2022-2023学年内蒙古赤峰二中高二（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2022-2023学年内蒙古赤峰二中高二（上）期末数学试卷（理科），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知复数z的共轭复数为，且（1﹣i）z＝（1+i），则下列四个选项中（ ）
A．1+2iB．2﹣iC．2﹣2iD．2+2i
2．（5分）已知△ABC的周长为12，B（﹣2，0），C（2，0），则顶点A的轨迹方程为（ ）
A．+＝1（x≠0）B．+＝1（y≠0）
C．+＝1（x≠0）D．+＝1（y≠0）
3．（5分）命题“∀x∈[﹣2，﹣1]，x2﹣a＞2”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．a≤1B．a≥﹣2C．a≥1D．a≤2
4．（5分）关于椭圆C：＝1，有下列四个命题：
甲：m＝4；
乙：n＝9；
丙：C的焦距为6；
丁：C的焦点在x轴上．
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
5．（5分）若直线3x+y﹣a＝0是曲线y＝﹣4lnx的一条切线，则实数a＝（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）用数学归纳法证明：“为正整数，在n＝k到n＝k+1时的证明中，（ ）
A．左边增加的项为
B．左边增加的项为
C．左边增加的项为
D．左边增加的项为
7．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P在抛物线C上，QF与y轴交于点T，O为坐标原点，则|PF|＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（5分）若函数在区间（a，a+5）内存在最小值（ ）
A．（﹣3，2）B．[﹣3，2）C．[﹣1，2）D．（﹣1，2）
9．（5分）△ABC三内角A，B，C所对边分别是a，b，c．若（ ）
A．B．C．D．
10．（5分）设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1），当x＞0时，xf'（x）（x）＞0，则使得f（x）（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）B．（0，1）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
11．（5分）已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作圆O：x2+y2＝a2的切线，切点为T，延长F2T交双曲线E的左支于点P．若|PF2|＞2|TF2|，则双曲线E的离心率的取值范围是（ ）
A．（2，+∞）B．（，+∞）C．D．
12．（5分）设，则下列关系正确的是（ ）
A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．c＞a＞b
二、填空题（共20分，每小题5分）
13．（5分）＝ ．
14．（5分）数列{an}满足a1＝1，且对任意的n∈N*都有an+1＝an+n+1，则数列的前100项的和为 ．
15．（5分）已知双曲线方程为，焦距为8，左、右焦点分别为F1，F2，点A的坐标为（1，2），P为双曲线右支上一动点，则|PF1|+|PA|的最小值为 ．
16．（5分）已知函数f（x）＝（a+1）lnx+ax2+1（a＜﹣1），如果对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，则a的取值范围为 ．
三、解答题（共0分）
17．（10分）已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0”．
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
18．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an+n﹣3，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2），数列{bn}是否存在最大项，若存在，求出最大项．
19．（12分）设函数f（x）＝x3﹣3ax﹣a．
（1）当a＝4时，求f（x）的极值；
（2）若函数f（x）有三个零点，求实数a的取值范围．
20．（12分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC＝4，E，F分别是AC，A1B1的中点．
（1）证明：EF⊥BC；
（2）求二面角C1﹣A1C﹣B的正弦值．
21．（12分）已知函数f（x）＝alnx+x+1（a≠0）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＝1时，求证：f（x）≤xex．
