2022-2023学年江苏省南京大学附中高二（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年江苏省南京大学附中高二（上）期末数学试卷，共16页。
A．a101＜27B．存在k∈N*，使ak＝ak+1
C．S101＜2D．数列{an}不具有单调性
2．（3分）若直线经过A（1，0），B（4，）两点，则直线AB的倾斜角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
3．（3分）若直线l1：2x+y＝0与直线l2：x+my+1＝0互相平行，则实数m＝（ ）
A．B．C．﹣2D．2
4．（3分）若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a3＝5，则S4的值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
5．（3分）若直线y＝kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4＝0交于M，N两点，且M，N关于直线x+2y＝0对称，则实数k+m的值为（ ）
A．1B．2C．3D．0
6．（3分）数列{an}满足a1＝0，a2＝1，an，则数列{an}的前10项和为（ ）
A．48B．49C．50D．51
7．（3分）已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为（ ）
A．2B．C．D．3
8．（3分）已知定义在R上的函数f（x），其导函数为f'（x），若f'（x）﹣f（x）＜0，f（0）＝1，则不等式f（x）＞ex的解集是（ ）
A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）
二.多选题（共4小题）
（多选）9．（3分）下列求导运算正确的是（ ）
A．
B．（2x）′＝2x•ln2
C．
D．（x2•csx）′＝2x•csx+x2•sinx
（多选）10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线，则（ ）
A．实轴长为2
B．渐近线方程为
C．离心率为2
D．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3
（多选）11．（3分）已知函数f（x）＝x3﹣ax+1的图象在x＝2处切线的斜率为9，则下列说法正确的是（ ）
A．a＝3
B．f（x）在x＝﹣1处取得极大值
C．当x∈（﹣2，1]时，f（x）∈（﹣1，3]
D．f（x）的图象关于点（0，1）中心对称
（多选）12．（3分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝81，a7＝13，且S3，S17﹣S16，Sk成等比数列，则（ ）
A．k＝11
B．an＝2n﹣1
C．Sn＝n2
D．
三.填空题（共4小题）
13．（3分）已知f（x）＝e2x﹣2xf′（0），则f′（1）＝ ．
14．（3分）等比数列{an}中，a1＝1，S3＝13，其中公比q＞0，则a2＝ ．
15．（3分）已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP．若|FQ|＝8，则C的准线方程为 ．
16．（3分）函数有两个零点，则k的取值范围是 ．
四.解答题（共6小题）
17．已知圆C1的圆心为坐标原点，且与直线3x+4y﹣10＝0相切．
（1）求圆C1的标准方程；
（2）若直线l过点M（1，2），直线l被圆C1所截得的弦长为，求直线l的方程．
18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），S3＝18，a4＝2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn，求Tn＝b1+b2+…+bn；
（3）若数列{cn}满足cnTn，求cn的最小值及此时n的值．
19．已知：函数f（x）＝x3﹣ax2﹣3x．
（1）若f'（3）＝0，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值；
（2）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，求：实数a的取值范围
20．已知数列{an}是公比为2的等比数列，a2，a3，a4﹣4成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若，设数列{bn}的前n项和Tn，求证：1≤Tn＜3．
21．已知函数f（x），其中a＞0．
（1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处切线的方程；
（2）当a≠1时，求函数f（x）的单调区间；
（3）若，证明对任意x1，x2∈[，1]（x1≠x2），恒成立．
22．已知椭圆过点P（﹣2，﹣1），且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点Q（﹣4，0）的直线l（不经过点P）交椭圆C于点A，B，试问直线PA与直线PB的斜率之和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
2022-2023学年江苏省南京大学附中高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共8小题）
1．（3分）设数列{an}满足an+1＝an2﹣2an2，记数列的前n项的和为Sn，则（ ）
