2022-2023学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，点P（1，3，﹣2）关于平面xOz的对称点的坐标为（ ）
A．（﹣1，3，﹣2）B．（1，﹣3，﹣2）
C．（1，3，2）D．（﹣1，﹣3，﹣2）
2．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线在y轴上的截距为（ ）
A．﹣6B．6C．D．
3．（5分）双曲线x21的渐近线方程为（ ）
A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±2xD．y＝±4x
4．（5分）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图，某园林中的圆弧形洞门高为2.5m，底面宽为1m，则该门洞的半径为（ ）
A．1.2mB．1.3mC．1.4mD．1.5m
5．（5分）已知数列{an}满足a1＝24，an+1若ak＝11，则k＝（ ）
A．7B．8C．9D．10
6．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA＝90°，AC＝CC1＝2，M是A1B1的中点，以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．若，则异面直线CM与A1B所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）对任意数列{an}，定义函数F（x）＝a1+a2x+a3x2+⋯+anxn﹣1（n∈N*）是数列{an}的“生成函数”．已知F（1）＝n2，则（ ）
A．B．
C．D．
8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2＝4y，过点A（0，a）的直线交C于P，Q两点，若为常数，则实数a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，关于曲线C：x2+y2﹣2mx+2y+2m＝0的说法正确的有（ ）
A．若m＝0，则曲线C表示一个圆
B．若m＝1，则曲线C表示两条直线
C．若m＝2，则过点（1，1）与曲线C相切的直线有两条
D．若m＝2，则直线x+y＝0被曲线C截得的弦长等于
（多选）10．（5分）如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于2，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则（ ）
A．B．C．D．
（多选）11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，直线l：x+y+4＝0与C没有公共点，且C上至少有一个点到l的距离为，则C的短轴长可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
（多选）12．（5分）将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入如图所示的3×3正方形网格中，每个小方格中只能填一个数，每个数限填一次．考虑网格中每行从左到右、每列从上到下、两条对角线从上到下所填的数各构成一个数列，共计八个数列，则下列结论中正确的有（ ）
A．这八个数列有可能均为等差数列
B．这八个数列中最多有三个等比数列
C．若中间一行、中间一列、两条对角线上的数列均为等差数列，则中心小方格中所填的数必为5
D．若第一行、第一列上的数列均为等比数列，则其余数列中至多有一个等差数列
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（1，1，0），B（﹣1，0，2），点C满足，则点C的坐标为 ．
14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2＝1，写出满足条件“过点（3，0）且与圆O相外切”的一个圆的标准方程为 ．
15．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，若{an}与均为等差数列且公差不为0，则的值为 ．
16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（0，﹣2），直线AM，BM相交于点M，且AM与BM的斜率之差为2，则|MC|的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC满足|OA|＝|AB|＝4，∠OAB＝120°，BC⊥OB，OC∥AB．
