】解：二项式展开式通项公式为，
对于A，第三项的二项式系数为，故A错误；
对于B，所有项的二项式系数之和为26＝64，故B正确；
对于C，展开式中当r＝0，2，4，6时，共有4项有理项，故C正确；
对于D，当展开式通项为常数项时，，令，
则r＝4，则常数项为第五项，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查二项式展开式的通项公式，属于基础题．
（多选）10．（5分）一个平面α斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为椭圆E．若圆柱底面圆半径为r，平面α与圆柱的轴所成角大小为，则下列对椭圆E的描述中，正确的是（ ）
A．短轴长为2rB．长轴长为
C．焦距为2rtanθD．离心率为csθ
【分析】由题设可得短轴长2b＝2r，平面α与圆柱的轴所成角大小为长轴长，进而求出焦距、离心率即可．
【解答】解：由题意，椭圆短轴长2b＝2r，平面α与圆柱的轴所成角大小为，而长轴长随θ变大而变短且，
所以，焦距为，故，
综上，A、D正确，B、C错误．
故选：AD．
【点评】本题主要考查椭圆的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
（多选）11．（5分）已知动圆C：，P为直线l：x+y＝5上一个动点，过点P作圆C的两条切线，切点为A、B，则（ ）
A．圆C恒过定点（﹣1，0）
B．圆C在运动过程中所经过的区域的面积为8π
C．四边形PACB的面积的取值范围为
D．当CP⊥l时，∠APB的正弦值的取值范围为
【分析】分析可得动圆的圆心，半径，C在以圆心C1（﹣1，0），半径的圆上．
对A，由CC1＝r可判断；
对B，圆C在运动过程中所经过的区域的面积相当于以圆心C1（﹣1，0），半径为r+r1的圆的面积；
对C，四边形PACB的面积，分析|PC|的范围即可求；
对D，由倍角公式及几何关系可得，分析|PC|的范围结合换元法即可求．
【解答】解：动圆的圆心，半径，
令，则由（x+1）2+y2＝2得C在以圆心C1（﹣1，0），半径的圆上．
对A，由CC1＝r得圆C恒过定点（﹣1，0），A对；
对B，圆C在运动过程中所经过的区域的面积相当于以圆心C1（﹣1，0），半径为r+r1的圆的面积，即，B对；
对C，过点P做圆C的两条切线，切点为A、B，则|PA|＝|PB|，则四边形PACB的面积，
当PC1⊥l时，最短，故，故，C错；
对D，，
∵CP⊥l，由C得，，
令，则|PC|2＝t2+r2＝t2+2，则，
∵在上单调递增，故，D对．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
（多选）12．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，其中点A在x轴上方，O为坐标原点，则（ ）
A．∠AOB一定为钝角
B．若|AF|＝4|BF|，则直线AB的斜率为
C．若点M在x轴上点F右侧，A（4，4），∠AOB+∠AMB＝180°，则
D．|AF|+2|BF|的最小值为
【分析】设直线AB的方程为x＝my+1，利用设而不求法确定点A，B的坐标关系，计算的夹角，判断A；结合抛物线的定义求直线AB的斜率判断B；结合设而不求法证明∠AOB为直角，由此列方程求点M的坐标；结合抛物线定义表示|AF|+2|BF|，利用基本不等式求其最小值．
【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点F的坐标为（1，0），准线方程为x＝﹣1，
当直线AB的斜率为0时，直线AB与抛物线有且只有一个交点，与已知矛盾，
故可设直线AB的方程为x＝my+1，
对于A，联立，消x，得y2﹣4my﹣4＝0，
方程y2﹣4my﹣4＝0的判别式Δ＝16m2+16＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），y1＞0，y2＜0，则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，，
所以，所以，
即∠AOB一定为钝角，故A正确；
对于B，因为|AF|＝4|BF|，所以y1＝﹣4y2，又y1y2＝﹣4，y1＞0，y2＜0，
则y2＝﹣1，y1＝4，又，
故，所以，所以直线直线AB的斜率为，故B错误；
对于C，因为A（4，4），所以，所以，
因为∠AOB+∠AMB＝180°，所以O，B，M，A四点共圆，
故∠BMF＝∠OAF，∠AOF＝MBF，所以△BMF∽△OAF，所以|BF|⋅|AF|＝|OF|⋅|MF|，故，所以点M的坐标为，故C错误；
对于D，因为，
所以|AF|+2|BF|＝x1+2x2+3，x1x2＝1，故，当且仅当x1＝2x2时等号成立，
由x1＝2x2，x1x2＝1可得，，
所以当，时，|AF|+2|BF|取最小值，最小值为，故D正确；
故选：AD．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知，则n＝ 4或7 ．
【分析】由组合数的性质可求得n的值．
【解答】解：由组合数的性质可得，
故n＝4或7．
故答案为：4或7．
【点评】本题主要考查组合数的性质，属于基础题．
14．（5分）已知圆与圆，则圆C1与圆C2的公切线方程是 x+y﹣1＝0 ．
【分析】先判断两个圆的位置关系，然后根据切点和斜率求得公切线方程．