A．a101＜27B．存在k∈N*，使ak＝ak+1
C．S101＜2D．数列{an}不具有单调性
【分析】根据题意求得，进而得到与同号，结合作差法比较法，可判定B、D错误；由，得到，利用累加法，可判定A错误；化简得到，利用裂项法求和，可判定C正确．
【解答】解：由于，则，
又由，则与同号，
又由a1＝2，则，可得，
所以数列{an}单调递增，故B、D错误；
又因为，
由数列{an}单调递增，且a1＝2，
所以an﹣2＞0，an﹣1＞0，所以，
累加得，所以a101≥27，故A错误；
由，可得，
因为an＞a1＝2，所以，故C正确．
故选：C．
【点评】本题考查了数列的递推式以及数列的求和问题，属于中档题．
2．（3分）若直线经过A（1，0），B（4，）两点，则直线AB的倾斜角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
【分析】先根据直线的斜率公式求出斜率，再根据倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，求出倾斜角的值．
【解答】解：若直线经过两点，则直线的斜率等于 ．
设直线的倾斜角等于θ，则有tanθ．
再由 0≤θ＜π可得 θ，即θ＝30°，
故选：A．
【点评】本题主要考查直线的斜率公式，倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，属于基础题．
3．（3分）若直线l1：2x+y＝0与直线l2：x+my+1＝0互相平行，则实数m＝（ ）
A．B．C．﹣2D．2
【分析】根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解．
【解答】解：当m＝0时，直线l1与l2不平行，
当m≠0时，∵l1//l2，
∴，解得．
故选：B．
【点评】本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
4．（3分）若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a3＝5，则S4的值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【分析】利用等差数列的前n项和公式可求得S4的值．
【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a3＝5，
由等差数列的基本性质得a1+a4＝a2+a3＝5，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列求和，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（3分）若直线y＝kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4＝0交于M，N两点，且M，N关于直线x+2y＝0对称，则实数k+m的值为（ ）
A．1B．2C．3D．0
【分析】由题意可得直线x+2y＝0经过圆心，且直线y＝kx+1与直线x+2y＝0垂直，可得k，m的方程，解方程可得所求和．
【解答】解：直线y＝kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4＝0交于M，N两点，且M，N关于直线x+2y＝0对称，
可得直线x+2y＝0经过圆心（，），则﹣k﹣2m＝0，
又直线y＝kx+1与直线x+2y＝0垂直，可得k•（）＝﹣1，即k＝2，
所以m＝﹣1，圆x2+y2+2x﹣y﹣4＝0，即（x+1）2+（y）2．
故k+m＝2﹣1＝1．
故选：A．
【点评】本题考查圆的方程和直线与圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
6．（3分）数列{an}满足a1＝0，a2＝1，an，则数列{an}的前10项和为（ ）
A．48B．49C．50D．51
【分析】通过数列的递推关系式，求解数列的和即可．
【解答】解：数列{an}满足a1＝0，a2＝1，an，奇数项是等差数列，公差为2，偶数项是等比数列，公比为2，
所以数列{an}的前10项和为：（0+2+4+6+8）+（1+2+4+8+16）＝51．
故选：D．
【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，是基础题．
7．（3分）已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为（ ）
A．2B．C．D．3
【分析】根据双曲线的几何性质可知，，即可根据斜率列出等式求解即可．
【解答】解：联立解得，所以，
依题可得，即，
变形得c+a＝3a，c＝2a，因此，双曲线C的离心率为2．
故选：A．
【点评】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题．
8．（3分）已知定义在R上的函数f（x），其导函数为f'（x），若f'（x）﹣f（x）＜0，f（0）＝1，则不等式f（x）＞ex的解集是（ ）
A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）
【分析】不等式f（x）＞ex转化为1，令F（x），求导分析F（x）的单调性，由f（0）＝1，得F（0）＝1，则不等式转化为F（x）＞F（0），结合F（x）在R上单调性，即可得出答案．
【解答】解：令F（x），
F′（x），
因为f'（x）﹣f（x）＜0，
所以F′（x）＜0，
所以F（x）在R上单调递减，
因为f（0）＝1，
所以F（0）1，
所以不等式f（x）＞ex转化为1，