（1）求直线AB的方程；
（2）求点C的坐标．
18．（12分）在①S3＝9，S5＝25；②d＝2，且S1，S2，S4成等比数列；③Sn＝3n2﹣2n这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题．
记等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，已知 _____．
（1）求{an}的通项公式；
（2）令bn，求数列{bn}的前n项和Tn．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面ABCD⊥平面PBC，PC＝BC＝2，点E，F分别为AB，PD的中点．
（1）求证：；
（2）若，求平面FAB与平面PAD夹角的正弦值．
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点，设动点P到直线的距离为d，且．
（1）记点P的轨迹为曲线C，求C的方程；
（2）若过点F且斜率为k（k＞0）直线l交C于A，B两点，问在y轴上是否存在点D，使得△ABD为正三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（12分）已知数列{an}中的各项均为正数，a1＝2，点在曲线上，数列{bn}满足，记数列{bn}的前n项和为Sn．
（1）求{bn}的前2n项和S2n；
（2）求满足不等式S2n≤b2n﹣1的正整数n的取值集合．
22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，离心率为2，且经过点（4，6），点P（x0，y0）是双曲线右支上一动点，过三点A，P，F的圆的圆心为C，点P，C分别在x轴的两侧．
（1）求Γ的标准方程；
（2）求x0的取值范围；
（3）证明：∠ACF＝3∠PCF．
2022-2023学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，点P（1，3，﹣2）关于平面xOz的对称点的坐标为（ ）
A．（﹣1，3，﹣2）B．（1，﹣3，﹣2）
C．（1，3，2）D．（﹣1，﹣3，﹣2）
【分析】根据点P（x，y，z）关于平面xOz的对称点坐标为P′（x，﹣y，z），写出即可．
【解答】解：空间直角坐标系Oxyz中，
点P（1，3，﹣2）关于平面xOz的对称点坐标为P′（1，﹣3，﹣2）．
故选：B．
【点评】本题考查了空间直角坐标系中点关于平面的对称问题，是基础题．
2．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线在y轴上的截距为（ ）
A．﹣6B．6C．D．
【分析】利用截距的概念进行求解即可．
【解答】解：根据题意，中令x＝0得：y＝﹣6，
故直线在y轴上的截距为﹣6．
故选：A．
【点评】本题考查直线的截距式方程，属于基础题．
3．（5分）双曲线x21的渐近线方程为（ ）
A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±2xD．y＝±4x
【分析】直接利用双曲线的渐近线方程的求法，求出双曲线的渐近线方程即可．
【解答】解：因为双曲线，所以双曲线的渐近线方程为，
即y＝±2x．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查计算能力．
4．（5分）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图，某园林中的圆弧形洞门高为2.5m，底面宽为1m，则该门洞的半径为（ ）
A．1.2mB．1.3mC．1.4mD．1.5m
【分析】设半径为R，根据垂径定理可以列方程求解即可．
【解答】解：设半径为R，，解得，解得R＝1.3．
故选：B．
【点评】本题主要考查垂径定理，属于基础题．
5．（5分）已知数列{an}满足a1＝24，an+1若ak＝11，则k＝（ ）
A．7B．8C．9D．10
【分析】根据递推公式一一列举，即可求解．
【解答】解：∵a1＝24，an+1，
∴，∴，∴，
∴a5＝a4+2＝5，∴a6＝a5+2＝7，∴a7＝a6+2＝9，
∴a8＝a7+2＝11，∴a9＝a8+2＝13，∴a10＝a9+2＝15，
∵ak＝11，∴k＝8．
故选：B．
【点评】本题考查递推公式的应用，归纳推理思想，属基础题．
6．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA＝90°，AC＝CC1＝2，M是A1B1的中点，以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．若，则异面直线CM与A1B所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】设CB＝t＞0，由向量垂直的坐标表示可解得t，即可由向量法求得，从而求得结果．
