2022-2023学年江苏省徐州市高二（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年江苏省徐州市高二（上）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）抛物线x2＝4y的准线方程为（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．y＝1D．y＝﹣1
2．（5分）双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．C．y＝±3xD．
3．（5分）在y轴上截距为﹣2，倾斜角为60°的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”．意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里数是前一天的一半，七天一共行走了700里路，则该马第七天走的里数为（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）已知函数f（x）＝sin2x，则（ ）
A．B．1C．D．
6．（5分）已知集合A和B分别是由数列{4n+3}和{3n}的前100项组成，则A∩B中元素的和为（ ）
A．270B．273C．363D．6831
7．（5分）已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，点P在直线x＝a上，直线PA与C的另外一个交点为Q，O为坐标原点，若OP⊥BQ，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）已知a＝0.99﹣ln0.99，b＝1，c＝1.01﹣，则（ ）
A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．b＜c＜aD．b＜a＜c
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知曲线C：1，则下列说法正确的是（ ）
A．若C是椭圆，则其长轴长为2
B．若m＜0，则C是双曲线
C．C不可能表示一个圆
D．若m＝1，则C上的点到焦点的最短距离为
（多选）10．（5分）已知数列{an}满足a1+2a2+…+2n﹣1an＝n⋅2n+1，则（ ）
A．a1＝4
B．{an}的前10项和为150
C．{（﹣1）nan}的前11项和为﹣14
D．{|an﹣10|}的前16项和为168
（多选）11．（5分）连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点，拐点在统计学、物理学、经济学等领域都有重要应用．若f（x）的图象是一条连续不断的曲线，∀x∈（a，b），f（x）的导函数f'（x）都存在，且f'（x）的导函数f''（x）也都存在．若∃x0∈（a，b），使得f''（x0）＝0，且在x0的左、右附近，f''（x）异号，则称点（x0，f（x0））为曲线y＝f（x）的拐点．则以下函数具有唯一拐点的是（ ）
A．f（x）＝（x+1）2B．f（x）＝x3+2x2+3x
C．f（x）＝xexD．f（x）＝lnx+x2+sinx
（多选）12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，点A，B，P在椭圆上，且OA⊥OB，则（ ）
A．当P不在x轴上时，△PF1F2的周长为6
B．使△PF1F2是直角三角形的点P有4个
C．AB≤2
D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知直线l1：（m+3）x+5y＝5，l2：（m+6）x+2y＝8，若l1∥l2，则m的值为 ．
14．（5分）已知等差数列{an}的公差d≠0，若a1，a2，a6成等比数列，则的值为 ．
15．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax﹣1，若f（x）≤0恒成立，则实数a的取值范围为 ．
16．（5分）已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，M为E上一点，以线段MF为直径的圆C与E交于另外一点N，C为圆心，O为坐标原点．当MN∥OC时，ON的长为 ，点C到y轴的距离为 ．