即F（x）＞F（0），
结合F（x）在R上单调性，可得x＜0，
故选：D．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要构造函数，属于中档题．
二.多选题（共4小题）
（多选）9．（3分）下列求导运算正确的是（ ）
A．
B．（2x）′＝2x•ln2
C．
D．（x2•csx）′＝2x•csx+x2•sinx
【分析】根据导数的公式即可得到结论．
【解答】解：∵（x）′＝1，∴A错误，
∵（2x）′＝2xln2，∴B正确，
∵（）′，∴C正确，
∵（x2•csx）′＝2xcsx﹣x2•sinx，∴D错误，
故选：BC．
【点评】本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
（多选）10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线，则（ ）
A．实轴长为2
B．渐近线方程为
C．离心率为2
D．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3
【分析】由双曲线的方程可得a，b的值，求出准线方程与渐近线的方程可得正确答案．
【解答】解：由双曲线 的方程可得，a2＝4，b2＝12，c2＝a2+b2＝16，所以a＝2，b＝2，c＝4，所以A不正确，
所以实轴长2a＝4，离心率2，渐近线方程为y＝±xx，所以B，C正确，
因为准线方程为x1，设渐近线y与渐近线的交点为A，两个方程联立可得A（1，），另一条渐近线的方程为：y＝0，所以A到它的距离为d，所以D不正确．
故选：BC．
【点评】考查双曲线的性质，属于基础题．
（多选）11．（3分）已知函数f（x）＝x3﹣ax+1的图象在x＝2处切线的斜率为9，则下列说法正确的是（ ）
A．a＝3
B．f（x）在x＝﹣1处取得极大值
C．当x∈（﹣2，1]时，f（x）∈（﹣1，3]
D．f（x）的图象关于点（0，1）中心对称
【分析】对f（x）求导，由f′（2）＝9，可求得a的值，从而判断选项A；利用导数求得函数的单调性，从而求得极值点，即可判断选项B；由函数的单调可求得在区间（﹣2，1]上f（x）的取值范围，即可判断选项C；函数y＝x3﹣3x为奇函数，可求得f（x）的对称中心，即可判断选项D．
【解答】解：f（x）＝x3﹣ax+1，则f′（x）＝3x2﹣a，
因为函数f（x）的图象在x＝2处切线的斜率为9，
所以f′（2）＝9，即12﹣a＝9，解得a＝3，故A正确；
则f（x）＝x3﹣3x+1，则f′（x）＝3x2﹣3＝3（x﹣1）（x+1），
令f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞1，令f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜1，
所以f（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，
所以f（x）在x＝﹣1处取得极大值，故B正确；
当x∈（﹣2，1]时，由f（x）的单调性可知，f（x）的最大值为f（﹣1）＝3，
又f（﹣2）＝﹣1，f（1）＝﹣1，
所以当x∈（﹣2，1]时，f（x）∈[﹣1，3]，故C错误；
因为函数y＝x3﹣3x为奇函数，关于原点（0，0）对称，
所以函数f（x）＝x3﹣ax+1的图象关于点（0，1）中心对称，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
（多选）12．（3分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝81，a7＝13，且S3，S17﹣S16，Sk成等比数列，则（ ）
A．k＝11
B．an＝2n﹣1
C．Sn＝n2
D．
【分析】先根据题意求出等差数列的首项和公差，再根据等差数列的通项公式和求和公式求得an，Sn，再由S3，S17﹣S16，Sk成等比数列列出式子求解得出k的值，再利用裂项相消法求和，得到，从而判断各项的正误．
【解答】解：依题意，S9＝9a5＝81，解得a5＝9，
而a7＝13，故，则a1＝a5﹣4d＝1，
则，故B、C正确：
因为S3，S17﹣S16，Sk成等比数列，
故
则9k2＝332，解得k＝11，故A正确；
而，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查了等差数列等比数列的综合，属于中档题．
三.填空题（共4小题）
13．（3分）已知f（x）＝e2x﹣2xf′（0），则f′（1）＝ ．
【分析】根据已知条件，结合导数的运算法则，即可求解．
【解答】解：f（x）＝e2x﹣2xf′（0），
则f'（x）＝2e2x﹣2f'（0），
将x＝0代入可得，f'（0）＝2e0﹣2f'（0），解得f'（0），
故f'（x），
所以f'（1）．
故答案为：．
【点评】本题主要考查导数的运算法则，属于基础题．
14．（3分）等比数列{an}中，a1＝1，S3＝13，其中公比q＞0，则a2＝ 3 ．
【分析】先根据求和公式求出公比q，再根据通项公式即可求出．
【解答】解：等比数列{an}中，a1＝1，S3＝13，
∴1+q+q2＝13，
解得q＝3或q＝﹣4（舍去），
∴a2＝a1q＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了等比数列的求和公式和通项公式，属于基础题．
15．（3分）已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP．若|FQ|＝8，则C的准线方程为 x＝﹣2 ．
【分析】求出点P的坐标，推出PQ方程，然后求解Q的坐标，利用|FQ|＝8，求解p，然后求解准线方程．