【解答】解：由题意得，设CB＝t＞0，则有，，由得．，∴．
故异面直线CM与A1B所成角的余弦值为．
故选：A．
【点评】本题考查异面直线所成的角，属于基础题．
7．（5分）对任意数列{an}，定义函数F（x）＝a1+a2x+a3x2+⋯+anxn﹣1（n∈N*）是数列{an}的“生成函数”．已知F（1）＝n2，则（ ）
A．B．
C．D．
【分析】依题意可得，利用作差法求出an，则，再利用错位相减法，即可求解．
【解答】解：因为，且F（1）＝n2，
所以①，
当n＝1可得a1＝1，
当n≥2时②，
①﹣②得，显然当n＝1时上式也成立，
所以an＝2n﹣1，
所以，
则，
所以
，
所以．
故选：D．
【点评】本题考查根据数列的前n项和求通项公式，错位相减法求和，属中档题．
8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2＝4y，过点A（0，a）的直线交C于P，Q两点，若为常数，则实数a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】先排除直线斜率不存在的情况，当直线斜率存在时，设出直线方程，联立抛物线，得到两根之和，两根之积，表达出，从而为常数，与k无关，得到8a＝16，从而得解．
【解答】解：当过点A（0，a）的直线斜率不存在时，
此时直线与抛物线C：x2＝4y只有1个交点，不合要求，舍去；
当直线斜率存在时，设直线方程为y＝kx+a，
联立，可得x2﹣4kx﹣4a＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4a，
∴，
同理可得：，
故，
要想为常数，与k无关，
故为定值，所以8a＝16，
解得a＝2，此时，满足要求．
故选：B．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，设而不求法、韦达定理的应用，属中档题．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，关于曲线C：x2+y2﹣2mx+2y+2m＝0的说法正确的有（ ）
A．若m＝0，则曲线C表示一个圆
B．若m＝1，则曲线C表示两条直线
C．若m＝2，则过点（1，1）与曲线C相切的直线有两条
D．若m＝2，则直线x+y＝0被曲线C截得的弦长等于
【分析】根据各选项参数m的值代入依题意验证即可．
【解答】解：∵曲线C：x2+y2﹣2mx+2y+2m＝0，
∴对A选项，∵当m＝0，则曲线C：x2+y2+2y＝0，即x2+（y+1）2＝1，
表示圆心为（0，﹣1），半径为1的圆，∴A选项正确；
对B选项，∵当m＝1，则曲线C：x2+y2﹣2x+2y+2＝0，即（x﹣1）2+（y+1）2＝0，
表示点（1，﹣1），∴B选项错误；
对C选项，∵当m＝2，则曲线C：x2+y2﹣4x+2y+4＝0，即（x﹣2）2+（y+1）2＝1，
表示圆心为C（2，﹣1），半径为1的圆，
∵（1﹣2）2+（1+1）2＝5＞1，∴点（1，1）在圆外，
∴过点（1，1）与曲线C相切的直线有两条，∴C选项正确；
对D选项，∵圆心C到直线x+y＝0的距离，
∴直线与圆相交所得弦长，∴D选项错误．
故选：AC．
【点评】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，圆的弦长的求解，属中档题．
（多选）10．（5分）如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于2，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用空间数量积运算法则计算出ABC三个选项中的结果；作出辅助线，证明出EF⊥FG，得到．
【解答】解：由题意得：四面体ABCD为正四面体，
故∠BAC＝∠CBD＝60°，
故，∴A正确；
因为E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，
所以FG∥AC，EF∥BD，且，，
故，∴B错误；
∵，∴C正确；
取BD的中点H，连接AH，CH，
因为△ABD，△BCD均为等边三角形，
所以AH⊥BD，且CH⊥BD，
因为AH∩CH＝H，且AH，CH⊂平面ACH，
所以BD⊥平面ACH，又AC⊂平面ACH，
所以BD⊥AC，所以EF⊥FG，
故，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查正四面体的性质，向量数量积的求解，属中档题．