四、解答题：本题6小题，共70分.解答应写出件字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在①a8＝9，②S5＝20，③a2+a9＝13这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并进行解答．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，_____，_____．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn，求数列{bn}的前n项和Tn．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（12分）已知圆C1：x2+y2+2x﹣6y+5＝0，圆C2：x2+y2﹣10x+5＝0．
（1）判断C1与C2的位置关系；
（2）若过点（3，4）的直线l被C1、C2截得的弦长之比为1：2，求直线l的方程．
19．（12分）某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化．如图，已知空地的一边是直路AB，余下的外围是抛物线的一段，AB的中垂线恰是该抛物线的对称轴，O是AB的中点．拟在这块地上划出一个等腰梯形ABCD区域种植草坪，其中A，B，C，D均在该抛物线上．经测量，直路AB段长为60米，抛物线的顶点P到直路AB的距离为40米．以O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy．
（1）求该段抛物线的方程；
（2）当CD长为多少米时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大？
20．（12分）已知曲线C：y＝x2在点（xn，yn）（xn＞0）处的切线与x轴的交点为（xn+1，0），n∈N*，且x1．
（1）求数列{xn}的通项公式；
（2）设Sn为数列{n•xn}的前n项和，求使得Sn成立的正整数n的最小值．
21．（12分）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝4，过F1的直线l与C的左支交于A，B两点，当直线l垂直于x轴时，|AB|＝2．
（1）求C的标准方程；
（2）设O为坐标原点，线段AB的中点为E，射线OE交直线x＝﹣1于点D，点G在射线OE上，且|OG|2＝2|OD|•|OE|，设直线F1G，F2G的斜率分别为k1，k2，求k1•k2的值．
22．（12分）已知函数f（x）＝（lnx﹣ax2﹣2）x，a∈R．
（1）当a＝0时，求函数f（x）的极小值；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
2022-2023学年江苏省徐州市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）抛物线x2＝4y的准线方程为（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．y＝1D．y＝﹣1
【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p＝4，再直接代入即可求出其准线方程．
【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2＝4y，焦点在y轴上；
所以：2p＝4，即p＝2，
所以：1，
∴准线方程 y＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．
2．（5分）双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．C．y＝±3xD．
【分析】由双曲线方程求得a与b的值，则渐近线方程可求．
【解答】解：由双曲线，得a＝1，b，
∴双曲线的渐近线方程是y．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线渐近线方程的求法，是基础题．
3．（5分）在y轴上截距为﹣2，倾斜角为60°的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由题意，利用直线的斜率的定义，斜截式求出直线的方程．
【解答】解：y轴上截距为﹣2，倾斜角为60°的直线方程为y＝tan60°x﹣2，
即x﹣y﹣2＝0，
故选：A．
【点评】本题主要考查直线的斜率的定义，斜截式求直线的方程，属于基础题．
4．（5分）中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”．意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里数是前一天的一半，七天一共行走了700里路，则该马第七天走的里数为（ ）
A．B．C．D．
【分析】依题意可得该马第n天走的里程数构成公比为的等比数列{an}，根据等比数列求和公式求出a1，再根据等比数列通项公式计算可得．