22．（12分）在直角坐标系xOy中，抛物线C：x2＝4y，点P是直线x﹣y﹣2＝0上任意一点，过点P作C的两条切线，取线段AB的中点M，连接PM交C于点N．
（1）求证：直线AB过定点，且求出定点的坐标；
（2）求的值；
（3）当P在直线上运动时，求△PAB的面积的最小值，并求出此时P的坐标．
2022-2023学年内蒙古赤峰二中高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、单选题（共60分，每小题5分）
1．（5分）已知复数z的共轭复数为，且（1﹣i）z＝（1+i），则下列四个选项中（ ）
A．1+2iB．2﹣iC．2﹣2iD．2+2i
【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），代入已知等式，利用复数相等的定义求得a，b关系，然后判断．
【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），
（1﹣i）z＝（1+i），
则（6﹣i）（a+bi）＝（1+i）（a﹣bi），即a+b+（b﹣a）i＝a+b+（a﹣b）i，
故b﹣a＝a﹣b，即a＝b，只有D满足．
故选：D．
【点评】本题主要考查共轭复数的定义，属于基础题．
2．（5分）已知△ABC的周长为12，B（﹣2，0），C（2，0），则顶点A的轨迹方程为（ ）
A．+＝1（x≠0）B．+＝1（y≠0）
C．+＝1（x≠0）D．+＝1（y≠0）
【分析】推导出顶点A的轨迹是以B（﹣2，0），C（2，0）为焦点，以2a＝8为长轴的椭圆，（不含x轴上的顶点），由此能求出顶点A的轨迹方程．
【解答】解：∵△ABC周长为12，B（﹣2，C（2，
∴|BC|＝4，|AC|+|AB|＝12﹣4＝8，
∴顶点A的轨迹是以B（﹣7，0），0）为焦点，（不含x轴上的顶点），
又c＝4，可得b2＝12，
∴顶点A的轨迹方程为：+＝1（y≠0）．
故选：D．
【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，是中档题．
3．（5分）命题“∀x∈[﹣2，﹣1]，x2﹣a＞2”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．a≤1B．a≥﹣2C．a≥1D．a≤2
【分析】将命题等价转化为“∃x∈[﹣2，﹣1]，x2﹣a≤2”为真命题，也即a+2≥（x2）min＝1，求出实数a的取值，然后根据充分不必要条件的判断即可求解．
【解答】解：由命题“∀x∈[﹣2，﹣1]，x8﹣a＞2”为假命题，
则该命题的否定：“∃x∈[﹣2，﹣7]，x2﹣a≤2”为真命题，
也即a+4≥（x2）min＝1，所以a≥﹣5，
所以a≥1为该命题的一个充分不必要条件．
故选：C．
【点评】本题主要考查充分必要条件的判断，全称命题，考查运算求解能力，属于基础题．
4．（5分）关于椭圆C：＝1，有下列四个命题：
甲：m＝4；
乙：n＝9；
丙：C的焦距为6；
丁：C的焦点在x轴上．
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】利用题中的条件，假设甲乙都对，根据逻辑关系可以推出矛盾，进而可以确定选项．
【解答】解：当甲乙为真命题时，椭圆方程为，
椭圆的焦距为：6c＝2，且焦点在y轴上，
此时丙和丁都是假命题，不符合题意．
当乙，丙和丁是真命题时＝3，
∴a2＝b7+c2＝9+3＝18，
此时椭圆方程为：，符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了椭圆的性质，学生的逻辑推理能力，数学运算能力，属于基础题．
5．（5分）若直线3x+y﹣a＝0是曲线y＝﹣4lnx的一条切线，则实数a＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用导数，根据斜率求得切点坐标，进而求得a．
【解答】解：因为，
所以，令，
即x2+8x﹣4＝0，
得x＝8或x＝﹣4（舍去），
所以切点是，代入3x+y﹣a＝2，
得，．
故选：D．
【点评】本题考查利用导数求解切线问题，属基础题．
6．（5分）用数学归纳法证明：“为正整数，在n＝k到n＝k+1时的证明中，（ ）
A．左边增加的项为
B．左边增加的项为
C．左边增加的项为
D．左边增加的项为
【分析】由已知写出n＝k时等式的左边，再写出n＝k+1时等式的左边，比较得结论．
【解答】解：假设当n＝k时等式成立，等式的左边＝，
那么，当n＝k+1时，
∴在n＝k到n＝k+1时的证明中，左边增加的项是．
故选：D．
【点评】本题考查数学归纳法证明与自然数有关的命题，是基础题．
7．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P在抛物线C上，QF与y轴交于点T，O为坐标原点，则|PF|＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】设直线l交x于点M，则可得|QM|＝2|OT|＝2，可得点P的纵坐标为2，则可求出P的横坐标，利用抛物线的定义，即可得出答案．
