2022-2023学年内蒙古包头六中高二（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2022-2023学年内蒙古包头六中高二（上）期末数学试卷（理科），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）“a＞1”是“”的（ ）条件
A．充要B．充分非必要
C．必要非充分D．既非充分也非必要
2．（4分）已知复数z满足：z•i＝1+i（i为虚数单位），则|z|＝（ ）
A．B．1C．D．2
3．（4分）下面几种推理是合情推理的是（ ）
①地球和火星在很多方面都相似，而地球上有生命，进而认为火星上也可能有生命存在；
②因为金、银、铜、铁等金属能导电，所以一切金属都导电；
③某次考试高二一班的全体同学都合格了，张军是高二一班的，所以张军也合格了；
④由“若三角形的周长为l，面积为S，则其内切圆的半径，体积为V，则其内切球的半径
A．①②B．①③④C．②④D．①②④
4．（4分）设x，y∈R，向量，，，且，，则＝（ ）
A．B．3C．4D．
5．（4分）若离心率为的双曲线与椭圆的焦点相同（ ）
A．B．
C．D．
6．（4分）圆C1：x2+y2﹣4＝0与圆C2：x2+y2﹣4x+4y+4＝0的公共弦的弦长等于（ ）
A．2B．4C．D．
7．（4分）若椭圆C：＝1（a＞b＞0）满足a＝2b（ ）
A．B．C．D．
8．（4分）如图，平行六面体ABCD﹣A'B'C'D'的底面ABCD是菱形，∠C'CB＝∠C'CD＝∠BCD＝60°，则异面直线BC'与CA'所成角的余弦值为（ ）
A．1B．C．D．0
9．（4分）M（2，2）是抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，F是抛物线的焦点（ ）
A．B．3C．D．4
10．（4分）已知x，y满足x2+y2+2x﹣2y﹣3＝0，若不等式2x+y﹣c＜0恒成立，则c的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣4）B．（4，+∞）C．（6，+∞）D．（﹣6，4）
二、填空题（每小题4分，共12分）
11．（4分）用反证法证明命题“若x+y≠5，则x≠2或y≠3”为真命题时，第一个步骤是 ．
12．（4分）已知椭圆的左焦点为F，过点F且倾斜角为，B两点，则|AB|＝ ．
13．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角C﹣D1B﹣D的大小为 ．
三、解答题（每小题0分，共48分）
14．观察下面三个等式：
第1个：，第2个：，第3个：
（1）按照以上各式的规律，写出第4个等式；
（2）按照以上各式的规律，猜想第n个等式（n为正整数）；
（3）用数学归纳法证明你的猜想成立．
15．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的长轴长为10
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为
16．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PB⊥底面ABCD，BP＝3，，．
（1）证明：平面EFA⊥平面ABP；
（2）求直线PC与平面ADF所成角的正弦值．
17．在平面直角坐标系xOy中，已知直线（t为参数）．以坐标原点O为极点，曲线C的极坐标方程为．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设点M的直角坐标为（0，2），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|+|MB|的值．
2022-2023学年内蒙古包头六中高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）“a＞1”是“”的（ ）条件
A．充要B．充分非必要
C．必要非充分D．既非充分也非必要
【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可．
【解答】解：由，解得a＜3或a＞1，
故“a＞1”是“”的充分非必要条件，
故选：B．
【点评】本题考查了充分必要条件的判断，考查了集合思想，是基础题．
2．（4分）已知复数z满足：z•i＝1+i（i为虚数单位），则|z|＝（ ）
A．B．1C．D．2
【分析】通过复数除法得z＝1﹣i，利用复数模的定义即可得到答案．
【解答】解：，
故．
故选：C．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
3．（4分）下面几种推理是合情推理的是（ ）
①地球和火星在很多方面都相似，而地球上有生命，进而认为火星上也可能有生命存在；
②因为金、银、铜、铁等金属能导电，所以一切金属都导电；
③某次考试高二一班的全体同学都合格了，张军是高二一班的，所以张军也合格了；
④由“若三角形的周长为l，面积为S，则其内切圆的半径，体积为V，则其内切球的半径
A．①②B．①③④C．②④D．①②④
【分析】根据合情推理和演绎推理的概念判断．
【解答】解：根据合情推理和演绎推理的概念判断：
①④是类比推理，所以是合情推理；
②是归纳推理，所以是合情推理；
③是由一般到特殊的推理，是演绎推理；
故选：D．
【点评】本题考查简单的类比推理、归纳推理、演绎推理的定义等基础知识，是基础题．
4．（4分）设x，y∈R，向量，，，且，，则＝（ ）
A．B．3C．4D．
【分析】由，，列方程组求出x＝1，y＝﹣2，从而＝（0，3，0），由此能求出．
【解答】解：设x，y∈R，，，