【解答】解：圆，即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2，圆心为C1（2，1），半径，
圆，即（x﹣4）2+（y﹣3）2＝16，圆心为C2（4，3），半径，
圆心角，
所以两圆内切，
由，解得，
所以两圆切点的坐标为（1，0），，
所以公切线的斜率为﹣1，
所以公切线的方程为y＝﹣1（x﹣1），即x+y﹣1＝0．
故答案为：x+y﹣1＝0．
【点评】本题主要考查两圆的位置关系，属于基础题．
15．（5分）将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少一本的不同分法共有 1560 种．（用数字作答）
【分析】先把6本不同的书分成4组，每组至少一本，分类求得共有65种方法；再把这4组书分给4个人，不同的方法有65 种，运算求得结果．
【解答】解：先把6本不同的书分成4组，每组至少一本．
若4个组的书的数量按3、1、1、1分配，则不同的分配方案有20种不同的方法．
若4个组的书的数量分别为2、2、1、1，则不同的分配方案有 •45种不同的方法．
故所有的分组方法共有20+45＝65种．
再把这4组书分给4个人，不同的方法有651560种，
故答案为：1560．
【点评】本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
16．（5分）设点P（x1，y1），Q（x2，y2）．定义P，Q两点的“直角距离”为d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，已知点A和点B分别为直线l：y＝2x+8与椭圆上两个动点，则d（A，B）的最小值为 ．
【分析】根据新定义，利用参数法，表示出椭圆上一点B与直线l：y＝2x+8上一点A的“直角距离”，然后分类讨论求出最小值．
【解答】解：设直线l：y＝2x+8上的任意一点坐标（x，2x+8），
椭圆上任意一点的坐标为（2csθ，sinθ），
由题意可知d＝|x﹣2csθ|+|2x+8﹣sinθ|，∵，∴，
分类讨论：
①x≥2csθ，d＝x﹣2csθ+2x+8﹣sinθ＝3x+8﹣2csθ﹣sinθ≥8+4csθ﹣4sinθ，
②，
∴，
③，，
∴椭圆上一点B与直线l：y＝2x+8上一点A的“直角距离”的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查椭圆的性质以及标准方程，考查转化思想、分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知△ABC中，点A（﹣1，5），AC边上中线所在直线l1的方程为8x+y﹣12＝0，AB边上的高线所在直线l2的方程为x﹣3y+6＝0．
（1）求点B和点C的坐标；
（2）以M（1，0）为圆心作一个圆，使得A、B、C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，求这个圆的方程．
【分析】（1）求出直线AB的方程，联立直线AB和直线l1的方程可求得点B的坐标，设点C（m，n），根据点C在直线l2上以及线段AC的中点在l1上可得出关于m、n的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点C的坐标；
（2）计算出|AM|、|BM|、|CM|，比较大小后可得出圆M的半径，即可得出圆M的方程．
【解答】解：（1）因为AB边上的高线所在直线l2的方程为x﹣3y+6＝0，且直线l2的斜率为，则kAB＝﹣3，
故直线AB的方程为y﹣5＝﹣3（x+1），即3x+y﹣2＝0，
联立直线AB和直线l1的方程可得，解得，即点B（2，﹣4），
设点C（m，n），则线段AC的中点为，
由题意可得，解得m＝n＝3，
故点C（3，3）；
（2）因为，，，
则|CM|＜|BM|＜|AM|，
故圆M的半径为，
所以圆M的方程为（x﹣1）2+y2＝17．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
18．（12分）如图，正方形ABCD与梯形ABEF所在平面互相垂直，已知．
（1）求证：CE∥平面ADF；
（2）求平面ACE与平面ADF所成的锐二面角的余弦值．
【分析】（1）应用线面平行判定定理证明即可．
（2）空间向量法求面面角余弦值．
【解答】解：（1）取AF中点O，连接OE，OD，因为，
所以四边形ABEO是平行四边形，
又因为四边形ABCD是正方形，
所以CD∥AB∥EO，CD＝EO，
所以四边形CDEO是平行四边形，可得CE∥DO，DO⊂平面ADF，CE⊄平面ADF，
所以CE∥平面ADF；
（2）因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AD⊥AB，AD⊂平面ABCD，
所以AD⊥平面ABEF，
又AB⊥AF，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
设AB＝3，则A（0，0，0），E（3，2，0），C（3，0，3），
取平面ADF的一个法向量，
设平面ACE的一个法向量，则，则可取，
则，
所以平面ACE与平面ADF所成的锐二面角的余弦值．
【点评】本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解二面角的余弦值，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