【解答】解：y2＝4x，则抛物线C的焦点为F（6，准线l为直线x＝﹣1，
设直线l交x于点M，则O为MF的中点，
∵QM∥OT，|OT|＝1，
∴|QM|＝8|OT|＝2，
∵PQ⊥l于点Q，
∴点P的纵坐标为2，即当y＝8时，解得x＝1，
∴点P的横坐标与F相同，
故|PF|＝2，
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8．（5分）若函数在区间（a，a+5）内存在最小值（ ）
A．（﹣3，2）B．[﹣3，2）C．[﹣1，2）D．（﹣1，2）
【分析】求导可知一定是在x＝2处取得最小值，由此可建立关于a的不等式组，解出即可．
【解答】解：令f′（x）＝x2﹣2x＝2，解得x＝0或x＝2，a+2）内的最小值一定是，
又，故，解得﹣1≤a＜2．
故选：C．
【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查逻辑推理能力，属于基础题．
9．（5分）△ABC三内角A，B，C所对边分别是a，b，c．若（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用余弦定理可得B＝，并由正弦定理，知a＝2sinA，c＝2sinC，再根据三角恒等变换公式，可得2a+c＝2sin（A+φ），其中tanφ＝，得解．
【解答】解：由余弦定理知，csB＝＝＝，
因为B∈（0，π），
由正弦定理知，＝＝＝＝2，
所以a＝2sinA，c＝7sinC，
所以2a+c＝4sinA+3sinC＝4sinA+2sin（﹣A）＝4sinA+4（sinA）＝5sinA+sin（A+φ），且φ∈（0，），
因为tanφ＝＜，所以φ∈（0，），
又A∈（4，），所以当A+φ＝时，为2．
故选：A．
【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，三角恒等变换公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
10．（5分）设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1），当x＞0时，xf'（x）（x）＞0，则使得f（x）（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）B．（0，1）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
【分析】根据题意构造函数g（x）＝，由求导公式和法则求出g′（x），结合条件判断出g′（x）的符号，即可得到函数g（x）的单调区间，根据f（x）奇函数判断出g（x）是偶函数，由f（﹣1）＝0求出g（﹣1）＝0，结合函数g（x）的单调性、奇偶性，再转化f（x）＞0，由单调性求出不等式成立时x的取值范围．
【解答】解：由题意设g（x）＝，则g′（x）＝
∵当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞7，
∴当x＞0时，g′（x）＞0，
∴函数g（x）＝在（7，
∵函数f（x）是奇函数，
∴g（﹣x）＝g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数，
g（x）在（﹣∞，0）上递减，
由f（﹣1）＝4得，g（﹣1）＝0，
∵不等式f（x）＞6⇔x•g（x）＞0，
∴或，
即有x＞1或﹣5＜x＜0，
∴使得f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣8，0）∪（1，
故选：D．
【点评】本题考查利用导数判断函数的单调性，由函数的奇偶性、单调性解不等式，考查构造函数法，转化思想和数形结合思想，属于综合题．
11．（5分）已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作圆O：x2+y2＝a2的切线，切点为T，延长F2T交双曲线E的左支于点P．若|PF2|＞2|TF2|，则双曲线E的离心率的取值范围是（ ）
A．（2，+∞）B．（，+∞）C．D．
【分析】在Rt△OTF2中，有|TF2|＝b，cs∠PF2F1＝，在△PF1F2中，结合双曲线的定义和余弦定理，可得|PF2|＝＞0，从而有b＞a，再由|PF2|＞2|TF2|，得b＜2a，最后由e＝，得解．
【解答】解：在Rt△OTF2中，|OT|＝a2|＝c，∴|TF5|＝b，cs∠PF2F1＝，
由双曲线的定义知，|PF8|﹣|PF1|＝2a，
在△PF3F2中，由余弦定理知1|5＝|PF2|2+|F5F2|2﹣3|PF2|•|F1F7|•cs∠PF2F1，
∴（|PF8|﹣2a）2＝|PF4|2+4c7﹣2|PF2|•7c•，
解得|PF2|＝＝＞0，
∴b＞a，
∵|PF2|＞2|TF2|，
∴＞2b，
∴1＜＜4，