∵，，
∴，解得x＝4，
∴＝（0，3，
则＝6．
故选：B．
【点评】本题考查向量的模的求法，考查向量垂直、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（4分）若离心率为的双曲线与椭圆的焦点相同（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据双曲线和椭圆的焦点相同，求出椭圆的焦点及c，再根据双曲线的离心率求出a，b，写出双曲线方程即可．
【解答】解：由题知在椭圆中c2＝40﹣15＝25，
∴焦点坐标为（﹣5，3），0），
∴双曲线中，焦点坐标为（﹣5，（4，c＝5，
∵，∴a＝3，a2＝3，b2＝c2﹣a4＝16．
故双曲线的方程为．
故选：A．
【点评】本题主要考查了椭圆和双曲线的性质，属于中档题．
6．（4分）圆C1：x2+y2﹣4＝0与圆C2：x2+y2﹣4x+4y+4＝0的公共弦的弦长等于（ ）
A．2B．4C．D．
【分析】先求出公共弦长，然后求出圆心C1到公共弦的距离d，结合弦长公式即可求解．
【解答】解：两圆相减可得公共弦方程为x﹣y﹣2＝0，
因为C3：x2+y2﹣8＝0的圆心（0，7），
圆心（0，0）到直线x﹣y﹣6＝0的距离d＝＝，
故公共弦长为2＝2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了两圆相交性质的应用，属于基础题．
7．（4分）若椭圆C：＝1（a＞b＞0）满足a＝2b（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件，结合离心率的公式，即可求解．
【解答】解：因为a＝2b，
所以．
故选：B．
【点评】本题主要考查椭圆的性质，属于基础题．
8．（4分）如图，平行六面体ABCD﹣A'B'C'D'的底面ABCD是菱形，∠C'CB＝∠C'CD＝∠BCD＝60°，则异面直线BC'与CA'所成角的余弦值为（ ）
A．1B．C．D．0
【分析】求出，即可求出异面直线BC'与CA'所成角的余弦值．
【解答】解：平行六面体ABCD﹣A'B'C'D'的底面ABCD是菱形，
∠C'CB＝∠C'CD＝∠BCD＝60°，且CD＝CC'，
设CD＝CC'＝CB＝1，
则由题意得，三个向量之间两两的数量积均为，
∴＝（）
＝+﹣﹣
＝
＝0，
∴异面直线BC'与CA'所成角的余弦值为4．
故选：D．
【点评】本题考查异面直线所成角的定义及其求法，向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
9．（4分）M（2，2）是抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，F是抛物线的焦点（ ）
A．B．3C．D．4
【分析】利用抛物线经过的点求解p，然后求解焦点坐标，结合抛物线定义求解即可．
【解答】解：M（2，2）是抛物线y3＝2px（p＞0）上一点，
可得7＝4p，解得p＝1，0），
则点M到F的距离|MF|等于2+＝．
故选：A．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属基础题．
10．（4分）已知x，y满足x2+y2+2x﹣2y﹣3＝0，若不等式2x+y﹣c＜0恒成立，则c的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣4）B．（4，+∞）C．（6，+∞）D．（﹣6，4）
【分析】不等式2x+y﹣c＜0恒成立，只需c＞（2x+y）max，2x+y可以看作是直线y＝﹣2x+m在y轴上的截距，当直线y＝﹣2x+m与圆x2+y2+2x﹣2y﹣3＝0相切时，纵截距m取得最大值或最小值，然后根据点到直线的距离公式求解即可．
【解答】解：因为x2+y2+5x﹣2y﹣3＝8可化为（x+1）2+（y﹣7）2＝5，表示的是以（﹣4，为半径的圆，
2x+y可以看作是直线y＝﹣3x+m在y轴上的截距，
当直线y＝﹣2x+m与圆x2+y5+2x﹣2y﹣6＝0相切时，纵截距m取得最大值或最小值，
此时，解得m＝3或m＝﹣6max＝4，
又因为不等式2x+y﹣c＜0恒成立，所以c＞（2x+y）max＝5，
则c的取值范围是（4，+∞）．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数恒成立问题，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
二、填空题（每小题4分，共12分）
11．（4分）用反证法证明命题“若x+y≠5，则x≠2或y≠3”为真命题时，第一个步骤是 假设x＝2且y＝3 ．
【分析】根据反证法的概念即可求解．
【解答】解：根据反证法可知证明命题“若x+y≠5，则x≠2或y≠2”为真命题时，
第一个步骤是：假设原命题结论不成立，写出结论的否定．
故答案为：假设x＝2且y＝3．
【点评】不通过考查反证法的概念，属基础题．
12．（4分）已知椭圆的左焦点为F，过点F且倾斜角为，B两点，则|AB|＝ ．
【分析】先求出过左焦点F且倾斜角为的直线l的方程，与椭圆方程C联立，根据弦长公式求得|AB|．
【解答】解：已知椭圆，a2＝5，b2＝1，
则c8＝a2﹣b2＝2﹣1＝1，
所以椭圆的左焦点为F（﹣6，0），
因为直线l倾斜角为，
所以直线l的斜率，
则直线l的方程为y＝x+1，
联立，消去y2+8x＝0，解得，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查椭圆的性质，考查转化能力，属于基础题．
13．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角C﹣D1B﹣D的大小为 60° ．