【解答】解：由题意，不妨设P在第一象限，则P（，p），kOP＝2，PQ⊥OP．
所以kPQ，所以PQ的方程为：y﹣p（x），
y＝0时，x，
|FQ|＝8，所以8，解得p＝4，
所以抛物线的准线方程为：x＝﹣2．
故答案为：x＝﹣2．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
16．（3分）函数有两个零点，则k的取值范围是 （0，） ．
【分析】函数有两个零点，即方程有两个根，设g（x）（x＞0），则函数g（x）与y＝k的图像有两个交点，利用导数得到函数g（x）的单调性和极值，画出函数g（x）的大致图像，利用数形结合法即可求出k的取值范围．
【解答】解：∵函数有两个零点，
∴方程有两个根，即方程有两个根，
设g（x）（x＞0），则函数g（x）与y＝k的图像有两个交点，
∵g'（x），
令g'（x）＝0得，x＝e，
∴当x∈（0，e）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（e，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，
∴函数g（x）在x＝e时，取得最大值g（e），
又∵当x→0时，g（x）→﹣∞；当x→+∞时，g（x）→0，
∴函数g（x）的大致图像，如图所示，
由图像可知，0，
∴k的取值范围是（0，），
故答案为：（0，）．
【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了利用导数研究函数的单调性和极值，同时考查了数形结合的数学思想，是中档题．
四.解答题（共6小题）
17．已知圆C1的圆心为坐标原点，且与直线3x+4y﹣10＝0相切．
（1）求圆C1的标准方程；
（2）若直线l过点M（1，2），直线l被圆C1所截得的弦长为，求直线l的方程．
【分析】（1）由圆心到直线的距离求得半径，可得圆C1的标准方程；
（2）当直线的斜率不存在时，求得直线l被圆C1所截得的弦长为，符合题意；当直线l的斜率存在时，设出直线方程，由已知弦长可得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求k，则直线方程可求．
【解答】解：（1）∵原点O到直线3x+4y﹣10＝0的距离为，
∴圆C1的标准方程为x2+y2＝4；
（2）当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝1，代入x2+y2＝4，
得y，即直线l被圆C1所截得的弦长为，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线方程为y﹣2＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+2＝0．
∵直线l被圆C1所截得的弦长为，圆的半径为2，
则圆心到直线l的距离d，解得k．
∴直线l的方程为，即3x﹣4y+5＝0．
综上，直线l的方程为x＝1或3x﹣4y+5＝0．
【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），S3＝18，a4＝2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn，求Tn＝b1+b2+…+bn；
（3）若数列{cn}满足cnTn，求cn的最小值及此时n的值．
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由题意可得关于首项和公差的方程组，解得代入通项公式可得；（2）由（1）可得bn（），由裂项相消法求和可得；（3）由（2）可得n+12，由基本不等式可得．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
则S3＝3a118，a4＝a1+3d＝2，
解得a1＝8，d＝﹣2，
∴an＝8﹣2（n﹣1）＝﹣2n+10；
（2）由（1）可得
（），
∴Tn＝b1+b2+…+bn（1）
（3）由（2）可得n+12≥22＝8，
当且仅当n+1，即n＝4时取等号，此时cn取最小值8
【点评】本题考查等差数列的通项公式，涉及裂项相消法求和以及基本不等式的应用，属中档题．
19．已知：函数f（x）＝x3﹣ax2﹣3x．
（1）若f'（3）＝0，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值；
（2）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，求：实数a的取值范围
【分析】（1）因为f'（3）＝0得到a的值，确定出f（x）和f′（x）的解析式，然后令f′（x）＝0求出x的值，在区间[1，a]上利用x的值讨论函数的增减性得到函数的最值；
（2）因为f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，所以令f′（x）＞0，解得a，求出的最小值得到a的取值范围．
【解答】解：（1）f'（3）＝0，即27﹣6a﹣3＝0，
∴a＝4．
∴f（x）＝x3﹣4x2﹣3x，f'（x）＝3x2﹣8x﹣3，
令．
∴f（x）在x∈[1，a]上的最小值是f（3）＝﹣18，最大值是f（1）＝﹣6
（2）f'（x）＝3x2﹣2ax﹣3≥0∴x≥1∴，
当x≥1时，是增函数，其最小值为，
∴a≤0．
【点评】考查学生利用导数研究函数的单调性的能力，利用导数求闭区间上函数最值的能力．