【解答】解：根据题意得，该马第n天走的里程数为公比为的等比数列{an}，
设第一天行走路程为a1，
则，得，
故该马第六天走里路．
故选：B．
【点评】本题考查将实际问题转化为等比数列问题的能力以及等比数列的求和公式，属于基础题．
5．（5分）已知函数f（x）＝sin2x，则（ ）
A．B．1C．D．
【分析】根据已知条件，结合导数的定义，以及导数的求导法则，即可求解．
【解答】解：函数f（x）＝sin2x，
则f'（x）＝2cs2x，
故．
故选：B．
【点评】本题主要考查导数的定义，以及导数的求导法则，属于基础题．
6．（5分）已知集合A和B分别是由数列{4n+3}和{3n}的前100项组成，则A∩B中元素的和为（ ）
A．270B．273C．363D．6831
【分析】先求出数列{4n+3}和{3n}的公共项，满足公共项小于等于数列{4n+3}的100项，求出项数，然后再求和．
【解答】解：设数列{4n+3}的第m项与数列{3n}的第t项相等，
即4m+3＝3t，
所以．
又因为m，n∈N*，所以t＝2n+1（n∈N*），
所以数列{4n+3}与数列{3n}的公共项构成的数列为{32n+1}．
又因为{4n+3}的第100项为403，
而32n+1＜403的n＝1，2，
所以A∩B中元素的和为：32×1+1+32×2+1＝27+243＝270．
故选：A．
【点评】本题以集合交集运算为载体，主要考查了数列项的求解，属于中档题．
7．（5分）已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，点P在直线x＝a上，直线PA与C的另外一个交点为Q，O为坐标原点，若OP⊥BQ，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由题，设P（a，t），可得直线PA方程为：，将其与椭圆方程联立，后利用韦达定理可表示出Q坐标，后利用可得答案．
【解答】解：由题，设P（a，t），因A（﹣a，0），则直线PA方程为：，
将其与椭圆方程联立：，消去y并化简得：
（4b2+t2）x2+2at2x+a2t2﹣4a2b2＝0，由韦达定理有：，
又xA＝﹣a，则，
代入，可得，
则），又OP⊥BQ，
则，
则．
故选：C．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
8．（5分）已知a＝0.99﹣ln0.99，b＝1，c＝1.01﹣，则（ ）
A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．b＜c＜aD．b＜a＜c
【分析】设f（x）＝x﹣lnx，x＞0，利用导数可得f（x）在（0，1）上单调递减，从而有f（0.99）＞f（1）＝1，即a＞b；令g（x）＝x﹣xlnx（x＞0），利用导数可得g（x）在[1，+∞）上单调递减，从而有g（1.01）＜g（1）＝1，即c＜b，即可得答案．
【解答】解设：f（x）＝x﹣lnx，x＞0，则有，
所以当0＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
所以f（0.99）＞f（1）＝1，
即有0.99﹣ln0.99＞1，
故a＞b；
令g（x）＝x﹣xlnx（x＞0），则g'（x）＝1﹣（lnx+1）＝﹣lnx，
所以当0＜x＜1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当x＞1时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；
所以g（1.01）＜g（1）＝1，
即1.01﹣＜1，
故c＜b，
综上所述，则有c＜b＜a．
故选：B．
【点评】本题主要考查了不等式的大小，对于比较大小的题目，常用的方法有：（1）作差法；（2）作商法；（3）利用函数的单调性进行比较．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知曲线C：1，则下列说法正确的是（ ）
A．若C是椭圆，则其长轴长为2
B．若m＜0，则C是双曲线
C．C不可能表示一个圆
D．若m＝1，则C上的点到焦点的最短距离为
【分析】根据双曲线的简单几何性质，圆的方程的特点，椭圆的简单几何性质，即可分别求解．
【解答】解：对A选项，若C是椭圆，则m＞0，又m2+1﹣m＝（m）20，
∴m2+1＞m＞0，∴椭圆的长轴长为，∴A选项错误；
对B选项，∵m2+1＞0，又m＜0，∴C表示双曲线，∴B选项正确；
对C选项，令m2+1＝m，∴，∴m无解，
∴C不可能表示一个圆，∴C选项正确；
对D选项，若m＝1，则C可化为，
∴C上的点到焦点的最短距离为a﹣c1，∴D选项错误．
故选：BC．