19．（12分）设直线，点A和点B分别在直线l1和l2上运动，且（其中O为坐标原点）．
（1）求AB的中点T的轨迹方程C；
（2）是否存在直线l：y＝kx+1满足直线l与（1）中的曲线C交于M，N两点，且以MN为直径的圆经过曲线C的右焦点？若存在，求出k，若不存在，说明理由．
【分析】（1）相关点法求轨迹方程即可；
（2）联立方程后用向量法转化直径问题，代入根与系数关系式求解即可．
【解答】解：（1）设A（x1，），B（x2，），T（x，y），
由得﹣2＝x1x2﹣3x1x2＝﹣2x1x2，得x1x2＝1，
因为，得，
所以，
化简得．
（2）联立直线方程与曲线方程，
化简得（3﹣k2）x2﹣2kx﹣4＝0，
由3﹣k2≠0且Δ＞0得﹣2＜k＜2且，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，
曲线C的右焦点F（2，0），
由已知以MN为直径的圆过右焦点可得
＝（x1﹣2）（x2﹣2）+（kx1+1）（kx2+1）＝（k2+1）x1x2+（k﹣2）（x1+x2）+5
0，
化简得7k2+4k﹣11＝0，解得或k＝1，均符合﹣2＜k＜2且，
所以存在，k＝1或．
【点评】本题主要考查轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
20．（12分）如图，在平面ABCD中，△ABD为正三角形，△BCD为直角三角形，且，以BD为折痕把△ABD和△CBD向上折起，使点A到达点E的位置，点C到达点F的位置，且满足平面EBD⊥平面FBD．
（1）求证：EF⊥BD；
（2）若，求直线DF与平面ABE所成角的正弦值．
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及性质定理即得；
（2）建系，利用空间向量求线面夹角．
【解答】解：（1）证明：取BD中点H，连接EH，FH，
因为AB＝AD，BC＝DC，则EB＝ED，FB＝FD，
故EH⊥BD，FH⊥BD，
因为EH∩FH＝H，EH，FH⊂平面EFH，
所以BD⊥平面EFH，
因为EF⊂平面EFH，
所以BD⊥EF；
（2）因为△BCD为直角三角形，且，
所以BD＝4，又因为△EBD为等边三角形，
所以，△AEH为等边三角形，
取点O为AH中点，则AH⊥EO，
∵EB＝ED，AB＝AD，
则EH⊥BD，AH⊥BD，又EH∩AH＝H，EH，AH⊂平面AEH，
∴BD⊥平面AEH，即A，E，F，H四点共面，
又∵EO⊂平面AEH，
∴BD⊥EO，
又BD∩AH＝H，BD，AH⊂平面ABD，
所以EO⊥平面ABD，
过点O作OM∥BD交AD于点M，则AH⊥OM，
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
可得，
设平面ABE的法向量为，则，即，
则可取，
∵，
∴直线DF与平面ABE所成角的正弦值为．
【点评】本题考查线面垂直的判定及其性质，考查利用空间向量求解线面角的正弦值，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
21．（12分）已知椭圆的短轴顶点为A（0，b），B（0，﹣b），短轴长是4，离心率是，直线l：y＝kx﹣6与椭圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，其中y1＜y2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若BP∥OQ（其中O为坐标原点），求k；
（3）证明：是定值．
【分析】（1）由短轴长及离心率求得参数a、b即可；
（2）由BP∥OQ分析得，即，联立直线方程与椭圆方程结合韦达定理可解得k；
（3）直接由斜率公式化简求值即可．
【解答】解：（1）短轴长2b＝4⇒b＝2，离心率是，
∴椭圆C的方程为．
（2）直线l交y轴于E（0，﹣6），因为BP∥OQ，则，所以，
联立直线方程与椭圆方程得（2k2+1）x2﹣24kx+64＝0，由Δ＞0得k＞2或k＜﹣2，
由韦达定理得，
把代入上式得①，②，得4k2＝25，解得，符合k＞2或k＜﹣2，所以．
（3）证明：由韦达定理得，
．
【点评】本题主要考查椭圆的性质及椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
22．（12分）已知抛物线C：y2＝6x，点在抛物线C上，直线l：y＝﹣x+m在点下方，直线l与抛物线C交于B，C两点．
（1）证明：△ABC内切圆的圆心在定直线上；
（2）求△ABC面积的最大值．
【分析】（1）由AC，AB的对称性，内切圆圆心在定直线上可证；
（2）先写出三角形面积再应用基本不等式求最值即可．
【解答】（1）证明：联立，消去y整理得x2﹣（2m+6）x+m2＝0
由题意可得Δ＝（2m+6）2﹣4m2＝24m+36＞0，解得．
设B（x1，y1），C（x2，y2），则由韦达定理得，
则，
则∠BAC的角平分线为，则△ABC内切圆的圆心在定直线上．
（2）解：，
点A到直线BC的距离为，
则，
当且仅当，即时等号成立，△ABC面积的最大值为．
【点评】本题主要考查直线与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
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