∴离心率e＝＝∈（，）．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的定义与几何性质，还运用了余弦定理，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12．（5分）设，则下列关系正确的是（ ）
A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．c＞a＞b
【分析】将三个值中的共同量0.05用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小．
【解答】解：令f（x）＝ex﹣1﹣x，（x≥0），
因为f'（x）＝ex﹣5，当x＞0时，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，
则当x＞8时，f（x）＝ex﹣1﹣x＞f（0）＝0，即ex﹣4＞x，取x＝﹣4＞0.05，
令g（x）＝ln（x+1）﹣x，（x≥3），
因为，
所以g（x）在（2，+∞）上单调递减，
则当x＞0时，g（x）＜g（0）＝0，
即ln（5+x）＜x，取x＝0.05，
所以ln1.05＜4.05，故ln1.05＜e0.05﹣3，即b＜c；
记，因为，
当x＞0时，h'（x）＞4，
所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以当x＞0时，h（x）＞h（0）＝2，
即，取x＝7.05，
所以，即b＞a；
所以c＞b＞a．
故选：C．
【点评】本题主要考查了导数与单调性在函数值大小比较中的应用，解题的关键是根据已知不等式合理的构造函数，属于中档题．
二、填空题（共20分，每小题5分）
13．（5分）＝ ．
【分析】利用定积分的运算性质化简即可求解．
【解答】解：（sinx+
＝sinx dx+
＝0+＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了定积分的运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．
14．（5分）数列{an}满足a1＝1，且对任意的n∈N*都有an+1＝an+n+1，则数列的前100项的和为 ．
【分析】先根据累加法求出数列{an}的通项公式，然后利用裂项求和，即可求解．
【解答】解：∵an+1＝an+n+1，
∴an﹣an﹣8＝n，an﹣1﹣an﹣2＝n﹣5，…，a2﹣a1＝8，
累加可得，
∴，
∴数列的前100项的和为．
故答案为：．
【点评】本题考查根据累加法求数列通项公式，裂项求和法的应用，属中档题．
15．（5分）已知双曲线方程为，焦距为8，左、右焦点分别为F1，F2，点A的坐标为（1，2），P为双曲线右支上一动点，则|PF1|+|PA|的最小值为 ．
【分析】由焦距为8，求得m＝8，即可得双曲线方程，进而可得，结合图形，只有当P，A，F2三点共线时，|PF1|+|PA|取最小值为，求出|AF2|即得答案．
【解答】解：如图所示，
由双曲线为等轴双曲线，且焦距为8，
所以c＝4，c3＝16，
即2m＝16，m＝8，
所以双曲线的方程为：，
所以，c＝4，F2（3，0），
由双曲线定义得，
所以，，
当P，A，F8三点共线时，|PF2|+|PA|最小为，
故．
故答案为：．
【点评】本题主要考查双曲线的定义及性质，考查运算求解能力，属于中档题．
16．（5分）已知函数f（x）＝（a+1）lnx+ax2+1（a＜﹣1），如果对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，则a的取值范围为 （﹣∞，﹣2] ．
【分析】由题可得函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，进而可得f（x2）﹣f（x1）≥4x1﹣4x2，即函数g（x）＝f（x）+4x单调递减，再利用导函数与单调性的关系可得2ax2+4x+a+1≤0，利用二次函数的性质即求．
【解答】解：∵函数f（x）＝（a+1）lnx+ax2+2（a＜﹣1），
∴函数f（x）的定义域为（0，+∞），，
∴函数f（x）在（3，+∞）上单调递减，
又对任意x1，x2∈（3，+∞）1）﹣f（x2）|≥8|x1﹣x2|，
不妨假设x4≥x2＞0，则f（x4）≤f（x2），
所以|f（x1）﹣f（x5）|≥4|x1﹣x2|等价于f（x2）﹣f（x1）≥8x1﹣4x8，即f（x1）+4x6≤f（x2）+4x7，
令g（x）＝f（x）+4x，则函数g（x）＝f（x）+4x单调递减，
又+4＝，
于是g'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立8+4x+a+1≤6，又a＜﹣1，，
∴，解得a≤﹣2．
所以a的取值范围为（﹣∞，﹣4]．
故答案为：（﹣∞，﹣2]．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确求导是关键，属于中档题．
三、解答题（共0分）