【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单几何性质，圆的方程的特点，属基础题．
（多选）10．（5分）已知数列{an}满足a1+2a2+…+2n﹣1an＝n⋅2n+1，则（ ）
A．a1＝4
B．{an}的前10项和为150
C．{（﹣1）nan}的前11项和为﹣14
D．{|an﹣10|}的前16项和为168
【分析】利用方程组法求出数列{an}的通项公式，然后分布进行求解判断即可．
【解答】解：∵a1+2a2+...+2n﹣1an＝n•2n+1，
∴当n≥2时，a1+2a2+...+2n﹣2an﹣1＝（n﹣1）•2n，
两式作差得2n﹣1an＝n•2n+1﹣（n﹣1）•2n＝（n+1）•2n，
得an＝2（n+1）＝2n+2，
当n＝1时，a1＝4，满足an＝2n+2，
综上an＝2n+2，则{an}是等差数列，故A正确；
则{an}的前10项和为S130，故B错误；
{（﹣1）nan}的前11项和S＝﹣4+6﹣8+10+⋯+22﹣24＝2×5﹣24＝﹣14，故C正确；
an﹣10＝2n﹣8，
设bn＝an﹣10，
当n≥4时，bn≥0，当1≤n≤3时，bn＜0，
则{|an﹣10|}的前16项和S16＝﹣b1﹣b2﹣b3+b4+⋯+b16
＝6+4+2+0+2+⋯+24＝1212+12×13＝168，
故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查递推数列的应用，根据条件求出数列的通项公式是解决本题的关键，是中档题．
（多选）11．（5分）连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点，拐点在统计学、物理学、经济学等领域都有重要应用．若f（x）的图象是一条连续不断的曲线，∀x∈（a，b），f（x）的导函数f'（x）都存在，且f'（x）的导函数f''（x）也都存在．若∃x0∈（a，b），使得f''（x0）＝0，且在x0的左、右附近，f''（x）异号，则称点（x0，f（x0））为曲线y＝f（x）的拐点．则以下函数具有唯一拐点的是（ ）
A．f（x）＝（x+1）2B．f（x）＝x3+2x2+3x
C．f（x）＝xexD．f（x）＝lnx+x2+sinx
【分析】根据拐点的定义及零点存在定理对选项求二阶导函数，判断其是否有异号零点即可．
【解答】解：选项A：f'（x）＝2（x+1），f''（x）＝2≠0，
根据拐点定义可知，y＝f（x）没有拐点；
选项B：f'（x）＝3x2+4x+3，
即f''（x）＝6x+4＝0，解得，
且时，f''（x）＜0，时，f''（x）＞0，
故为y＝f（x）的拐点；
选项C：f'（x）＝（x+1）ex，
令f''（x）＝（x+2）ex＝0，解得x＝﹣2，
且x∈（﹣∞，﹣2）时，f''（x）＜0，x∈（﹣2，+∞）时，f''（x）＞0，
故（﹣2，f（﹣2））为y＝f（x）的拐点；
选项D：，，
因为，f''（1）＝1﹣sin1＞0，
所以，使得f''（x0）＝0成立，
由于f''（x0）在（0，+∞）是连续不断可导的，
所以f''（x0）在（0，+∞）有异号函数值，
故y＝f（x）存在拐点．
故选：BCD．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了导数与单调性关系的应用，属于中档题．
（多选）12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，点A，B，P在椭圆上，且OA⊥OB，则（ ）
A．当P不在x轴上时，△PF1F2的周长为6
B．使△PF1F2是直角三角形的点P有4个
C．AB≤2
D．
【分析】由椭圆的定义和焦距可判断A；分别考虑∠PF1F2＝90°或∠PF2F1＝90°，或∠F1PF2＝90°时，点P的个数，可判断B；首先讨论直线OA和OB中可能有一个斜率不存在，另一个的斜率为0；再考虑当直线OA，OB的斜率存在且不为0时，设直线OA的斜率为k，另一个为，计算可判断D；由勾股定理和换元法、二次函数的最值求法可判断C．
【解答】解：椭圆1的a＝2，b，c＝1，当P不在x轴上时，△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝2a+2c＝6，故A正确；
使△PF1F2是直角三角形，可能是∠PF1F2＝90°或∠PF2F1＝90°，这样的点P共有4个；由于c＜b，以F1F2为直径的圆与椭圆没有交点，
则∠F1PF2＝90°的点P不存在，故B正确；
由OA⊥OB，可得直线OA和OB中可能有一个斜率不存在，另一个的斜率为0，则；
当直线OA，OB的斜率存在且不为0时，设直线OA的斜率为k，另一个为，由y＝kx和3x2+4y2＝12联立，可得x2，y2，