（多选）11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，直线l：x+y+4＝0与C没有公共点，且C上至少有一个点到l的距离为，则C的短轴长可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据给定的离心率，用b表示a，利用直线l与C无公共点及C上至少有一个点到l的距离为建立不等式，求出b的范围作答．
【解答】解：依题意，椭圆的离心率，解得a2＝3b2，
椭圆C的方程为x2+3y2＝3b2，设椭圆C上的点，
直线l：x+y+4＝0与C没有公共点，即方程组无实数解，
因此方程4x2+24x+48﹣3b2＝0无实根，有Δ＝242﹣48（16﹣b2）＜0，即b2＜4，解得0＜b＜2，
因为C上至少有一个点到l的距离为，则有点P到直线l的距离d的最小值不大于，，
当且仅当，即时取等号，
于是得，从而1≤b＜2，有2≤2b＜4，显然选项A，D不满足，选项B，C满足．
故选：BC．
【点评】本题考查椭圆的性质，属于中档题．
（多选）12．（5分）将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入如图所示的3×3正方形网格中，每个小方格中只能填一个数，每个数限填一次．考虑网格中每行从左到右、每列从上到下、两条对角线从上到下所填的数各构成一个数列，共计八个数列，则下列结论中正确的有（ ）
A．这八个数列有可能均为等差数列
B．这八个数列中最多有三个等比数列
C．若中间一行、中间一列、两条对角线上的数列均为等差数列，则中心小方格中所填的数必为5
D．若第一行、第一列上的数列均为等比数列，则其余数列中至多有一个等差数列
【分析】分析出AB选项中符合要求的情况，C选项，通过等差数列的性质分析出中心小方格中所填数必为5，并写出符合要求的情况，D选项可举出反例．
【解答】解：如图1，
将1，2，3，4，5，6，7，8，9填入网格中，
则这8个数列均为等差数列，∴A选项正确；
∵1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数中，成等比数列的有：
1，2，4；{bn}；2，4，8；4，6，9，
但1，2，4与2，4，8这两个等比数列不可能在同一列，同一行，或对角线上，
∴这8个数列中最多有3个等比数列，比如图2，
∴B选项正确；
若三个数a，b，c成等差数列，则2b＝a+c，
根据题意要有4组数列成等差数列，且中间的b相同，则只能是b＝5，
∵2×5＝1+9＝2+8＝3+7＝4+6，
如图3满足要求，
∴C选项正确；
若第一行为1，2，4，第一列为1，3，9，满足第一行，第一列均为等比数列，
第二行为3，5，7，第二列为2，5，8，
则第二行和第二列均为等差数列，此时有两个等差数列，∴D选项错误，
故选：ABC．
【点评】本题考查等比数列与等差数列的实际应用，逻辑推理，属中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（1，1，0），B（﹣1，0，2），点C满足，则点C的坐标为 （﹣3，﹣1，4） ．
【分析】利用向量的相等的坐标关系即可求解．
【解答】解：设C（x，y，z），则，，
因为，
所以（x﹣1，y﹣1，z）＝2（﹣2，﹣1，2）＝（﹣4，﹣2，4），即，得，
所以点C的坐标为（﹣3，﹣1，4）．
故答案为：（﹣3，﹣1，4）．
【点评】本题考查向量的相等的坐标关系，属于基础题．
14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2＝1，写出满足条件“过点（3，0）且与圆O相外切”的一个圆的标准方程为 （x﹣2）2+y2＝1（答案不唯一） ．
【分析】设满足条件的圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），由点在圆上及外切关系可得方程组，化简取值即可得其中一个符合的结果．
【解答】解：设满足条件的圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），则有，即，两式相减化简得r＝3a﹣5．
不妨取a＝2，则r＝1，b＝0，故满足条件的圆的标准方程为（x﹣2）2+y2＝1．
故答案为：（x﹣2）2+y2＝1（答案不唯一）．
【点评】本题考查圆的标准方程，属于基础题．
15．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，若{an}与均为等差数列且公差不为0，则的值为 2 ．
【分析】设出数列{an}的公差，利用给定条件列式，求出首项与公差的关系即可计算作答．
【解答】解：设数列{an}的公差为d，则an＝a1+（n﹣1）d，，