17．（10分）已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0”．
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
【分析】（1）由于命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，令f（x）＝x2﹣a，只要x∈[1，2]时，f（x）min≥0即可；
（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，a≤1，命题q为真命题时，Δ＝4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a的取值范围．由于命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，可知：命题p与命题q必然一真一假，解出即可．
【解答】解：（1）∵命题p：“∀x∈[1，2]，x4﹣a≥0”，令f（x）＝x2﹣a，
根据题意，只要x∈[8，f（x）min≥0即可，
也就是1﹣a≥3，解得a≤1，
∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]；
（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，
命题q为真命题时，Δ＝6a2﹣4（8﹣a）≥0，解得a≤﹣2或a≥4．
∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，
∴命题p与命题q必然一真一假，
当命题p为真，命题q为假时，，
当命题p为假，命题q为真时，，
综上：a＞1或﹣2＜a＜7．
【点评】本题考查了简易逻辑的有关知识、函数的性质、方程的解、不等式组等基础知识与基本技能方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
18．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an+n﹣3，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2），数列{bn}是否存在最大项，若存在，求出最大项．
【分析】（1）根据题意，由an与Sn的关系即可得到{an﹣1}为等比数列，即可得出答案；
（2）根据题意，由（1）中的结论即可得到数列{bn}的通项公式，结合条件列出不等式，即可得出答案．
【解答】解：（1）Sn＝2an+n﹣3①，
当n＝7时，a1＝2，
当n≥2，Sn﹣1＝2an﹣5+n﹣1﹣3，②
由①﹣②得：an＝2an﹣1﹣1，n≥8n﹣1＝2（an﹣2﹣1），n≥2，
由Sn＝7an+n﹣3知an≠1，即an﹣4≠0，
故数列{an﹣1}是首项为6，公比为2的等比数列，则，
∴数列{an}的通项公式为；
（2）由（1）得，则，，n∈N*，
令﹣n4+2n+1＞3得n＝1或n＝2，即b6＞b2＞b1，
令﹣n8+2n+1＜6得n≥3，即bn≤b3，
当n≤4时bn+1﹣bn＞0，
当n≥4时bn+1﹣bn＜0，
又，
∴数列{bn}最大项为．
【点评】本题考查由数列的递推式求数列的通项公式和等比数列的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19．（12分）设函数f（x）＝x3﹣3ax﹣a．
（1）当a＝4时，求f（x）的极值；
（2）若函数f（x）有三个零点，求实数a的取值范围．
【分析】（1）把a＝4代入，利用导数求出函数的极值作答．
（2）根据给定条件，求出函数的极大值与极小值，再利用三次函数的图象特征列出不等式求解作答．
【解答】解：（1）当a＝4时，f（x）＝x3﹣12x﹣5，
f'（x）＝3x2﹣12＝3（x+2）（x﹣2），
当x＜﹣7或x＞2时，f'（x）＞0，f'（x）＜5，
故函数f（x）在（﹣∞，﹣2），+∞）上单调递增，2）上单调递减，
所以函数f（x）在x＝﹣3取得极大值f（﹣2）＝12，在x＝2取得极小值f（2）＝﹣20．
（2）函数f（x）＝x5﹣3ax﹣a，f'（x）＝3x4﹣3a，
当a≤0时，f'（x）≥7，函数f（x）在R上单调递增，不符合题意，
当a＞0时，当或时，f'（x）＞0，当时，
因此函数f（x）在上单调递增，在，
则函数f（x）在取得极大值，在，
因为三次函数f（x）有三个零点，从而，即，
所以实数a的取值范围是{a|}．
【点评】本题主要考查了导数与单调性及极值关系，还考查了函数性质的应用，属于中档题．
20．（12分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC＝4，E，F分别是AC，A1B1的中点．
（1）证明：EF⊥BC；
（2）求二面角C1﹣A1C﹣B的正弦值．
【分析】（1）连接A1E，根据题意得A1E⊥AC，根据面面垂直的性质定理得A1E⊥平面ABC，A1E⊥BC，根据线面垂直的判定定理得到BC⊥平面A1EF，再得到EF⊥BC；