则OA2，将k换为，可得OB2，则，故D正确；
由△ABO为直角三角形可得AB2＝OA2+OB2，若OA和OB中可能有一个斜率不存在，另一个的斜率为0时，AB2＝4+3＝7，
若直线OA，OB的斜率存在且不为0时，AB284•，
令t＝1+k2（t＞1），则AB2＝84•7，又AB2＝84•84•，
则AB，故C错误．
故选：ABD．
【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知直线l1：（m+3）x+5y＝5，l2：（m+6）x+2y＝8，若l1∥l2，则m的值为 ﹣8 ．
【分析】根据已知条件，结合两直线平行的性质，即可求解．
【解答】解：直线l1：（m+3）x+5y＝5，l2：（m+6）x+2y＝8，l1∥l2，
则2（m+3）＝5（m+6），解得m＝﹣8，
经检验，m＝﹣8时，两直线不重合，
故m＝﹣8．
故答案为：﹣8．
【点评】本题主要考查两直线平行的性质，属于基础题．
14．（5分）已知等差数列{an}的公差d≠0，若a1，a2，a6成等比数列，则的值为 ．
【分析】本题根据等比中项有a1a6，然后根据等差数列通项公式代入化简，可得a1与d的关系式，即可得到的值．
【解答】解：由题意，可知a1a6，
∴（a1+d）2＝a1（a1+5d），
即2a1d+d25a1d．
化简得3a1＝d．
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的基础知识，考查了方程思想的应用和数学运算能力．本题属中档题．
15．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax﹣1，若f（x）≤0恒成立，则实数a的取值范围为 ．
【分析】f（x）≤0恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，只需即可，构造新函数，求出g（x）的最大值即可．
【解答】解：由题知f（x）≤0恒成立，
即lnx﹣ax﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，
即在（0，+∞）上恒成立，即，
记，所以，
当x∈（0，e2）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；
当x∈（e2，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，
所以，所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查函数恒成立问题，考查了利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
16．（5分）已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，M为E上一点，以线段MF为直径的圆C与E交于另外一点N，C为圆心，O为坐标原点．当MN∥OC时，ON的长为 1 ，点C到y轴的距离为 ．
【分析】易知焦点F（1，0），根据M，N在抛物线上设出坐标，易知圆心C为MF的中点即可求出，由MN∥OC利用斜率相等可得y1y2＝4，再根据直径所对的圆周角为90°可得MN⊥NF，即OC⊥NF，利用向量数量积为0可得，联立即可解得，根据两点间距离公式可得|ON|＝1，点C到y轴的距离为其横坐标的绝对值等于．
【解答】解：由题意知M，N在抛物线上，设，，如图所示，
又抛物线焦点F（1，0），圆心C为MF的中点，∴，
∵MN∥OC，∴kMN＝kOC，∴，
整理可得，∴y1y2＝4，
又MF为直径，且点N在圆C上，∴MN⊥NF，
又MN∥OC，∴OC⊥NF，∴，
又，
∴，整理得，
联立y1y2＝4，可得，
解得或（舍），
∴，
∴，
∴点C到y轴的距离为．
故答案为：1；．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，向量数量积的坐标运算，方程思想，属中档题．
四、解答题：本题6小题，共70分.解答应写出件字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在①a8＝9，②S5＝20，③a2+a9＝13这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并进行解答．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，_____，_____．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn，求数列{bn}的前n项和Tn．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