20．已知数列{an}是公比为2的等比数列，a2，a3，a4﹣4成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若，设数列{bn}的前n项和Tn，求证：1≤Tn＜3．
【分析】（1）根据题干已知条件及等差中项的性质、等比数列的通项公式列出关于首项a1的方程，解出a1的值，即可计算出数列{an}的通项公式；
（2）先根据第（1）题的结果计算出数列{bn}的通项公式，再运用错位相减法推导出前n项和Tn的表达式，然后根据不等式的运算和数列的单调性即可证明不等式成立．
【解答】（1）解：依题意，由a2，a3，a4﹣4成等差数列，
可知2a3＝a2+a4﹣4，
∵数列{an}是公比为2的等比数列，
∴，
即8a1＝2a1+8a1﹣4，解得a1＝2，
∴，n∈N*．
（2）证明：由（1），可得，
则Tn＝b1+b2+•••+bn，
，
两式相减，可得



．
∴，
又∵{Tn}是递增数列，
∴Tn≥T1＝1，
∴1≤Tn＜3．
【点评】本题主要考查等比数列的基本运算，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了方程思想，转化与化归思想，错位相减法，不等式的运算能力，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
21．已知函数f（x），其中a＞0．
（1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处切线的方程；
（2）当a≠1时，求函数f（x）的单调区间；
（3）若，证明对任意x1，x2∈[，1]（x1≠x2），恒成立．
【分析】（1）把a＝2代入函数解析式，求出原函数的导函数，得到曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的导数值，再求出f（1），代入直线方程的点斜式求切线的方程；
（2）求函数f（x）的导函数，得到导函数的零点，根据a的范围由导函数的零点对函数定义域分段，利用导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性；
（3）当0＜a时，f（x）在[，1]内是减函数，又x1≠x2，不妨设0＜x1＜x2，则f（x1）＞f（x2），于是 等价于．构造函数g（x）（x＞0），利用导数证明其为减函数得答案．
【解答】解：（1）当a＝2时，f（x），f′（x），
∴f′（1），∵f（1）＝﹣2，
∴切线方程为：y+2（x﹣1），整理得：x+2y+3＝0；
（2）f′（x）（x＞0），令f′（x）＝0，解得：x＝a或x，
①若0＜a＜1，a，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如表：
∴f（x）在区间（0，a）和（，+∞）内是增函数，在（a，）内是减函数；
②若a＞1，a，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如表：
∴f（x）在区间（0，）和（a，+∞）内是增函数，在（，+∞）内是减函数；
（3）证明：∵0＜a，∴f（x）在[，1]内是减函数，又x1≠x2，
不妨设0＜x1＜x2，则f（x1）＞f（x2），，
于是等价于，
令g（x）（x＞0），
∵g′（x）（a）在[，1]内是减函数，
故g′（x）≤g′（）＝2﹣（a）≤2﹣20，
从而g（x）在[，1]内是减函数，
∴对任意，有g（x1）＞g（x2），
即，
∴当a∈（0，），对任意（x1≠x2），
均有恒成立．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，等价转化是第三问的关键，属难题．
22．已知椭圆过点P（﹣2，﹣1），且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点Q（﹣4，0）的直线l（不经过点P）交椭圆C于点A，B，试问直线PA与直线PB的斜率之和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）根据题意列出关于a，b，c的方程组，解出a，b，c的值，从而得到椭圆C的方程．
（2）当直线AB的斜率为0时，易求kPA+kPB＝﹣1，当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为x＝my﹣4，与椭圆方程联立，由韦达定理可得，y1•y2，代入kPA+kPB化简，即可求出结果．
【解答】解：（1）由题意可得，解得，
∴椭圆C的方程：．
（2）当直线AB的斜率为0时，A（2，0），B（﹣2，0），
∴kPA+kPB1，
当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为x＝my﹣4，
联立方程，消去x得：（4+m2）y2﹣8my+8＝0，
∴，y1•y2，
∴kPA+kPB



＝﹣1，
综上所述，直线PA与直线PB的斜率之和是定值﹣1．
【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，是中档题．
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1
（1，3）
3
（3，4）
4
f′（x）
﹣
0
+
f（x）
﹣6
↓
﹣18
↑
﹣12
x
（0，a）
a
（a，）

（，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
增函数
极大值
减函数
极小值
增函数
x
（0，）

（，a）
a
（a，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
增函数
极大值
减函数
极小值
增函数