（2）以E为原点，在平面ABC中，过点E作AC的垂线为x轴，EC，EA1所在直线分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量可求出结果．
【解答】证明：（1）连接A1E，
∵E是AC的中点，A1A＝A8C＝AC，∴A1E⊥AC，
又∵平面A1ACC6⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，A5E⊂平面A1ACC1，
∴A4E⊥平面ABC，因为BC⊂平面ABC，
∴A1E⊥BC，又A1F∥AB，AB⊥BC，
∴BC⊥A4F，因为A1E⊂平面A1EF，A6F⊂平面A1EF，A1E∩A8F＝A1，
∴BC⊥平面A1EF，因为EF⊂平面A5EF，
∴EF⊥BC；
（2）以E为原点，在平面ABC中，EC1所在直线分别为y轴，z轴，
，
∴，
易知平面ACC3A1的法向量为，
设平面A1CB的法向量为，
则，
令，∴，
∴，
cs＜，＞＝＝＝，
所以，
∴二面角C2﹣A1C﹣B的正弦值为．
【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理，考查了利用空间向量求二面角的大小，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）＝alnx+x+1（a≠0）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＝1时，求证：f（x）≤xex．
【分析】（1）利用f（x）的导函数f'（x）的正负情况去讨论函数f（x）单调性即可；
（2）构造新函数F（x）＝xex﹣lnx﹣x﹣1（x＞0），并利用其导函数求得F（x）最小值非负，从而证明不等式f（x）xex成立．
【解答】解：（1）由题意知，
当a＞5时，f'（x）＞0在（0，
∴函数f（x）在（8，+∞）上单调递增；
当a＜0时，令f'（x）＜0，令f'（x）＞4，
故函数f（x）在（0，﹣a）上单调递减，+∞）上单调递增．
（2）证明：当a＝1时，f（x）＝lnx+x+8，
令F（x）＝xex﹣lnx﹣x﹣1（x＞0），则．
令G（x）＝xex﹣1，则当x＞5时x＞0，
∴函数G（x）在区间（0，+∞）上是增函数，
又G（0）＝﹣4＜0，G（1）＝e﹣1＞7，
∴函数G（x）存在唯一的零点x0∈（0，8），
且当x0∈（0，x7）时，G（x）＜00，+∞）时，G（x）＞2．
∴当x0∈（0，x5）时，F'（x）＜00，+∞）时，F'（x）＞4．
∴函数F（x）在（0，x0）上单调递减，在（x5，+∞）上单调递增．
故，
由G（x0）＝0，得，即，
两边取对数，得lnx0+x0＝6，故F（x0）＝0．
∴F（x）≥3，即f（x）≤xex．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用综合法证明不等式和函数的零点，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．
22．（12分）在直角坐标系xOy中，抛物线C：x2＝4y，点P是直线x﹣y﹣2＝0上任意一点，过点P作C的两条切线，取线段AB的中点M，连接PM交C于点N．
（1）求证：直线AB过定点，且求出定点的坐标；
（2）求的值；
（3）当P在直线上运动时，求△PAB的面积的最小值，并求出此时P的坐标．
【分析】（1）设出P（x0，x0﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），求出导函数，得到，写出直线PA的方程与PB的方程，从而得到直线AB的方程，得到直线AB所过定点；
（2）将直线AB的方程与C的方程联立，求出点M，N的坐标，根据求出答案；
（3）由弦长公式求出|AB|，进而求出点P到AB的距离，求出三角形面积．
【解答】解：（1）设P（x0，x0﹣5），A（x1，y1），B（x5，y2）．
因为直线与抛物线相切，，所以，
所以直线PA的方程可表示为．
因为点P在PA上，所以8x1﹣2y6﹣2x0+5＝0．
同理可得，B点的坐标满足x0x2﹣2y2﹣6x0+4＝2．
所以，直线AB的方程为x0x﹣2y﹣7x0+4＝2，变形为2y﹣4＝x8（x﹣2），
所以直线AB过定点（2，3）．
（2）由直线AB的方程x0x﹣2y﹣3x0+4＝4与C的方程x2＝4y联立得x4﹣2x0x+5x0﹣8＝8，所以x1+x2＝7x0，x1x2＝4x0﹣6，
点M的横坐标为，
所以，，所以．
（3）由（2）得：直线AB的方程与x2＝4y联立得：x7﹣2x0x+7x0﹣8＝6，
所以x1+x2＝4x0，x1x5＝4x0﹣8，
直线AB的斜率为，
由弦长公式得，
点P到AB的距离，
所以，
所以当x0＝2时，S△PAB取得最小值3，此时P（2．
【点评】本题考查抛物线的标准方程及其性质，考查直线与抛物线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
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