【分析】选择①②
（1）结合已知条件求出等差数列的公差，然后求通项公式即可；
（2）由已知可得bn，然后累加求和即可．
选择①③
（1）结合已知条件求出等差数列的公差，然后求通项公式即可；
（2）由已知可得bn，然后累加求和即可．
选择②③
（1）结合已知条件求出等差数列的公差，然后求通项公式即可；
（2）由已知可得bn，然后累加求和即可．
【解答】选择①②
解：（1）已知数列{an}为等差数列，
设公差为d，
又a8＝9，S5＝20，
则a8＝9，a3＝4，
则5d＝a8﹣a3＝5，
即d＝1，
则an＝4+（n﹣3）×1＝n+1；
（2）由（1）可得bn，
则Tn．
选择①③
解：（1）已知数列{an}为等差数列，
设公差为d，
又a8＝9，a2+a9＝13，
则a8﹣6d+a8+d＝13，
则5d＝5，
即d＝1，
则an＝4+（n﹣3）×1＝n+1；
（2）由（1）可得bn，
则Tn．
选择②③
解：（1）已知数列{an}为等差数列，
设公差为d，
又S5＝20，a2+a9＝13，
则a3＝4，a3﹣d+a3+6d＝13，
则5d＝5，
即d＝1，
则an＝4+（n﹣3）×1＝n+1；
（2）由（1）可得bn，
则Tn．
【点评】本题考查了等差数列通项公式的求法，重点考查了裂项求和法，属基础题．
18．（12分）已知圆C1：x2+y2+2x﹣6y+5＝0，圆C2：x2+y2﹣10x+5＝0．
（1）判断C1与C2的位置关系；
（2）若过点（3，4）的直线l被C1、C2截得的弦长之比为1：2，求直线l的方程．
【分析】（1）求出圆的标准方程，利用圆与圆的位置关系进行判断即可．
（2）求出直线方程，利用直线和圆的位置关系求出弦长，利用弦长关系建立方程进行求解即可．
【解答】解：（1）圆C1：（x+1）2+（y﹣3）2＝5的圆心为（﹣1，3），半径为r，
圆C2：（x﹣5）2+y2＝20的圆心为（5，0），半径为R＝2，
因为|C1C2|3R+r，
所以C1与C2的位置关系为外切．
（2）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝3，与圆C1相离，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k（x﹣3）+4，
则C1，C2到l的距离分别为，，
所以l被C1，C2截得的弦长分别为，，
因为弦长之比为1：2，所以2，
即4（1﹣4k）2＝（2k+4）2，解得k＝1或k，
经检验，k＝1，k均符合题意．
所以直线l的方程为x﹣y+1＝0或x+5y﹣23＝0．
【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系的判断，以及直线和圆相交时弦长公式的计算，利用弦长公式建立方程是解决本题的关键，是中档题．
19．（12分）某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化．如图，已知空地的一边是直路AB，余下的外围是抛物线的一段，AB的中垂线恰是该抛物线的对称轴，O是AB的中点．拟在这块地上划出一个等腰梯形ABCD区域种植草坪，其中A，B，C，D均在该抛物线上．经测量，直路AB段长为60米，抛物线的顶点P到直路AB的距离为40米．以O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy．
（1）求该段抛物线的方程；
（2）当CD长为多少米时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大？
【分析】（1）以路AB所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，可得A，B，P的坐标，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣30）（x+30）（a≠0），把点P的坐标代入得a，则抛物线方程，再把C点坐标代入可得抛物线方程；
（2）设等腰梯形ABCD的面积为S，写出梯形面积，再由导数求最值．
【解答】解：（1）以路AB所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，
则A（﹣30，0），B（30，0），P（0，40）．
∵曲线的APB为抛物线的一段弧，∴可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣30）（x+30）（a≠0）．
将点P（0，40）代入得：40＝﹣900a，即a．
∴抛物线的解析式为（0＜x＜30）；
（2）设等腰梯形ABCD的面积为S，
则S，
S，
S′，令S′＝0，得x＝10或x＝﹣30（舍去）．