因为数列是等差数列，则有，即，
化简整理得：，解得a1＝d，显然d＞0，an＝nd与均为等差数列，，则，
所以的值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查等差数列的相关知识，属于基础题．
16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（0，﹣2），直线AM，BM相交于点M，且AM与BM的斜率之差为2，则|MC|的最小值为 ．
【分析】设M（x，y）（x≠±1），依题意表示出kAM，kBM，即可得到动点M的轨迹方程，再根据距离公式及二次函数的性质计算可得．
【解答】解：设M（x，y）（x≠±1），则，，
所以，即y＝﹣x2，
即动点M的轨迹方程为y＝﹣x2，（x≠±1），
所以，
所以当时．
故答案为：．
【点评】本题考查点到直线的距离公式，属于基础题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC满足|OA|＝|AB|＝4，∠OAB＝120°，BC⊥OB，OC∥AB．
（1）求直线AB的方程；
（2）求点C的坐标．
【分析】（1）根据给定条件，求出点A的坐标，直线AB的斜率，再利用点斜式方程求解作答．
（2）由（1）及已知，求出直线OB，OC，BC方程，再联立方程组求解作答．
【解答】解：（1）由图知∠OAB＝120°，则直线AB的倾斜角为60°，直线AB的斜率，点A（4，0），
所以直线AB的方程为，即．
（2）因为OC∥AB，则直线OC的方程为，而|OA|＝|AB|＝4，则直线OB的倾斜角为30°，斜率，
直线OB的方程为，由解得，即点，
又BC⊥OB，则有直线BC斜率，因此直线BC的方程为，即，
由解得，即点，
所以点C的坐标是．
【点评】本题考查直线的一般方程与性质，属于基础题．
18．（12分）在①S3＝9，S5＝25；②d＝2，且S1，S2，S4成等比数列；③Sn＝3n2﹣2n这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题．
记等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，已知 _____．
（1）求{an}的通项公式；
（2）令bn，求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】（1）若选条件①，即可得到关于a1、d的方程组，从而求出a1、d，即可得解；
若选条件②，依题意可得，即可求出a1，即可得解；
若选条件③，根据，作差计算可得．
（2）由（1）得到{bn}的通项公式，再利用裂项相消法计算可得．
【解答】解：（1）若选条件①S3＝9，S5＝25，
则，解得，
∴an＝2n﹣1；
若选条件②d＝2，且S1，S2，S4成等比数列，
则，∴，解得a1＝1，
∴an＝2n﹣1；
若选条件③Sn＝3n2﹣2n，
当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，．
又a1＝1满足上式，
∴an＝6n﹣5．
（2）若选条件①②，
由（1）知，
∴，
∴数列{bn}的前n项和；
若选条件③，由（1）知，
∴，
∴数列{bn}的前n项和．
【点评】本题考查等差数列的通项公式，方程思想，根据数列的前n项和求通项公式，裂项求和法，化归转化思想，属中档题．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面ABCD⊥平面PBC，PC＝BC＝2，点E，F分别为AB，PD的中点．
（1）求证：；
（2）若，求平面FAB与平面PAD夹角的正弦值．
【分析】（1）根据给定图形，利用空间向量线性运算计算作答．
（2）利用面面、线面垂直的性质推得CB，CD，CP两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标运算求解作答．
【解答】解：（1）证明：∵E，F分别为AB，PD的中点，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，∴PC⊥DE，
又平面ABCD⊥平面PBC，平面ABCD∩平面PBC＝BC，DC⊥BC，DC⊂面ABCD，
∴DC⊥平面PBC，又PC⊂平面PBC，
∴DC⊥PC，又DC∩DE＝D，DC，DE⊂平面ABCD，
∴PC⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，
∴PC⊥BC，
∴分别以CB，CD，CP所在直线为x，y，z轴，建系如图，则根据题意可得：
A（2，2，0），B（2，0，0），F（0，1，1），P（0，0，2），D（0，2，0），
∴，
设平面FAB的法向量为，
