高中数学5.4 数列的应用练习题

这是一份高中数学5.4 数列的应用练习题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．自新冠肺炎疫情发生以来，防护服成为紧缺的医疗物资，一家公司承担起了生产医用防护服的重任，24小时内生产线就已经投入生产，某日，公司将生产的36000套防护服分为三批运至疫区．已知一、二、三车间生产的防护服数分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，则二车间生产的防护服数为( )
A．8000B．10000
C．12000D．15000
2．某家庭决定要进行一项投资活动，预计每周收益1%.假设起始投入1万元，按照复利(复利是指在每经过一个计息期后，都将所得利息加入本金，以计算下期的利息)计算，经过100周，该家庭在此项投资活动的资产总额大约为( )
A．1.3万元 B．1.7万元
C．2.3万元 D．2.7万元
3．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还( )
A．eq \f(a（1＋γ）,（1＋γ）5－1)万元B．eq \f(aγ（1＋γ）5,（1＋γ）5－1)万元
C．eq \f(aγ（1＋γ）5,（1＋γ）4－1)万元D．eq \f(aγ,（1＋γ）5)万元
4．《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功疾，初日织六尺，今一月织十一匹三丈(1匹＝40尺，一丈＝10尺)，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织6尺，一月织了十一匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，记该女子一个月中的第n天所织布的尺数为an，则eq \f(a1＋a3＋…＋a29,a2＋a4…＋a30)的值为( )
A．eq \f(14,15) B．eq \f(16,17)C．eq \f(23,24) D．eq \f(2,3)
二、填空题
5．假设每次用相同体积的清水漂洗一件衣服，且每次能洗去污垢的eq \f(3,4)，那么至少要清洗________次才能使存留的污垢不超过1%.
6．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次第，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，要孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为________．
7．我国古代数学名著《九章算术》里有一题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：________日相逢？
三、解答题
8．王某2020年12月31日向银行贷款100000元，银行贷款年利率为5%，若此贷款分十年还清(2030年12月31日还清)，每年年底等额还款(每次还款金额相同)，设第n年末还款后此人在银行的欠款额为an元.
(1)设每年的还款额为m元，请用m表示出a2；
(2)求每年的还款额(精确到1元，参考数据1.0510≈1.6289).
9．一支车队有15辆车，某天依次出发执行任务．第1辆车于下午2时出发，第2辆车于下午2时10分出发，第3辆车于下午2时20分出发，依此类推．假设所有的司机都连续开车，并且都在下午6时停下休息．
(1)到下午6时，最后一辆车行驶了多长时间？
(2)如果每辆车的行驶速度都是60km/h，这支车队当天总共行驶了多少路程？
[尖子生题库]
10．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少eq \f(1,5)，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加eq \f(1,4).
(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式；
(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？
课时作业(十一) 数列的应用
1．解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，即二车间生产的防护服数占总数的三分之一，为12000.
答案：C
2．解析：因为该家庭决定起始投入1万元，预计每周收益1%，所以100周后该家庭在此项投资活动的资产总额为1×(1＋1%)100≈2.7(万元).
答案：D
3．解析：设每年偿还x万元，则：
x＋x(1＋γ)＋x(1＋γ)2＋x(1＋γ)3＋x(1＋γ)4＝a(1＋γ)5，
由等比数列的求和公式可得
eq \f(x[1－（1＋γ）5],1－（1＋γ）)＝a(1＋γ)5，
解得x＝eq \f(aγ（1＋γ）5,（1＋γ）5－1).
答案：B
4．解析：由题意可得：每天织布的量组成了等差数列{an}，
a1＝6(尺)，S30＝11×40＋30＝470(尺)，设公差为d(尺)，则30×6＋eq \f(30×29,2)d＝470，解得d＝eq \f(2,3).
则eq \f(a1＋a3＋…＋a29,a2＋a4＋…＋a30)＝eq \f(15a1＋\f(1,2)×15×14×2d,15a2＋\f(1,2)×15×14×2d)＝
eq \f(15×6＋15×14×\f(2,3),15×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6＋\f(2,3)))＋15×14×\f(2,3))＝eq \f(23,24).
答案：C
5．解析：设每次用a升清水漂洗一件衣服，洗涤次数为n，通过题意可知，存留的污垢y是以eq \f(1,4)a为首项，eq \f(1,4)为公比的等比数列，所以有y＝(eq \f(1,4))n·a，则(eq \f(1,4))n·a≤1%·a⇒n≥lg4100＝lg210⇒n≥4，
所以至少要清洗4次才能使存留的污垢在1%以下．
答案：4
6．解析：根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{an}，其中d＝17，n＝8，S8＝996.
由等差数列前n项和公式可得8a1＋eq \f(8×7,2)×17＝996，
解得a1＝65.
由等差数列通项公式得a8＝65＋(8－1)×17＝184.
答案：184
7．解析：由题意，可知良马与驽马每天跑的路程都是等差数列，设路程为{an}，{bn}，
由题意有an＝103＋(n－1)×13＝13n＋90，
bn＝97＋(n－1)×(－eq \f(1,2))＝－eq \f(1,2)n＋eq \f(195,2)，
故cn＝an＋bn＝eq \f(375,2)＋eq \f(25,2)n，
满足题意时，数列{cn}的前n项和为Sn＝1125×2＝2250，
由等差数列前n项和公式可得
eq \f(\f(375,2)＋\f(25,2)＋\f(375,2)＋\f(25,2)n,2)×n＝2250，
解得n＝9.即二马需9日相逢．
答案：9
8．解析：(1)a2＝100000(1＋5%)2－m(1＋5%)－m＝110250－2.05m．
(2)a10＝100000×1.0510－m1.059－m1.058－…－m＝100000×1.0510－eq \f(m[1－（1.05）10],1－1.05)＝0，
m＝eq \f(100000×0.05×1.0510,1.0510－1)≈12950.
9．解析：由题意，知第1辆车在休息之前行驶了240min，各辆车行驶的时间构成一个等差数列{an}，其中a1＝240，公差d＝－10，则an＝240－10(n－1)＝－10n＋250.
(1)∵a15＝－10×15＋250＝100，
∴到下午6时，最后一辆车行驶了100min.
(2)这支车队所有车辆行驶的总时间为eq \f(240＋100,2)×15＝2550(min)＝eq \f(85,2)(h)，∴这支车队当天总共行驶的路程为eq \f(85,2)×60＝2550(km).
10．解析：(1)第1年投入为800万元，
第2年投入为800×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,5)))万元，
…，
第n年投入为800×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,5)))eq \s\up12(n－1)万元，
所以，n年内的总投入为：
an＝800＋800×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,5)))＋…＋800×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,5)))eq \s\up12(n－1)
＝4000×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))\s\up12(n)))，
第1年旅游业收入为400万元，
第2年旅游业收入为400×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,4)))万元，
…，
第n年旅游业收入400×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,4)))eq \s\up12(n－1)万元．
所以，n年内的旅游业总收入为
bn＝400＋400×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,4)))＋…＋400×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,4)))eq \s\up12(n－1)
＝1600×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))\s\up12(n)－1)).
(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bn－an＞0，
即1600×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))\s\up12(n)－1))－4000×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))\s\up12(n)))＞0，
化简得5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))eq \s\up12(n)＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))eq \s\up12(n)－7＞0，
令x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))eq \s\up12(n)，代入上式得：5x2－7x＋2＞0.
解得x＜eq \f(2,5)，或x＞1(舍去).
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))eq \s\up12(n)＜eq \f(2,5)，由此得n≥5.
∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入．