当x∈（0，10）时，S′＞0，S（x）单调递增，当x∈（10，30）时，S′＜0，S（x）单调递减．
∴当x＝10时，S有最大值为．
答：当CD为20米时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大，其最大值为平方米．
【点评】本题考查函数模型的选择及应用，考查函数解析式的求解及常用方法，训练了利用导数求最值，是中档题．
20．（12分）已知曲线C：y＝x2在点（xn，yn）（xn＞0）处的切线与x轴的交点为（xn+1，0），n∈N*，且x1．
（1）求数列{xn}的通项公式；
（2）设Sn为数列{n•xn}的前n项和，求使得Sn成立的正整数n的最小值．
【分析】（1）由已知可得，又x1，则数列{xn}是以为首项，为公比的等比数列，然后求解即可；
（2）由可知，然后结合错位相减法求解即可．
【解答】解：（1）已知曲线C：y＝x2，
则y′＝2x，
则曲线C：y＝x2在点（xn，yn）（xn＞0）处的切线方程为y﹣yn＝2xn（x﹣xn），
令y＝0，
则x，
即，
又x1，
则数列{xn}是以为首项，为公比的等比数列，
即；
（2）由（1）可知，
则，
则，
则，
则，
又Sn，
则，
设，
则，
即数列{bn}为递减数列，
又，，
即使得Sn成立的正整数n的最小值为8．
【点评】本题考查了等比数列通项公式的求法，重点考查了错位相减法求和，属中档题．
21．（12分）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝4，过F1的直线l与C的左支交于A，B两点，当直线l垂直于x轴时，|AB|＝2．
（1）求C的标准方程；
（2）设O为坐标原点，线段AB的中点为E，射线OE交直线x＝﹣1于点D，点G在射线OE上，且|OG|2＝2|OD|•|OE|，设直线F1G，F2G的斜率分别为k1，k2，求k1•k2的值．
【分析】（1）根据题意列出关于a，b的方程，解出即可得结果；
（2）设直线l的方程为x＝my﹣2，联立直线与双曲线的方程结合韦达定理求出E点坐标，根据题意得出，，由斜率计算公式即可得结果．
【解答】解：（1）将x＝c代入双曲线可得x＝±，
由条件知，，解得a2＝b2＝2．
所以C的标准方程为1．
（2）设直线l的方程为x＝my﹣2，
联立，消x并整理得（m2﹣1）y2﹣4my+2＝0，
则，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2，
所以yE，xE＝myE﹣2．
所以直线OE的方程为y＝mx，则yD＝﹣m，
因为|OG|2＝2|OD|•|OE|，所以2yD•yE＝﹣2m•，
当m≠0时，，
所以k1•k2•1，
当m＝0时，可得k1•k2＝0，
综上所述：k1•k2＝0或k1•k2＝1．
【点评】本题考查双曲线的方程的求法，考查方程思想，考查运算求解能力，属中档题．
22．（12分）已知函数f（x）＝（lnx﹣ax2﹣2）x，a∈R．
（1）当a＝0时，求函数f（x）的极小值；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
【分析】（1）求导，根据导函数的正负即可求解，
（2）求导，分类讨论，结合零点存在性定理即可求解．
【解答】解：（1）当a＝0时，f（x）＝（lnx﹣2）x，f'（x）＝lnx﹣1，
令f'（x）＝0，解得x＝e，列表如下：
所以f（x）的极小值为f（e）＝﹣e．
（2）函数f（x）有两个零点即g（x）＝lnx﹣ax2﹣2有两个零点．
因为，
①当a≤0时，g'（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上是增函数，最多只有一个零点，不符合题意；
②当a＞0时，由g'（x）＝0得，
当时，g'（x）＞0，g（x）在上是增函数；
当时，g'（x）＜0，g（x）在上是减函数．
（i）若，则，最多只有一个零点；
（ii）若，因为，且，
所以g（x）在区间内有一个零点．
令h（x）＝lnx﹣x+1，则，
当0＜x＜1时，h'（x）＞0，h（x）在（0，1）上是增函数；
当x＞1时，h'（x）＜0，h（x）在（1，+∞）上是减函数．
所以h（x）≤h（1）＝0，故lnx≤x﹣1．
所以，又，
所以g（x）在区间内有一个零点．
综上可知：当时，g（x）有两个零点，
故a的取值范围为．
【点评】本题主要考查导数在函数中的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，属于中档题．
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（0，e）
e
（e，+∞）
f'（x）
﹣
0
+
f（x）
↘
极小值
↗