则，取，
设平面PAD的法向量为，
则，取，
设平面FAB与平面PAD的夹角为θ，
则，
∴，
∴平面FAB与平面PAD夹角的正弦值为．
【点评】本题考查空间向量的线性运算，向量法求解面面角问题，化归转化思想，属中档题．
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点，设动点P到直线的距离为d，且．
（1）记点P的轨迹为曲线C，求C的方程；
（2）若过点F且斜率为k（k＞0）直线l交C于A，B两点，问在y轴上是否存在点D，使得△ABD为正三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设点P（x，y），根据距离公式得到方程，整理即可得解；
（2）设直线，线段AB的中点为M，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，即可得到点M的横、纵坐标，若△ABD为等边三角形，则MD为线段AB的中垂线，即可得到MD的直线方程，从而得到D点坐标，最后根据求出参数k的值，即可求出D点坐标．
【解答】解：（1）设点P（x，y），∵，
∴，
化简可得x2+4y2＝4，
∴C的方程为；
（2）设直线，线段AB的中点为M，
联立，可得，
∴，，易得Δ＞0，
∴，，
即，
若△ABD为等边三角形，则MD为线段AB的中垂线，
即MD的直线方程为，∴，
又，
∴由，可得，
解得，∴，此时，
∴存在点，使得△ABD为等边三角形．
【点评】本题考查“五步求曲“法的应用，直线与椭圆的位置关系，设而不求法与韦达定理的应用，弦长公式的应用，化归转化思想，方程思想，属难题．
21．（12分）已知数列{an}中的各项均为正数，a1＝2，点在曲线上，数列{bn}满足，记数列{bn}的前n项和为Sn．
（1）求{bn}的前2n项和S2n；
（2）求满足不等式S2n≤b2n﹣1的正整数n的取值集合．
【分析】（1）根据给定的条件，求出数列{an}和{bn}的通项公式，再利用分组求和法并结合等差等比数列前n项和公式求解作答．
（2）利用（1）的结论建立不等式，再构造数列并判断单调性即可作答．
【解答】解：（1）根据题意可得，
∴an+1﹣an＝1，又a1＝2，
∴数列{an}是首项为2，公差为1的等差数列，
∴an＝n+1，，
∴S2n＝b1+b2+b3+⋯+b2n﹣1+b2n＝（b1+b3+⋯+b2n﹣1）+（b2+b4+⋯+b2n）
＝[（21﹣1）+（22﹣3）+（23﹣5）+⋯+（2n﹣2n+1）]﹣（2+4+6+⋯+2n）
2n+1﹣2n2﹣n﹣2；
（2）由（1）知，，
由S2n≤b2n﹣1，得2n+1﹣2n2﹣n﹣2≤2n﹣2n+1，
即2n≤2n2﹣n+3，设，
∴，
显然g（1）＜g（2）＝g（3），
当n≥3时，0＜g（n+1）＜g（n），
∴数列{g（n）}从第3项起是递减的，
∵，则当n≤6时，有g（n）＞1，
∴正整数n的取值集合为{1，2，3，4，5，6}．
【点评】本题考查等差数列的定义与通项公式，等比数列与等差数列的求和公式，数列的单调性问题，属中档题．
22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，离心率为2，且经过点（4，6），点P（x0，y0）是双曲线右支上一动点，过三点A，P，F的圆的圆心为C，点P，C分别在x轴的两侧．
（1）求Γ的标准方程；
（2）求x0的取值范围；
（3）证明：∠ACF＝3∠PCF．
【分析】（1）依题意得到关于a、b的方程组，解得a、b的值，即可得解；
（2）设C（1，y1），即可得到，整理得到，再根据P、C的位置关系求出x0的取值范围，最后根据P在右支且A、P、F三点不共线，即可得解；
（3）表示出tan∠PAF、tan∠AFP，利用二倍角正切公式得到2∠PAF＝∠AFP，再由平面几何的知识证明即可．
【解答】解（1）根据题意可得，
解得，
∴Γ的标准方程为；
（2）∵A（﹣2，0），F（4，0），∴圆心在直线x＝1上．
设C（1，y1），则，
即，
∵点P，C分别在x轴的两侧，∴y0y1＜0，
∴，
解得，
又点P（x0，y0）是双曲线右支上一动点，且A，P，F三点不共线，
∴；
（3）证明：由题意知∠APF＞90°，∴∠PAF与∠AFP均为锐角，
∴，
又
，
∴2∠PAF＝∠AFP，
由平面几何知识易得∠ACP＝2∠AFP＝4∠PAF，∠PCF＝2∠PAF，
∴∠ACP＝2∠PCF，
∴∠ACF＝3∠PCF．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，方程思想，不等式思想，倍角公式的应用，化归转化思想，属难题．
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