【分析】建系，利用向量法即可求解．
【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C5D1中，令棱长AB＝1，
则D（5，0，0），3，0），1，3），D1（0，3，1），
∴，
令平面DD1B的法向量，
则，取，
令平面CD1B的法向量，
则，取，
∴，
∴，又由图形知1B﹣D的平面角为锐角，
∴二面角C﹣D6B﹣D的大小60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查向量法求解二面角，属中档题．
三、解答题（每小题0分，共48分）
14．观察下面三个等式：
第1个：，第2个：，第3个：
（1）按照以上各式的规律，写出第4个等式；
（2）按照以上各式的规律，猜想第n个等式（n为正整数）；
（3）用数学归纳法证明你的猜想成立．
【分析】（1）根据题意，分析等式的规律，归纳可得第4个等式，
（2）利用归纳推理分析可得第n个等式；
（3）根据题意，运用数学归纳法证明，先检验n＝1成立，假设n＝k（k∈N*）时，猜想成立，再证n＝k+1，注意运用假设，以及因式分解，可得证明．
【解答】解：（1）根据题意，归纳可得：第4个等式为：+++＝；
（2）根据题意，第3个等式为：，
第2个等式为：，
第3个等式为：
第6个等式为：+++＝；
以此类推：第n个等式为：++++……+＝；
（3）用数学归纳法证明如下：
当n＝4时，第1个等式为：；
假设当n＝k时，等号成立，即+++＝，
则当n＝k+1时，左式＝++++＝+＝
＝＝＝右式，
即n＝k+1时，等式成立，
故对于任意的正整数n，都有+++＝成立．
【点评】本题考查数学归纳法的应用，注意归纳等式的规律，属于基础题．
15．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的长轴长为10
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为
【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率公式、点满足椭圆方程以及a，b，c的关系，解方程可得所求；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），运用点差法，结合直线的斜率公式、中点坐标公式，化简整理可得直线l的斜率，即可得到所求直线方程．
【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆C：＝1（a＞b＞5）的长轴长为10，
可得2a＝10，即a＝5，即c＝3，
所以b＝＝7
所以椭圆C的方程为；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x7，y2），
代入椭圆方程两式相减可得即．
由点为线段AB的中点，得，
则l的斜率，
所以l的方程为，即4x+5y﹣2＝0，
由于AB的中点坐标满足+＜1，所以直线l存在，
方程为4x+4y﹣2＝0．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，以及直线与椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
16．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PB⊥底面ABCD，BP＝3，，．
（1）证明：平面EFA⊥平面ABP；
（2）求直线PC与平面ADF所成角的正弦值．
【分析】（1）由题意可得PB⊥AE，又AE⊥AB，则AE⊥平面ABP，得证；
（2）先建立空间直角坐标系，然后求出对应点的坐标，然后结合空间向量数量积的运算求解即可．
【解答】（1）证明：已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PB⊥底面ABCD，
则PB⊥AE，
又AE⊥AB，
则AE⊥平面ABP，
又AE⊂平面EFA，
则平面EFA⊥平面ABP；
（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，
又AB＝BC＝3，BP＝3，，，
则B（0，0，2），3，0），2，0），3，3），0，1），3，3），3，3），
设为平面ADF的一个法向量，
则，
即，
令y＝1，
则x＝2，z＝3，
即，
又，
则＝，
设直线PC与平面ADF所成角为θ，
则＝，
即直线PC与平面ADF所成角的正弦值为．
【点评】本题考查了线面垂直的判定定理，重点考查了线面角的求法，属基础题．
17．在平面直角坐标系xOy中，已知直线（t为参数）．以坐标原点O为极点，曲线C的极坐标方程为．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设点M的直角坐标为（0，2），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|+|MB|的值．
【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
【解答】解（1）把，展开得．
将ρ2＝x8+y2，ρcsθ＝x，ρsinθ＝y代入，
即得曲线C的直角坐标方程为．①，
（2）将代入①式，
得，点M（0．
设t1，t4为方程的两根，则；
则由参数t的几何意义，
得．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
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