高中人教B版 (2019)1.2.2 空间中的平面与空间向量综合训练题

这是一份高中人教B版 (2019)1.2.2 空间中的平面与空间向量综合训练题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．设平面α的法向量为(1，－2，2)，平面β的法向量为(2，λ，4)，若α∥β，则λ等于( )
A．2B．4
C．－2D．－4
2．若平面α，β的法向量分别为a＝(－1，2，4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为( )
A．10B．－10
C．D．－
3．已知＝(2，2，1)，＝(4，5，3)，则平面ABC的一个单位法向量可表示为( )
A．(－1，2，－2) B．(，－1，1)
C．(，－) D．(，－)
4．已知＝(－3，1，2)，平面α的一个法向量为n＝(2，－2，4)，点A不在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系为 ( )
A．AB⊥α
B．AB⊂α
C．AB与α相交但不垂直
D．AB∥α
二、填空题
5．如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，点G是P在平面ABC内的射影，则G是△ABC的________.
6．已知l∥α，且l的方向向量为(2，－8，1)，平面α的法向量为(1，y，2)，则y＝________．
7．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)．
对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.
其中正确的是________(填序号)．
三、解答题
8．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
9.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是BC的中点，在CC1上求一点P，使平面A1B1P⊥平面C1DE.
[尖子生题库]
10.
如图所示，在三棱锥P­ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)证明：AP⊥BC；
(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3，试证明平面AMC⊥平面BMC．
课时作业(五) 空间中的平面与空间向量
1．解析：∵α∥β，∴(1，－2，2)＝m(2，λ，4)，∴λ＝－4.
答案：D
2．解析：因为α⊥β，所以它们的法向量也互相垂直，所以a·b＝(－1，2，4)·(x，－1，－2)＝0，即－x－2－8＝0，解得x＝－10.
答案：B
3．解析：设平面ABC的法向量为a＝(x，y，z)，
则有∴，
令z＝1，得y＝－1，x＝，∴a＝(，－1，1)
故平面ABC的一个单位法向量为＝(，－)．
答案：C
4．解析：因为n·＝2×(－3)＋(－2)×1＋4×2＝0，所以n⊥.又点A不在平面α内，n为平面α的一个法向量，所以AB∥α，故选D.
答案：D
5．解析：连接AG，BG(图略)，则AG，BG分别为AP，BP在平面ABC内的射影．因为PA⊥BC，所以由三垂线定理的逆定理知AG⊥BC，同理，BG⊥AC，所以G是△ABC的垂心．
答案：垂心
6．解析：∵l∥α，∴(2，－8，1)·(1，y，2)＝0，而2×1－8y＋2＝0，
∴y＝.
答案：
7．解析：·＝(－1，2，－1)·(2，－1，－4)
＝－1×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0，
∴AP⊥AB，即①正确．
·＝(－1，2，－1)·(4，2，0)
＝－1×4＋2×2＋(－1)×0＝0.
∴AP⊥AD，即②正确．
又∵AB＝A，∴AP⊥平面ABCD，
即是平面ABCD的一个法向量，③正确．④不正确．
答案：①②③
8．解析：如图所示建立空间直角坐标系，
则有D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，
B1(2，2，2)，所以＝(0，2，1)，
＝(2，0，0)，＝(0，2，1)．
(1)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，
则n1⊥，n1⊥，
即⇒，
令z1＝2⇒y1＝－1，所以n1＝(0，－1，2)，
因为＝－2＋2＝0，所以，
又因为FC1⊄平面ADE，即FC1∥平面ADE.
(2)因为＝(2，0，0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量．
由，得
⇒.
令z2＝2⇒y2＝－1，所以n2＝(0，－1，2)，
所以n1＝n2，
所以平面ADE∥平面B1C1F.
9．解析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
设正方体棱长为2，且P(0，2，a)，则D(0，0，0)，E(1，2，0)，C1(0，2，2)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，则＝＝(0，2，2)，
设n1＝(x1，y1，z1)且n1⊥平面DEC1，
则，取n1＝(2，－1，1)．
又＝＝(0，2，0)，
设n2＝(x2，y2，z2)且n2⊥平面A1B1P，
则，取n2＝(a－2，0，2)．
由平面A1B1P⊥平面C1DE，得n1·n2＝0，
即2(a－2)＋2＝0，解得a＝1.故P为CC1的中点．
10．证明：
建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0，0，0)，A(0，－3，0)，B(4，2，0)，C(－4，2，0)，P(0，0，4)，
(1)＝(0，3，4)，＝(－8，0，0)，
所以·＝(0，3，4)·(－8，0，0)＝0，
所以⊥，即AP⊥BC.
(2)由(1)知|AP|＝5，
又|AM|＝3，且点M在线段AP上，
所以＝＝(0，)．
又因为＝(－4，－5，0)，
所以＝＝(－4，－)，
则·＝(0，3，4)·(－4，－)＝0，
所以⊥，即AP⊥BM.
又根据(1)的结论知AP⊥BC，BM＝B，
所以AP⊥平面BMC，于是AM⊥平面BMC.
又因为AM⊂平面AMC，
故平面AMC⊥平面BMC.